小学数学概念构图教学的内涵解析与实践探索

2022-06-08葛敏辉

教学月刊·小学数学 2022年5期

【摘要】概念构图指的是让学生围绕一个问题（或主题），根据自己的思维逻辑，用简要的文字、符号、连接线画出层次明晰的概念图的过程。这个过程能让学生的思维显性化、知识结构化、理解深刻化，促使学生从“单一浅表的点状思维”向“整体深层的结构化思维”递进。以《小数除以整数》一课为例，在解析概念构图教学内涵的基础上，架构概念构图教学的理解层次标准，提出促进深度理解的实践路径。

【关键词】小学数学;概念构图;深度理解

面对“双减”的目标导向，我们需要不断思考深度教学的内涵和创新路径。不难发现，现今的数学教学普遍仍以结果传递为主，这种注重结果导向的教学容易导致学生的理解呈现碎片化、浅表化的状态。让学生经历“概念构图”的过程，可有效促进学生对数学概念的深度理解。

一、“概念构图”教学的内涵解析

概念图是美国康奈尔大学的诺瓦克教授等人创建的一种表征意义关联的结构图。它包括概念、连接、层次和命题四个要素，体现知识的顺序和关系。概念构图指的是让学生围绕一个问题（或主题），根据自己的思维逻辑，用简要的文字、符号、连接线画出层次明晰的概念图的过程。这个过程是学生依据已有数学经验对新信息进行加工、理解、关联、重构的过程，是让学生的思维可视化、知识结构化、理解深刻化的认知过程，也是促使学生从“单一浅表的点状思维”向“整体深层的结构化思维”转变的过程。

在很多的数学教学中，教师常常因为数学思考的隐蔽性而忽视了学生在学习中的思维参与，把学习的过程简单看成线性的知识传递。事实上，有意义学习的心理机制是“概念同化”，即通过一定的思维活动把原有概念和新学知识建立意义关联。因此，让思维可见对于学生深度理解概念非常重要。通过概念构图教学，让学生将不可见的思维状态和理解过程呈现出来，通过“生动地画”“直观地看”“形象地说”“拓展地想”等学习活动，在教学活动中看见学生的思考，强化旧知与新知的意义对接。通过概念构图，学生经历“认知提取—表征内化—结构完善—抽象应用”的深度学习过程，主动地修正、完善和拓展自己对知识的原有理解，发展数学高阶思维。概念构图教学是实现从“知识灌输”向“理解进阶”转变，从“注重知识传递”向“注重素养提升”转变的有效教学方式。

二、概念构图教学的理解层次标准

概念图能唤醒学生大脑中的已有经验和知识进行关联，因此学生在构图、论图、正图、用图的活动中发展思维，从而优化认知、深化理解。“走向深度理解”追求的是学生理解的深刻性与整体性。将概念构图的关键要素转化为理解层次标准，并以此来促进概念构图教学的有效实施，这种逆向思维的教学设计能使教学架构从“随意、主观”走向“准确、客观”，理解过程从“内隐、浅表”走向“外显、深层”，知识建构从“被动、零散”走向“主动、系统”，能切实提升学生的理解水平。

基于SOLO分类理论（如图1），结合概念构图的实质与特点，我们建构了指向深度理解的概念构图教学理解层次标准（见表1）。设计标准时，遵循从具体到抽象、从低级到高级的原则，把学生对概念的理解分成五个层次：（1）不理解;（2）经验性理解;（3）衍生性理解;（4）结构化理解;（5）抽象性理解。

五个理解层次标准将宏观理论指导转化成中观操作实践，可以用来思考概念构图教学的框架。基于这个理解层次标准再把具体的教学内容细化，形成微观的教学目标，使得概念构图教学的设计、实施、评估有一个具体的理解层次标准。以《小数除以整数》一课为例，根据理解层次标准把学生在计算“11.5÷5”时不同的表现进行了分层描述（见表2）。

表2中的不同例子分别对应学生算理理解的四个水平。前两个层次代表了这个阶段学生的学习起点，后两个层次是理解進阶的目标。构建了清晰的理解层次，教师可以更准确地把握学生的认知起点，形成可促进学生深度理解的概念构图教学框架和实践策略。

三、促进深度理解的概念构图教学实践路径

概念构图教学中，让思维可见是手段，促进深度理解是目的。教师要把知识点、思维点、能力点放在概念构图中，以概念构图为载体引导学生进行结构化学习和迁移性运用。从中凸显知识的本质要素，强化知识间的内在关联，促进知识的拓展与应用，帮助学生实现对所学知识的深度理解和整体建构。

如何用概念图呈现学生的已知和困惑？如何在概念构图教学中促使理解进阶？如何以图启思、以图促学？研究团队经过多年实践，提炼出概念构图教学基本操作路径，即通过“初学构图—互学论图—合学正图—拓学用图”四个步骤推动理解进阶。其中，初学构图指的是学生在学习初始阶段，尝试围绕学习主题自行用构图的方式呈现已有的认知和疑惑。互学论图指的是学生围绕不同的概念图相互进行解释、比较、评论，在互动对话的基础上实现理解的衍生、改造和扩展。合学正图指的是学生通过讨论、合作等方式来进一步完善理解，并对已有概念图进行修正或重构，以达到具有上下层级和内在关联的结构化理解。拓学用图指的是学生在应用和拓展中提炼出抽象的本质理解，并用图将自己的所学知识引向广泛的问题解决，以图来促进运用和迁移。在这个过程中，学生相继经历“经验性理解—衍生性理解—结构化理解—抽象性理解”四个理解水平发展阶段，每个阶段都依托于学生的经验和思考。“概念构图学习模型”如图2所示。

