基于双尺度理论优化混凝土力学性能的研究

高皓宸　李伟　张旭东

摘要：为了实现混凝土抗压强度及弹性模量的精细化数值计算，基于双尺度理论建立了混凝土双尺度数值模型。该理论以有限元方法为载体，通过正交试验对混凝土抗压强度和弹性模量的影响因素进行了分析，并进行了力学试验验证。研究结果表明：1）双尺度理论在混凝土数值模拟中的应用具有可行性，运用该方法的数值结果与试验结果差值在4.22%之内;2）混凝土的抗压强度受细观参数影响高度显著，其中砂浆性能对整体抗压强度的影响比例可达24.35%;3）混凝土的弹性模量受细观参数影响显著，其中粗骨料性能对整体弹性模量的影响比例可达6.55%。研究结果揭示了混凝土内部的粗骨料、砂浆、界面过渡区与孔隙对整体性能的影响效应，为优化和设计新型混凝土材料提供了新思路。

关键词：非金属建筑材料;双尺度理论;有限元方法;混凝土数值模拟;正交试验

中图分类号：TU5281文献标识码：A

DOI： 10.7535/hbgykj.2022yx02009

Study on optimizing mechanical properties of concrete based on two-scale approach

GAO Haochen LI Wei ZHANG Xudong

（1School of Urban Planning and Municipal Engineering，Xi′an Polytechnic University，Xi′an，Shaanxi 710600，China;2Network Information Center，Xi′an Jiaotong University，Xi′an，Shaanxi  710049，China）

Abstract：In order to realize the refined calculation of concrete compressive strength and elastic modulus，a two-scale numerical model of concrete was established based on the two-scale approachThe finite element method was taken as the carrier of this approach，the influencing factors of concrete compressive strength and elastic modulus were analyzed through orthogonal experiment，and the result was verified by mechanical testThe results show that：1） the application of two-scale approach in numerical simulation of concrete materials is feasible，and the difference between the numerical results and the experimental results is within 4.22%;2） the compressive strength of concrete is significantly affected by meso parameters，and the influence proportion of mortar on the overall compressive strength is up to 24.35%;3） the elastic modulus of concrete is significantly affected by meso parameters，and the influence proportion of coarse aggregate on the overall elastic modulus is up to 6.55%The effects of coarse aggregate，mortar，interface transition zone and pores in concrete on the overall performance is revealed through the research results，which provide new methods for the optimization and design of new concrete materials

Keywords： non-metallic building material;two-scale approach;finite element method;numerical simulation of concrete;orthogonal experiment

混凝土是土木工程中最常用的材料之一。在宏觀尺度下，混凝土被假定为一种各向同性的均质材料;在细观尺度下，混凝土表现为由粗骨料、硬化的水泥砂浆、两者之间的界面过渡区（interfacial transition zone，ITZ）以及孔隙等构成的多相复合材料。

WITTMANN等[1]首次提出了“混凝土的细观结构”，将基于细观结构的研究思路和方法引入到混凝土材料宏观性能的研究中，该研究为探索混凝土力学性能提供了一种精细化方法。刘光廷等[2]提出的随机骨料模型已成为混凝土细观结构建模使用较为广泛的方法之一。马怀发等[3]采用随机骨料法对钢筋混凝土梁进行了抗弯实验分析。赵吉坤[4]采用对砂浆性能弱化的方法来模拟孔隙和微裂纹对混凝土宏观力学性能及细观破坏的影响。宋来忠等[5]将复合材料的增强颗粒形状构建为星形，提供了创建更加接近真实试件的几何模型方法。田梦云等[6]研究了各种因素对混凝土宏观应力-应变关系和最终破坏模式的影响。

上述研究中，针对混凝土细观结构中的界面过渡区以及孔隙实体对混凝土整体性能和破坏模式的影响研究还不够深入，且研究的数值模拟边界条件也存在着与实际混凝土力学试验不符的问题。基于此，本研究将双尺度理论作为理论基础，根据自编程序模拟四相混凝土的几何结构，通过模拟不同工况下的数值实现混凝土宏观等效力学参数的计算。

