洞察内在联系 发展空间观念

章辉

【摘   要】研究几何体与其展开图、三视图之间的相互转化，有利于学生更全面地认识图形的特征，更好地发展空间观念。《正方体展开图》一课依托“四种方式、六个环节”设计框架，遵循“直观想象、逻辑推理有机结合”设计理念，重视“大胆猜想、操作验证”教学环节，建立“几何探究课”的基本模式，发展学生的空間观念。

【关键词】展开图;想象;推理;空间观念

“空间观念”是《义务教育数学课程标准（2022年版）》中提到的核心素养的主要表现。空间观念在小学阶段主要是指“利用物体抽象出图形、认识位置关系、探索变化规律”。[1]空间观念的培养在目前的小学数学教学中还存在教师认识不深刻和引导不足等问题[2]，亟待从实践层面提供新的教学思路。笔者以人教版教材五年级下册《正方体展开图》一课的教学实践为例，分享培养学生空间观念的想法和做法。

一、课前思考

培养和发展学生的空间观念，需要帮助学生实现几何体与其展开图、三视图之间的相互转化。在研究正方体展开图的过程中，不仅只是得出结论，还应以想象为基本活动，积累想象和推理的思维经验，发展空间观念。

现行人教版教材五年级下册“长方体和正方体”单元没有编排“正方体展开图”的专题内容，而是编排了“做一做”的练习题（如图1），引导学生辨

认正方体展开图，理解正方体展开图不是唯一的。这样的编排方式，内容较为单薄，力度略显不足。

为让学生深刻地认识正方体展开图，笔者进行了针对性的教学尝试，将教材中的习题拓展为一个专题内容，以“一题一课”的形式，让学生在观察、操作、想象、推理的过程中经历从二维空间到三维空间的转换，洞察知识间的内在联系，从而发展空间观念。

二、课堂教学实践

【教学目标】

（1）认识正方体展开图，了解正方体展开图有不同的类型，初步学会判断一幅平面图是否为正方体展开图。

（2）经历观察、想象、操作、推理等学习活动，增强探究意识，发展空间观念，提升提出问题、解决问题的能力。

（3）在合作学习、探究性学习的过程中，感受数学学习的美妙与乐趣。

【教学过程】

1.揭示新课，初步感知

（1）初识展开图。

师（出示一个正方体）：同学们，今天我们一起来研究正方体展开图。如果把正方体的6个面展开来，会得到怎样的一个图形呢？（播放动画）这个平面图形就是正方体展开图（如图1）。

