融合数学文化， 构建生命课堂

林运蓉

【摘要】七年级学生在学习有理数这一章节时，其中“实验与探究”中的“填幻方”游戏很符合他们的年龄特点.学生在探寻游戏答案的过程通过调试数字、获得规律能感受到数学知识的魅力.对学生来说，探究奇妙幻方的数学知识是展示数学智慧的愉悦过程.

【关键词】幻方;数学文化;生命课堂

数学课堂教学中关注数学文化的渗透融合，学生能用数学眼光领悟知识中的数学思想方法;数学价值在数学知识与现代技术结合中呈现出来，学生更能深刻感受数学魅力.我们的数学课堂在“目标导航，乐趣为先，探究为重，实验为主，素养为上”的核心引领下呈现出学习、研究、生命的凝聚力，激发师生生命潜能，提升师生互动的教学效果.下面笔者以“填幻方”为核心问题，引入幻方学习来进行说明，以期得到同行的批评与指正.

一、提出趣题，追踪溯源

“填幻方”是人教版七年级数学第一章有理数章节中“实验与探究”的一个课题学习，它要学生借助有理数的加法法则与运算律以及字母表示数等相关知识，使所填的数符合幻方的要求.学生在感受图形的对称美的同时，经历实践活动的过程，多角度尝试，积累了构造三阶幻方的经验.学生对其中蕴含的规律进行分析，能学会寻找数学思考的着眼点，领悟数学思想方法.

例1 填幻方：我们要将1—9这9个数字填到三行三列的九个格子中，要求：每行、每列及两条对角线上的和都相等.

【设计意图】教师在给出题目后布置了两个任务：一是会填，二是找其历史来源.

（一）洛书的传说

相传大禹治水时期，洛阳西洛宁县洛河中浮出长九尺的神龟，背上驮着美妙的图案“洛书”，大禹依此治水成功，遂划天下为九州.将1—9这9个数字填到三行三列的九个格子中，如图1所示，使其中任意一行、任意一列及两条对角线上的和都相等，即横、竖、斜的三个数相加都得15（其和称为幻和），这是世界上最早的矩阵，史称“幻方”，其在数学上属于三阶幻方，起源于中国，是世界上第一个幻方.欧洲14世纪才开始研究幻方，比中国晚约2000年.

（二）武侠小说与幻方游戏

《射雕英雄传》中郭靖、黄蓉两人被裘千仞追到黑龙潭，躲进瑛姑的小屋.瑛姑双手捧头，苦苦思索，发问：“将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角，每三字相加都是十五，如何排法？”黄蓉回答道：“我爹爹经营桃花岛，五行生克之变，何等精奥？这九宫之法是桃花岛阵图的根基，岂有不知之理？口诀为‘九宫之义，法以灵龟，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央.”黄蓉边说边在沙上画了一个九宫图，进一步说道：“不但九宫，即使四四图，五五图，以至百子图，亦不足为奇.就说四四图吧，以十六字依次作四行排列，先以四角对换，一换十六，四换十三，后以内四角对换，六换十一，七换十，这般横直上下斜角相加，皆是三十四.”如图2所示.

【设计意图】教师以洛书和《射雕英雄传》这两个故事为课堂导引，让学生在查找阅读的同时增强民族自豪感，增强学习数学的兴趣.

二、有趣幻方例举，学科育人

幻方的研究史：幻方是中国传统游戏，自汉唐以来，统一的中国在对外经贸与文化交流过程中，幻方古算题漂洋过海，东传日本，西播欧美.

①魔鬼幻方1：它除了每行、每列、每條对角线上4个数和相等是34以外，任意由四个方格或九个方格组成的正方形四个角4个数的和也相等，是34，真是非常奇特.（如图3）

②魔鬼幻方2：它刻于11世纪的印度太苏神庙石碑上，妙不可言的是把幻方边上的行或列，挪动到一边去，所得到的仍是一个幻方，任意四个方格中4个数的和也是34.它也称为完美幻方.（如图4）

③丢勒幻方：它是欧洲现存最古老的幻方，是公元1514年德国画家丢勒在铜版画《忧郁》上刻的图，创作年份1514嵌入底层中间两个数中.它的每行、每列、每条对角线上4个数和相等，都是34.（如图5）

④玉挂幻方：上海陆家嘴公园陆深墓出土文物有一件玉挂，它的反面是一个四阶泛对角幻方.（如图6）

⑤欧拉的马步幻方：它由1—64个自然数组成，每行或每列数的和是260，而半行或半列数的和都是130，按照国际象棋棋盘的“马走日”的规定，从1出发，马可以不重复走遍整个棋盘.（如图7）