1混凝土数值模拟方法

1.1细观-宏观双尺度理论

混凝土是一种典型的多相复合材料，根据LI等[7]的复合材料双尺度理论，对具有两相或多相复合材料建立坐标系，如图1所示[7]。

基于复合材料力学量的渐进展开式和摄动理论，将双尺度位移场分解为宏观和细观2个尺度。

1.2混凝土数值模型

1.2.1混凝土双尺度模型

本研究的数值模拟方法以双尺度理论为基础，而双尺度公式的形式为有限元微分方程组，因此有限元法相对于离散元法等更适合作为数值模拟的载体。笔者将包括粗骨料、水泥砂浆、界面过渡区与孔隙在内的四相模型用于混凝土抗压强度及弹性模量的有限元数值模拟。混凝土粗骨料按形状可分为碎石与卵石。王晓琴等[8]提出不规则粗骨料颗粒比圆形粗骨料颗粒更能反映真实骨料的特点，计算结果也更接近于宏观试验。故模型中的碎石骨料被模拟为随机多边形，单个粗骨料示例如图2 a）所示。其中，所有粗骨料在整体模型中的分布采用了随机均匀算法。同时，粗骨料的级配满足二维模型常用的Walraven表达式，如式（11）所示，且基于文献[9]的算法保证骨料之间不会发生相交情况。

混凝土内部常常含有孔隙或微裂缝，它们对混凝土力学性能和失效破坏模式会产生影响。陈青青等[10]提出圆形、椭圆形、多边形孔隙对计算精度影响有限，而圆形孔隙的计算效率明显高于其他两种。因此模型中的孔隙被模拟为圆形，孔隙在混凝土模型中满足随机均匀分布。

水泥砂浆在混凝土中起着胶结作用。混凝土的破坏往往发生于砂浆内部以及砂浆与骨料的交界处，砂浆强度性能对混凝土力学特性影响高度显著[11]。

RAO等[12]认为在砂浆与骨料的交界处存在ITZ，这是由于壁效应以及骨料颗粒周围水泥水化产生的孔隙而形成的。ITZ的材质与砂浆差别不大，但是其内部疏松多孔，因此ITZ容易成为混凝土整体的薄弱部位。ITZ几何由已建成的粗骨料模型进行缩放而成，其厚度为100 μm，如图2 b）所示。

1.2.2边界条件与网格划分

双尺度模型处于单轴受压状态时的边界条件应设置为底边中点的横向与纵向位移约束、底边其余点的纵向位移约束以及顶边的纵向位移荷载[13]，如图3所示。

网格划分及细部结构如图3所示，网格单元为四边形为主的线性平面应变单元。其中，对于横截面尺寸沿纵轴不变、受有平行于横截面而且不沿纵轴变化的面力或约束的物体，平面应变模型可以将其简化为二维模型进行分析，相较于三维模型提高了计算效率。

1.3材料参数

基于文献[14]—[16]中的相关规范参数赋予混凝土各组成相力学参数。一般情况下，粗骨料的抗压强度远高于水泥砂浆和界面过渡区，数值模拟时，粗骨料被假定为线弹性材料[17]，粗骨料的参数如表1所示。水泥砂浆属于脆性材料，其抗拉强度远小于其抗压强度，因此砂浆的塑性损伤本构关系应分为抗压与抗拉参数[5-6]，水泥砂浆的强度等级如表2所示。界面过渡区只存在于骨料与砂浆表面的交界处，其力学性能一般为砂浆的60%～80%[18-19]。界面过渡区的力学性能可以等价为水泥砂漿力学参数按一定比例的“弱化”，笔者将水泥砂浆与界面过渡区之间的弱化系数设置为08，如表3所示。

1.4数值模拟方法总流程

基于双尺度理论和有限元方法的混凝土双尺度模型数值模拟总流程图如图4所示，总体可分为以下4步。

步骤1：输入模型的细观组成相参数，进而生成各组成相的几何模型。

步骤2：将生成的各组成相几何模型逐一随机投放至指定区域，同时进行碰撞检测判断，直至各组成相的占比达到输入的预期值。

步骤3：完成几何结构建模，并对整个模型进行网格划分，赋予各组成相力学参数及设置边界条件等步骤。

步骤4：将模型提交计算，基于双尺度方法进行后处理，输出所期望的混凝土宏观力学参数。

2混凝土数值模拟正交试验设计

基于前述数值模拟方法，混凝土内部的多种因素都有可能对混凝土抗压强度、弹性模量产生影响。正交试验可以高效分析多因素多水平对混凝土抗压强度、弹性模量的影响效应，正交试验中设置各因素的原因如下。

