一类时间-空间Riesz 分数阶扩散方程的数值方法

邢艳元

（长治学院 数学系，山西 长治 046011）

引言

分数阶微分方程能够精确刻画具有记忆与遗传特性的各类现象，常用于研究流体力学、等离子体物理、生物学、非线性电路中的流动、地震的非线性振荡、空气动力学、热力学的规则变化以及金融等领域中[1-4].分数阶微分方程是古典微分方程的推广，所以应用分数阶微分方程可以更好地刻画一些微观系统模型，并且具有广泛的理论和应用发展空间[5，6].

分数阶扩散方程常用于各种物理过程的建模当中，但只一般研究时间或空间的分数阶微分方程的各种边值问题[7-10].文章利用分数阶中心差分构造时间空间 Riesz 分数阶扩散方程的差分格式，分析其稳定性和收敛性，并提供数值算例验证理论分析的有效性.

文章考虑了带有齐次 Dirichlet 边界条件的时间空间 Riesz 分数阶扩散方程

其中，Riemann-Liouville 左、右导数分别是

1 差分格式的建立

接下来，利用 Diethlem 方法及 Riemann-Liouville 与 Caputo 导数的关系离散时间变量，并利用分数阶中心差分格式离散空间变量。令得到 Riesz 时间-空间分数阶扩散方程 (1) 的逼近格式：

2 稳定性和收敛性

下面利用极大模技巧和数学归纳法证明稳定性.

在表1 中，通过数值实验，当 分别取1.8、1.6 和1.4 时，得到相应的收敛阶.虽然取不同的β，但收敛阶几乎是二阶精度，与理论结果一致.由表2 可见，时间收敛阶要略小于2-α.

表1 范数下的空间收敛阶

表2 范数下的时间收敛阶