（2）辨析展开图。

①指定其中一个正方形为“后面”，请学生观察、想象另外几个正方形是原来正方体的哪个面（如图2）。

②学生观察、想象之后，进行指认。

师：刚才我们把一个正方体展开，变成这幅正方体展开图。现在你能倒过来想象，这6个正方形分别是正方体的哪6个面吗？（学生上台指认其他5个面）

③课件演示折叠，验证学生观察、想象的结论。

师：通过想象，我们知道这个面是上面，这个面是下面、左面、右面、前面。

（课件动态呈现：二维正方体展开图→三维正方体，如图3）

2.深入探究，逐步建构

（1）研究“一四一”型展开图。

①再次感知。

教师呈现两幅图（如图4），请学生判断是否为正方体展开图。

师：这两幅图是不是正方体展开图？请你仔细观察、想象。

（学生思考）

师：如果它们是正方体展开图，那这6个正方形分别是正方体的哪个面？

（学生表达各自想法）

师：这两幅都是正方体展开图，请仔细观察，你有什么发现？

小结：有一些正方体展开图虽然样子不一样，但是通过旋转、翻转，我们会发现它们其实是同一幅图。

②观察归纳。

根据已确认的正方体展开图，归纳得出“一四一”型展开图的特征。

师：请仔细观察这两幅正方体展开图，除了都是由6个正方形组成，你还看出它们有什么共同之处？

小结：像这样中间有4个正方形，上下各1个正方形组成的正方体展开图，我们把它们叫作“一四一”型展开图。（板书：“一四一”型）

③拓展提升。

师：我们从一个正方体展开，认识了两种正方体展开图，知道了它们的名字叫“一四一”型展开图。学到这里，对于正方体展开图你有没有什么想问的？

生：“一四一”型展开图除了这两种，还有其他的吗？（板书：其他？）

生：正方体展开图除了“一四一”型，还有别的类型吗？（板书：类型？）

生：为什么“一四一”型展开图都能围成正方体？（板书：为什么？）

师：同学们真会思考，提出了很多有思考深度的问题。

④深入研究。

◆学生探究，在练习纸（如图5）上画出其他的“一四一”型正方体展开图。

◆展示交流，逐步完善“一四一”型的6种展开图。

师：老师收集了一些作品，请看大屏幕。

a.出示不同的两幅图（如图6）。

师：请大家仔细地想一想：这两幅图是不是正方体展开图？

b.在不同展开图中找相同。

师：我们给前面的正方体展开图标上序号。这些展开图有什么共同点？同桌讨论交流。

学生交流后反馈。围绕“它们都由4个连着的正方形围成一圈，还有2个正方形上下各1个”这个结论进行深度交流。

c.想象、推理其他的“一四一”型展开图。

师：像这样固定中间4个和上面1个，移动底下这个小正方形（如图7）的“一四一”型展开图，你还能想到哪些？

◆借助推理，洞察“一四一”型展开图的本质。FE42E2FE-9E46-4D91-A198-BE7641C5A304

师：请你仔细观察这6幅正方体展开图（如图8），它们有什么相同和不同之处？

不同点：上、下正方形位置都不同。

相同点：中间都由4个正方形围成，上下各1个正方形，都能围成正方体。

学生操作。同桌两人合作，拿出信封里的学具（两个单个的小正方形和4个连在一起的长方形）摆一摆、议一议。

课堂小结：我们不仅找到了6种“一四一”型展開图，而且明白了为什么“一四一”型展开图都能围成正方体，原来中间4个围成一圈，上面这个不管和哪个面相连，翻下来刚好盖上，下面这个也是一样。（板书：6种）