1）粗骨料的面积分数（因素A）可以反映出实际混凝土配合比的改变对整体强度性能的影响，粗骨料占比的改变也就意味着砂浆及界面过渡区面积分数的相对改变。

2）混凝土内部的孔隙率（因素B）可以反映出实际混凝土中存在的初始缺陷对整体性能的影响，孔隙率衡量着混凝土中是否存在初始缺陷及初始缺陷大小。

3）粗骨料的种类（因素C）可以反映出实际混凝土中选用不同种类的粗骨料对整体力学性能的影响。

4）水泥砂浆的性能（因素D）可以反映出实际混凝土中的水泥砂浆采用不同的强度等级对整体力学性能的影响。

正交试验采用了L（4）正交表，各因素与水平的设置如表4所示。其中，因素C和D涉及了不同水平的材料属性，具体如表1—3所示。

3结果与讨论

3.1混凝土数值模拟结果与试验验证

基于正交试验完成数值模拟的全流程后，通过后处理得到的各工况下混凝土的应力-应变曲线如图5所示。

为了验证数值模拟方法的准确性，严格按照模拟参数设计配合比进行混凝土立方体抗压强度试验。试验所用的电液伺服压力试验机型号为YNS-Y2000，试验中的工况2，3，4代表试块的破坏情况如图6所示。相同工况下的力学试验结果与数值模拟结果的对比情况如图7所示。

试块的破坏机理可以根据第二强度理论进行分析，任意应力状态下，只要ε达到极限值ε/E，材料就发生断裂，如式（12）所示。

混凝土单轴受压时，若试验机的承台与试块的接触面润滑良好，试块将沿垂直于压力的方向开裂，这正是ε的方向，这与图6 b）至图6 d）中试块的纵向或斜纵向开裂情况较为一致。斜纵向的开裂模式也与混凝土内部的粗骨料分布有关，当裂缝发展的路径中存在粗骨料时，裂缝会绕开粗骨料，并沿着粗骨料表面的界面过渡区继续开展，若界面过渡区纵向的邻近位置存在孔隙，则裂缝会优先向着容易产生应力集中的孔隙处开展。

图7中，试验测得的工况2，3，4下混凝土的抗压强度分别为17.96，20.14，20.97 MPa，其与相同工况下数值模拟结果的差值分别为2.39%，4.20%，4.22%;试验测得的工况2，3，4下混凝土的弹性模量分别为26 632，29 217，31 180 MPa，其与相同工况下数值模拟结果的差值分别为1.78%，1.58%，1.40%。试验与数值模拟得出的单轴受压应力-应变曲线在弹性阶段拟合较好，在工程精度下，可认为该数值模拟方法具有较高的准确性。此外，该数值模拟的有效性也可通过与传统有限元方法进行对比得到验证。考虑到该数值模型设置了多种细观参数，在计算之前是未知其宏观性能的，但是传统有限元方法计算时需要已知混凝土的宏观性能，两者较难通过控制变量进行对比。

工况2试块在单轴受压数值模拟中的应力-应变曲线如图8所示。由于混凝土的抗拉强度远小于其抗压强度，其破坏模式往往表现为受拉开裂破坏，[JP4]图8曲线中不同阶段的特征点处的受拉损伤情况如图9所示。

图8和图9中，混凝土所受压应力达到临界点（a）时，损伤首先产生在界面过渡区表面，而后沿着邻近的孔隙贯通展开，孔隙处产生了明显的应力集中现象。混凝土所受压应力达到峰值点（b）时，损伤的路径已发展于骨料之间的砂浆上，并且在两侧边附近以及骨料分布密集的部位出现了较密集的损伤。随着加载继续，损伤达到限值并逐渐发展成混凝土内部的微裂缝。混凝土所受压应力达到拐点（c）时，裂缝继续扩展、贯通，并逐渐发展为密集的宏观裂缝，内部结构赖以传递荷载的路径不断减少。混凝土所受压应力达到收敛点（d）时，宏观裂缝分布密集且已贯穿了混凝土整体，其中较为明显的是开展在大粒径粗骨料两侧的“倒V型”裂缝，同时在模型的两侧向也产生了密集的纵向裂缝，此时混凝土已失去继续承压能力。

图9 d）收敛点（d）处的损伤情况与图6 b）中试验的破坏情况对比显示：两者均在中部出现了明显的纵向斜裂缝，同时两侧边附近产生了密集的纵向裂缝，可见数值模拟损伤情况与试验开裂破坏情况具有较好的一致性。

3.2结果分析

3.2.1正交试验结果

基于正交试验对混凝土双尺度模型进行不同工况的数值模拟后，所得结果如表5所示。

3.2.2极差分析

基于正交试验的极差分析结果如表6与表7所示。

由表6可知，4种因素对混凝土的抗压强度影响程度从大到小依次为水泥砂浆的性能（因素D）、混凝土内部的孔隙率（因素B）、粗骨料的面积分数（因素A）、粗骨料的种类（因素C）。

