Vondrak 滤波在能谱光滑中的应用研究

阳林锋，代启东，牛 江，黄礼渊，吴明昌，张一帆，周 航

（中国核动力研究设计院，四川 成都 610200）

谱光滑是能谱分析中的重要部分。由于核衰变及测量的统计性，当计数较小时，计数的统计涨落比较大。相对于全能峰峰位，全能峰边界更易受统计涨落的干扰，为了消除统计涨落的影响必须对谱数据进行谱光滑处理[1]。

谱光滑不仅要起到减小统计涨落的作用，还要能保持谱线的形状特征，目前常用的谱光滑方法主要有平均移动法、重心法、多项式最小二乘拟合法等[2]。其基本思想是逐点对谱数据进行处理，以待处理点为中心，左右各取m 点对该点进行修正，从而达到消除统计涨落的目的。但它们都存在一些缺点，如峰形易畸变，弱峰易丢失，产生干扰峰等。Vondrak 滤波是一种适合于等间隔的观测数据又适合于非等间隔的观测数据的平滑方法，且其能在未知观测资料的变化规律及其拟合函数的情况下，对观测资料进行有效的平滑[3-4]。因此，Vondrak 滤波对能谱的谱光滑是适用的。本文对Vondrak 滤波在能谱光滑中的应用进行研究，得出光滑谱的解析解。计算了Vondrak 滤波法的光滑评价因子，并与其他3 种方法（平均移动法、重心法、多项式最小二乘拟合法）进行了比较。实验验证了Vondrak 滤波法的稳定性和实用性。

1 理论基础

1.1 Vondrak 能谱光滑

Vondrak 滤波具有很好的低通滤波效果，在诸多领域都得到了成功的应用[5-7]。对于能谱其基本工作原理如下：

将公式（1）表示为最小二乘法形式为[8-9]

对式（2）两边进行对Y'的求偏导可得：

式中，WλAAn×n为系数响应矩阵，对其进行初等行变换可得：

对于能谱，其不同区域的拟合权重是不同的。由于核衰变及测量的统计性，当计数较小时，计数的统计涨落比较大，故在这些区域应该降低拟合度，例如全能峰边界以及康普顿平台区域；而对于计数较高区域，统计涨落的影响较小，本身就比较光滑，故在这些区域应该提高拟合度，例如全能峰区域。拟合权重我们按照如下公式进行计算：

已知wi>0，则此时变换后的矩阵的秩为n。矩阵初等行变换不改变矩阵的秩[10]，所以WλAAn×n为满秩矩阵，具有可逆性，故公式（5）可变为公式（8）形式。至此，求解光滑谱问题转化为解方程问题，可通过求解系数响应矩阵的逆矩阵来计算光滑谱。

1.2 光滑效果评价

能谱光滑的基本原则是要起到减小统计涨落的作用，还要能保持谱线的特征信息。根据文献[11]，光滑效果可用如下计算进行评价：

式中，ξ 为评价因子，ξ 值越大，光滑效果越好；ri为测量谱与光滑谱对应每个点之间的加权偏差，rˉ为ri的算数平均值；D（r）为加权偏差的标准方差，统计涨落剔除越多，D（r）越大，可见D（r）表征了祛除统计干扰的程度；χ2为卡方值，用于非线性回归分析拟合效果评价，其值越接近1，拟合效果越好；M 为自由度；left 和right 分别是被光滑谱段的左右道址。

2 实验与分析

实验采用探测器选用溴化铈探测器（3.7%@662keV），其圆柱状晶体尺寸为Ø45×50 mm，探测器实物图片如图1 所示。测量的放射性核素152Eu、232Th，分别运用平均移动法、重心法、多项式最小二乘拟合法和Vondrak 滤波法对测得的γ 射线能谱进行谱光滑。

图1 溴化铈探测器

探测152Eu 放射源的γ 射线能谱、平均移动法光滑谱、重心法光滑谱、多项式最小二乘拟合法光滑谱、Vondrak 滤波法光滑谱分别如图2（a）-（e）所示。探测232Th 放射源的γ 射线能谱、平均移动法光滑谱、重心法光滑谱、多项式最小二乘拟合法光滑谱、Vondrak 滤波法光滑谱分别如图3（a）-（e）所示。

从图2、图3 可以看出，Vondrak 滤波法对能谱特征峰信息的保持是完整的。为了对全谱光滑效果进行综合评价，根据公式（9）对各光滑结果进行全谱评价因子ξ 的计算，计算结果见表1。由表1 可知，对于152Eu射线能谱，光滑效果最好的是多项式最小二乘拟合法；对于232Th 能谱，光滑效果最好的是Vondrak 滤波法。相较于其他光滑方法，当λ=2 时Vondrak 滤波法的D（r）值最大，说明Vondrak 滤波法对能谱中统计涨落的抑制更加彻底，降干扰效果最好。

表1 各光滑结果评价因子值

图2 152Eu 放射源的γ 射线能谱及光滑谱

图3 232Th 放射源的γ 射线能谱及光滑谱

3 结论

谱光滑的主要目的是降低放射性测量中能谱的统计涨落，同时保持能谱的特征信息，为后续更精确地解谱分析作预处理。根据Vondrak 滤波最小二乘形式，结合拟合权重矩阵，提出了能谱谱光滑的理论计算公式，并运用于实际测量能谱光滑的应用中，分别从光滑效果图和评价因子计算值上对光滑结果进行了评价。综合研究表明，相较于平均移动法，重心法和多项式最小二乘拟合法，Vondrak 滤波法对能谱中统计涨落的抑制更加彻底，同时对能谱的特征信息可以进行较好的保持，是一种更优的谱光滑方法。