⑥六角幻方：1962年，阿当斯填出了他耗费了52年心血换来的六角幻方.1969年滑铁卢大学阿莱尔证明得出六角幻方只有一个.（如图8）

⑦安西王府幻方铁板：它是元代西安受阿拉伯文化影响的重要见证，是我国数学史上应用阿拉伯数字的最早实物资料.它是1957年在西安东郊元代安西王府遗址出土的，这个六阶幻方每行、每列及两条对角线上6个数的和都是111，它是一个二次幻方，第一行和第六行6个数的平方和相等，都为3095，第一列和第六列6个数的平方和相等，都为2947.这个六阶幻方去掉最外面一层，中间剩下的部分仍是一个由11—26这16个数字组成的四阶幻方，这个四阶幻方每行、每列以及两条对角线上的4个数的和都是74.（如图9）

⑧百子回归图：它是由1—100这100个数字组成一个十阶幻方，其每行、每列、两条对角线上10个数的和均相等，它是我国第一座数字碑，代表一部数字化的澳门简史，中央四数连读即“1999·12·20”，标示澳门回归日期， “49”年中华人民共和国成立，从此中国人民站起来了;“97”年香港回归祖国;“79”年中葡两国正式建立外交关系，澳门主权归属是建交谈判中的主要问题;“88”年中葡两国互换关于澳门问题的《中葡联合声明》批准书，从此澳门踏上了回归祖国的阳光大道.（如图10）

【设计意图】经过寻找探究奇妙的幻方，学生从中接受中国传统数学文化的熏陶，对数学学科的思考更加深入.学生在质疑、点拨、拓展中感悟幻方的魅力.

三、构造、规律探索，掌握知识

（一）幻方的构造E1DED967-DD3A-4EB8-9231-50DDE54DC5DF

师：对幻方的构造法，你能谈一谈吗？

生：我国南宋数学家杨辉是最早系统研究幻方的，他在自己著作的《续古摘奇算法》里介绍了一种幻方的构造方法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出.”其意思为：只要将九个自然数按照从小到大的递增次序斜排，然后把上、下两数对调，左、右两数对调，最后再把中部四数各向外面挺出，就构造出一个三阶幻方.

生：从旋转的方法来看，发现：5在中间，2，4，6，8这四个偶数在四个角，而1，3，7，9这四个奇数在以5为圆心的一个圆上.

（二）幻方的规律探寻

师：幻方的定义是什么？

生：n阶幻方的定义：幻方又称纵横图、奇方或方阵、魔阵等.n阶幻方是把1至n2的自然数排列成正方形，使它的纵横均有n个数，而把每行、每列，有时还包括两条对角线上的数加起来，它们的和都是相等的，这个和叫作幻和.幻方的幻和等于 n （n2 +1） ÷2 .

师：以三阶幻方为例来探索规律，你能得出哪些结论？期待你的发现，总结出规律.

生：三阶幻方最中间的数是中间格（幻心），四个角为角格，还有四个数是边格.

生：幻和是4+9+2=3+5+7=8+1+6=4+5+6=2+5+8=15，这9个数的平均数（幻心）为1+2+3+4+5+6+7+8+99=5，每对数的和：4+6=2+8=9+1=3+7=5×2=10.

生：得出规律一类：

9个数内部存在的规律：①每行、每列、每条对角线上的3个数的和都相等，并且都等于幻和.②9个数的中位数在幻方的中间格位置.③幻和是这9个数的中位数（幻方中间格的数）——幻心的3倍.④以中间格的数（幻心）为中心，与其对应的上下、左右、对角的两个数的和分别是幻方中间格的数的2倍，每对数的连线都经过幻方中间格（即幻方的“中心”）.

生：得出规律二类：

幻方运算存在的规律：①幻方中每一个数都加上同一个数，所得的方格仍是幻方.②幻方中每一个数都减去同一个数，所得的方格仍是幻方.③幻方中每一个数都乘同一个不为0的数，所得的方格仍是幻方.④幻方中每一个数都乘同一个不为0的数后，再加上（或减去）另一个相同的数，所得的方格仍是幻方.