下面继续以《小数除以整数》一课的教学为例，具体谈谈以概念构图来促进深度理解的教学实施过程。

（一）尝试表征，唤醒经验性理解

从前测中可知，学生对于“小数除以整数”已经有丰富的经验，只是这些经验因人而异，留存在各自的脑海里。概念构图教学的第一步就是要呈现学生的已有经验，让学生借助情境、操作、图像、算式等把对问题的思考表示出来。

师：这里有一道小数除以整数的除法“11.5÷5”，它的结果是多少？你是怎么想的？把你的想法在练习纸上写出来。C8E55514-531D-42F5-A73B-86BE2AFDB859

（学生独立思考后，教师呈现学生的方法，如图3）

师：这些方法中，你看懂了哪一种？

生：我看懂了方法①，11.5元=115角，115角÷5=23角=2.3元。

生：我看懂了方法②，先用整数除法的竖式计算出商是23，因为被除数11.5扩大了10倍，所以商要缩小到原来的[110]，23÷10=2.3。

生：我看懂了方法③，先把11元平均分成5份，每份是2元还余下1元。1元是10角，10角+5角=15角。再把15角平均分成5份，15÷5=3角。2元+3角=2元3角=2.3元。

师：谁能用老师手上的钱币把这个过程演示一遍？

（学生一边操作一边讲解）

生：因为不够分了，把余下的1元换成10角，就可以和另外的5角合起来继续平均分。

师：如果用图来表示这些方法的关系，你会怎么表示？

生：我把用“元角分”计算的分为一类，用竖式计算的分为另一类（如图4）。

生：我觉得方法①和方法②可以是一类，因为它们都分了一次。方法③要分两次，所以单独一类。

（二）解释比较，推动衍生性理解

当学生的经验被唤醒之后，他们会自主提取相关的知识进行再思考、再创造，生成新的方法和理解。交流、分享的过程其实是实现表征衍生和理解深入的过程。对于大部分学生来讲，他们在解释算法的过程中有机会对现有知识展开联想，生成新的知识结构，或者进行不同表征的转化，形成新的认知。这是后续建立关联、抽象本质的基础。

师：根据刚才同學的介绍，谁还有补充？

（学生汇报不同的想法，如图5）

师：大家比较一下这两种方法，你有什么发现？

生：我觉得方法⑤就是把方法③用竖式表示出来，它们其实讲的是一个道理，都是要把余下的1元进行转化，换成10角，再与其他的5角合并后平均分成5份。

师：谁也想来说一说其他方法有没有联系呢？

……

（三）建立联系，形成结构化理解

全美数学教师理事会在2000年颁布的《学校数学教育的原则和标准》中提出5项数学能力，数学联结能力是其中之一。可见，形成结构化理解不仅是促进深度理解的必要途径，也是培养学生数学能力的重要途径。结构化理解强调在知识的关系中把握其内涵与本质，从而形成一个整体的结构，这比仅仅在一个知识“点”上进行深入理解更进了一步。概念构图教学特别强调比较后的关联，学生一般会选择用知识的逻辑序来构图，也会选择根据策略的关系分析来构图，还会选择通过方法的异同情况来构图。

师：根据刚才的讨论，这些方法可以怎么整理呢？你的构图可以做怎样的修改？

（小组讨论。教师出示活动要求：①各自陈述自己的构图和想法;②形成小组的意见重构概念图。学生准备汇报）

师（出示图6）：有两个小组汇报了他们的观点，方法①②都是先转化为整数除法，再把商缩小。方法③④⑤都是不转化，直接计算的。

生：我们组觉得方法②是对方法①的记录，它们都是转化为整数除法计算的。方法④⑤这两个竖式是对方法③的记录，它们不转化成整数除法计算（如图7）。

师：这两个竖式都是在记录方法③分的过程，它们哪里不一样？

生：一个是以0.1为计数单位继续除，一个是以1为计数单位。

师：你觉得哪种好一些？

生：我喜欢15÷5。如果是1.5÷5，那么后面还有小数部分，每次都要把这个小数写出来，这样太麻烦了。

师：可以怎么用构图的方式来表示刚才大家的发现呢？

生：我觉得方法⑤可以放到方法④的后面，因为方法④其实也是要转化为方法⑤进行计算的，这和分钱过程是一致的（如图8）。

（四）拓展反思，促进抽象性理解

数学学习的核心是学生能发现现象背后的本质原理以及其蕴含的深刻思想，这对于迁移和拓展有着极其重要的意义。因此，概念构图教学十分重视抽象和迁移，在这个过程中学生能充分经历数学化的过程，对数学知识进行理解、应用、拓展。