由表7可知，4种因素对混凝土的弹性模量影响程度从大到小依次为水泥砂浆的性能（因素D）、粗骨料的面积分数（因素C）、粗骨料的种类（因素A）、混凝土内部的孔隙率（因素B）。

粗骨料的面积分数由30%提高至35%，混凝土的抗压强度提高了5.42%，弹性模量提高了2.78%;粗骨料的面积分数由35%提高至40%，混凝土的抗压强度提高了0.36%，弹性模量提高了6.37%;粗骨料的面积分数由40%提高至45%，混凝土的抗压强度提高了3.47%，弹性模量提高了3.02%。可见，粗骨料在混凝土中起骨架作用，其具有较大的刚度与强度，因此粗骨料在混凝土内部被分配了较大的应力，从而改善了其余组成相的受力情况。

孔隙率由0%提高至1%，混凝土的抗压强度减少了7.05%，混凝土的弹性模量减少了0.65%;孔隙率由1%提高至2%，混凝土的抗压强度减少了5.96%，混凝土的弹性模量减少了1.75%;孔隙率由2%提高至3%，混凝土的抗压强度减少了5.02%，混凝土的弹性模量减少了0.28%。可见，随着混凝土孔隙率的减少，混凝土的密实度提高，混凝土的抗压強度也随之提高。同时，孔隙率的提高会对混凝土的刚度产生轻微的削弱效果。

粗骨料种类由大理岩变为石灰岩，混凝土的抗压强度减少了2.39%，混凝土的弹性模量增加了6.55%;粗骨料种类由石灰岩变为花岗岩，混凝土的抗压强度减少了0.66%，混凝土的弹性模量增加了4.59%;粗骨料种类由花岗岩变为玄武岩，混凝土的抗压强度减少了3.03%，混凝土的弹性模量增加了3.54%。可见，混凝土的性能受到粗骨料种类的影响，且粗骨料种类对弹性模量的影响较为明显。

水泥砂浆的性能由M15提高至M20，混凝土的抗压强度提高了24.35%，弹性模量提高了7.75%;水泥砂浆的性能由M20提高至M25，混凝土的抗压强度提高了15.10%，弹性模量提高了4.52%;水泥砂浆的性能由M25提高至M30，混凝土的抗压强度提高了14.26%，弹性模量提高了4.60%。可见，水泥砂浆是混凝土的基体，其力学性能极大程度上决定了混凝土整体的力学性能。此因素可看作水泥砂浆与ITZ对混凝土力学性能的共同影响。

效应曲线图是对极差分析表的直观描述与总结，如图10所示。

3.2.3方差分析

基于正交试验的方差分析结果如表8与表9所示。

如表8所示，对于抗压强度指标：水泥砂浆性能达到了高度显著水平（α=0.01），孔隙率达到了显著水平（α=0.05），粗骨料面积分数和粗骨料种类没有达到显著水平。

如表9所示，对于弹性模量指标：水泥砂浆性能达到了高度显著水平（α=0.01），粗骨料种类达到了高度显著水平（α=0.01），粗骨料面积分数达到了高度显著水平（α=0.01），孔隙率没有达到显著水平。

4结语

将双尺度理论作为理论基础，通过有限元方法完成了混凝土双尺度模型的数值模拟全过程，达到了对混凝土宏观力学性能精细化计算与优化的目的，并基于数值模拟参数进行了混凝土立方体抗压强度试验来验证模拟的准确性，结论如下。

1）基于混凝土双尺度模型进行的数值模拟可以预测混凝土的宏观力学性能。该方法已实现参数化、程序化，其参数可根据研究的需要进行灵活调整。

2）双尺度理论和有限元方法首次被结合用于混凝土等效力学性能的精细化计算中，力学试验结果证明该路径可行。

3）混凝土的宏观力学性能极大程度上受到细观组成相的结构与性能的影响。粗骨料的作用更多在于增大混凝土刚度，其对抗压强度的影响有限;砂浆的强度等级与混凝土的抗压强度直接相关，砂浆性能决定了混凝土力学性能的上限;界面过渡区与孔隙是损伤与裂缝容易产生的部位，两者决定了混凝土力学性能的下限。

目前混凝土中粗骨料的参数采用了线弹性本构关系，但实际中粗骨料是一种弹脆性材料，未来的精细化计算应该将粗骨料参数模拟为更加真实的本构关系。另外，目前双尺度理论在混凝土数值模拟中的应用仅限于材料阶段，未来双尺度理论在混凝土数值模拟中的应用应向着结构阶段发展。

参考文献/References：

[1]WITTMANN F H，ROELFSTRA P E，SADOUKI HSimulation and analysis of composite structures[J].Materials Science and Engineering，1985，68（2）：239-248.