师：幻方中圆圈的两个数与三角形框内的数之间有什么关系？

生：从图中观察发现，8是角格上的数，9和7是边格上的两个数，且8×2=9+7，同理2×2=3+1，4×2=1+7，6×2=3+9，从而得出：与这个角格不相邻的两个边格上的数加起来的和是这个角格上的数的2倍，即：角格上的数=不相邻两个边格上的数的和的一半.

【设计意图】教师从三阶幻方的构造谈起，引发学生对9个数之间的规律进行细致探讨，进而能自行构造出符合题意的幻方来.

四、学以致用，提升巩固

学生对三阶幻方的规律进行全方位的探寻.接下来教师可以设置循序渐进的练习，以发挥学生的数学智慧，从而使其对规律进行实质上的记忆并应用.教师尝试设计以下题组，供学生参考.

练习1：请你将下面三组数分别填入3×3的方格中设计一个三阶幻方，使得每行、每列、每条对角线上的3个数之和相等.（1）-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.（2） 2，4，6，8，10，12，14，16，18.（3） 1，4，7，10，13，16，19，22，25.

参考答案：

练习2：挑战幻方填空：请你在下面的3×3的方格中设计一个三阶幻方，使得每行、每列、每条对角线上的3个数之和相等.你能正确填出几个？认真思考，定能全部闯关，你是最棒的！

练习3：设计幻方大挑战：①试一试：将9个连续偶数构造为三阶幻方，其幻和是30.②想一想：构造三阶幻方，幻和为48 .③做一做：编出一个三阶幻方，幻和为60，有几种？

【分析】①由幻和=中心数×3，得出中心数为10，进而得出这9个数为：2，4，6，8，10，12，14，16，18.②方法1：由幻和=中心数×3，得出中心数为16，进而得出这9个数为：12，13，14，15，16，17，18，19，20.由①启示得，方法2：这9个数还可以为：8，10，12，14，16，18，20，22，24.③方法1：由幻和=中心数×3，得出中心数为20，进而得出这9个数为：16，17，18，19，20，21，22，23，24.方法2：这9个数为：12，14，16，18，20，22，24，26，28.方法3：这9个数为：4，8，12，16，20，24，28，32，36.还可以写出很多种呢！

【设计意图】三阶幻方的练习是在规律的探索基础上，学生即学即用.幻方有多种构造方法，学生尝试得出构造方法的同时，体会数学思考的乐趣.幻方的多种构造也让学生感悟到高中的等差数列的概念.

五、几点反思感悟

在填幻方这一节课上，学生对幻方的研究史、奇妙的幻方有了初步的理解，但还意犹未尽.有些学生还提前查询了幻方的其他知识，使数学视野变得更加开阔.

幻方是一種中国传统游戏，古时在官府与学堂里常见.幻方具有智力开发功能，在《奥林匹克数学》书中是一个重要内容.幻方在数学应用领域为组合分析、实验设计、图论、数论、群、对策论、程序设计、人工智能等.围棋盘是19阶方阵，象棋盘是八阶方阵，走法原理与幻方的布局原理有联系.西方建筑学家勃拉东运用幻方的对称性设计组成许多魅力的图案.

幻方的分类：①完全幻方：每行、每列、每条对角线上的数的和相等.②乘幻方：每行、每列、每条对角线上的数的乘积相等.③反幻方：每行、每列、每条对角线上的数的和都不相等.

n阶幻方中三阶幻方属于奇数阶幻方，对于四阶幻方这样的偶数阶幻方，它的构造是怎样的呢？以1—16这16个数字构造四阶幻方，构造①：一字排开，对角不动，上下交换，左右交换;构造②：一字排开，外对角交换，内对角交换;构造③：对构造②纵向对半切开，交换后再接起来;构造④：对构造②横向对半切开，交换后再接起来.这4种构造的幻方的幻和都是34.

数学文化在数学历史的长河中不断注入前进、延伸拓展，有效使用数学史料，追寻数学的生命气息，打造数学生命课堂，用数学眼光进行数学思维，能够增强学生对数学的认同感，提升其数学素养.数学文化和生命课堂的和谐共处，能够增强学生的爱国情操和文化自信，丰富数学课堂的文化底蕴.

【参考文献】

[1]杨淑琴.寻规律填幻方[J].中学生数学：初中版，2017（12）：16-17.

[2]李宝占，刘兴华.幻方入课堂，正待花开时[J].中小学数学：初中版，2018（7）：113.

[3]李发勇，施晓华.对三阶幻方的趣味探讨[J].数学教学，2008（4）：27-30.E1DED967-DD3A-4EB8-9231-50DDE54DC5DF