（2）研究其他类型的正方体展开图。

①引发思考。

师：现在我们来解决第二个问题：除了“一四一”型，正方体展开图还有其他类型吗？

（学生猜测）

师：如果有，你觉得会叫什么名字？

生：“三三”型、“二二二”型、“二四”型……

②主动探索。

学生独立思考，借助前面研究“一四一”型的方法，移动某1个或某2个小正方形，得到其他类型的展开图，观察、想象、讨论能否围成正方体。

③深入研究“一三二”型展开图。

a.借助“一四一”型中T字形这个模型进行推理，引出“一三二”型展开图。

师：刚才我们移动的是上下2个正方形，得到新的正方体展开图，那现在移动中间4个最右边一个小正方形，想象可以移到哪里去（如图9）。

b.学生思考，这幅图（如图10）能不能围成正方体？

先让学生观察、想象、说理，然后课件动态演示，验证它能否围成正方体。

c.引导推理，得出其他三种“一三二”型展开图（如图11）。

d.错例思辨，引出“田字格”型展开图。

师：刚才我们通过移动底下的小正方形，可以得到其他三种“一三二”型展开图，那如果现在移动上面的小正方形（如图12），还能得到新的展开图吗？

（学生想象、交流）

师：为什么形成田字格就不可以围成正方体？

引导学生体会正方体的一个顶点最多连接3个面，而田字格的一个顶点连接了4个面，所以它不能围成正方体。

课堂小结：我们找到“一三二”型也是正方体展开图，而且有3种。

④借助推理，进行“二二二”型和“三三”型展开图的研究。

a.借助“一三二”型进行推理，引出“三三”型和“二二二”型展开图。

师：刚才我们移动的是上下2个正方形，得到新的正方体展开图，那现在继续移动其他位置的小正方形（如图13），想象可以移到哪里去？

b.学生思考，这两幅图（如图14）能不能围成正方体？

先让学生观察、想象、说理，然后课件动态演示，验证它能否围成正方体。

c.引导推理，得出 “三三”型和“二二二”型展开图各只有1种。

（3）洞察内在联系，凸显变与不变。

师：仔细观察“一四一”型、“二三一”型、“三三”型和“二二二”型展开图，这些图形形状不同，为什么都能围成正方体？

引导学生说出都能先找到围成一周的侧面，然后加上一个上面和下面。

①“一四一”型展开图的侧面可以直观看到。

②“二三一”型展开图的侧面在“一四一”型展开图的基础上移动1个小正方形，以“操作+想象”来完成。

③“三三”型和“二二二”型展开图的侧面在“二三一”型展开图的基础上，通过移动1个小正方形，以“想象+推理”来完成（如图15）。

3.课堂总结，再度激疑

师：回顾一下这节课的学习，我们发现正方体展开图一共有11种。你能猜猜，正方体展开图除了这11种还有别的类型吗？正方体有展开图，别的图形也有吗？你们可以尝试去画一画，想一想，用我们今天学到的本领继续进行研究。

三、课后思考

基于上述教学实践，笔者认为本节课的核心目标应该侧重让学生通过数学推理，探索平面图形和立体图形之间转化的规律，具体方法有以下几种。

（一）依托“四种方式、六个环节”设计框架，发展学生的空间观念

首先将发展空间观念作为本课的核心目标。数学教学理论指出，要发展空间观念，有效的方式是充分开展观察、操作、想象、推理等学习活动。观察是直观感知，操作是实际体验，想象是深度把握，推理是洞察本质。所以，在教学中，有层次、有目的地引导学生采用以上四种方式开展学习，如观察活动贯穿始终，需操作时及时动手，该想象时留出想象空间，推理验证凸显思维。

本节课通过以下六个核心环节“想、摆、画、展、评、疑”，让学生经历正方体展开图的形成、发展的过程，空间观念得到有效发展。

（二）遵循“直观想象、逻辑推理有机结合”设计理念，完善学生认知

“正方体展开图共有11种，可分为四个大类”“记住正方体展开图的口诀和窍门”等类似纯结论的灌输，并不是本课学习最重要的任务。为此，让学生经历观察、操作、想象、推理等学习活动，把抽象数学思维转化为直观形象思维，将原本枯燥、抽象的内容变得生动、简单，启发学生拓宽思路，多样化获取知识，建立完善的认知结构。本节课的核心环节可以分为三个层次。

层次一：通过画一画正方体展开图，发现多个类似的结果。

层次二：对多个类似结果进行验证说理，洞察内在联系，凸显知识的本质。

层次三：对归纳得出的规律进行猜想、推理，从而发现新的相类似的结果。

（三）重视“大胆猜想、操作验证”教学环节，引导学生主动提问和探究

开展数学拓展课教学，不仅要重视引导学生大胆猜测、发现问题、提出问题，还要让学生经历问题分析、比较、评价等高阶思维活动;学生基于自己提出的问题，充满热情地去思考和探究，数学课堂更能显现生机与活力，更符合“以生为本”的理念，从学生的视角出发开展课堂教学。为此，本课有意在学习进程的几处关键点上，引导学生自己提出问题，以问题点燃学生思维的火花，激发学生主动、深入地开展探究。

例如：在学生探究了2种“一四一”型正方体展开图后，引导学生对“正方体展开图还有什么想问的”进行交流，从而引出本节课的核心问题，引领整节课的推进。

问题1：“一四一”型正方体展开图还有其他的吗？

问题2：正方体展开图除了“一四一”型，还有其他类型吗？

问题3：为什么“一四一”型展开图都能围成正方体？

教师应设计有效的教学环节，使每一位学生在轻松愉快的学习环境中掌握新知，发展空间观念。同时教师也应清楚地认识到，学生空间观念的培养并不是靠一节课就能有翻天覆地的变化的。一节课犹如“一滴水”，坚持几年，就能“水滴石穿”，让我们向着这一方向不断前行……

参考文献：

[1]史宁中.通过度量，巧用技术，发展空间观念：评析“让画出的图形转起来”一课[J].小学数学教师，2019（9）：42-43.

[2]赵娜.数学教学中小学生空间观念培养的策略[J].读写算，2021（28）：43-44.

（浙江省杭州市滨江实验小学   310053）FE42E2FE-9E46-4D91-A198-BE7641C5A304