[2]刘光廷，王宗敏用随机骨料模型数值模拟混凝土材料的断裂[J].清华大学学报（自然科学版），1996，36（1）：84-89LIU Guangting，WANG ZongminNumerical simulation study of fracture of concrete materials using random aggregate model[J]. Journal of Tsinghua University （Science and Technology），1996，36（1）：84-89.

[3]馬怀发，陈厚群，黎保琨混凝土试件细观结构的数值模拟[J].水利学报，2004，35（10）：27-35MA Huaifa，CHEN Houqun，LI BaokunMeso-structure numerical simulation of concrete specimens[J].Journal of Hydraulic Engineering，2004，35（10）：27-35.

[4]赵吉坤混凝土四相复合模型的三维细观破坏模拟[J].土木建筑与环境工程，2009，31（4）：37-43ZHAO Jikun3D meso-scale failure simulation of four-phase composite concrete[J].Journal of Civil，Architectural & Environmental Engineering，2009，31（4）：37-43.

[5]宋来忠，廖大乾混凝土细观结构的数值模拟研究[J].三峡大学学报（自然科学版），2018，40（6）：56-60SONG Laizhong，LIAO DaqianResearch on numerical simulation of meso-structure of concrete[J].Journal of China Three Gorges University（Natural Sciences），2018，40（6）：56-60.

[6]田梦云，张恩，曹瑞东，等基于细观尺度的混凝土单轴力学性能仿真计算分析[J].应用力学学报，2020，37（3）：975-981TIAN Mengyun，ZHANG En，CAO Ruidong，et alMeso-scale simulation analysis of uniaxial mechanical behavior of concrete[J].Chinese Journal of Applied Mechanics，2020，37（3）：975-981.

[7]LI W，JIA Y J，LI L XA two-scale approach to numerically predict the strength and degradation of composites[J].Applied Composite Materials，2018，25（1）：85-103.

[8]王晓琴，杨名超，肖明，等自密实混凝土单轴压缩试验细观模拟[J]中国科技论文，2020，15（12）：1410-1416WANG Xiaoqin，YANG Mingchao，XIAO Ming，et alMeso-scale simulation on uniaxial compression test of self-compacting concrete[J].China Sciencepaper，2020，15（12）：1410-1416.

[9]ERICSON C实时碰撞检测算法技术[M].刘天慧译北京：清华大学出版社，2010.

[10]陈青青，张煜航，张杰，等含孔隙混凝土二维细观建模方法研究[J].应用数学和力学，2020，41（2）：182-194CHEN Qingqing，ZHANG Yuhang，ZHANG Jie，et al Study on a 2D mesoscopic modeling method for concrete with voids[J].Applied Mathematics and Mechanics，2020，41（2）：182-194.

[11]CHANDRA S，BERNTSSON LLightweight Aggregate Concrete Microstructure[M]. Norwich：William Andrew Publishing，2002.

[12]RAO G A，PRASAD B K PInfluence of type of aggregate and surface roughness on the interface fracture properties[J].Materials and Structures，2004，37（5）：328-334.

[13]CHEN Hongbing，XU Bin，WANG Jiang，et alParametric analysis on compressive strain rate effect of concrete usingmesoscale modeling approach[J].Construction and Building Materials，2020，246：118375.

[14]《工程地质手册》编委会工程地质手册[M].北京：中国建筑工业出版社，2007.

[15]杜修力，王陽，路德春水泥砂浆材料的静动态应力应变关系研究[J].土木工程学报，2010，43（sup2）：119-126DU Xiuli，WANG Yang，LU DechunStudy on static and dynamic stress-strain relationship of cement mortar material[J].China Civil Engineering Journal，2010，43（sup2）：119-126.

[16]GB 175—2007通用硅酸盐水泥[S].

[17]WRIGGERS P，MOFTAH S OMesoscale models for concrete：Homogenisation and damage behaviour[J].Finite Elements in Analysis and Design，2006，42（7）：623-636.

[18]ASBRIDGE A H，PAGE C L，PAGE M MEffects of metakaolin，water/binder ratio and interfacial transition zones on the microhardness of cement mortars[J].Cement and Concrete Research，2002，32（9）：1365-1369.

[19]LIAO Kuoyu，CHANG Pingkun，PENGA Y N，et alA study on characteristics of interfacial transition zone in concrete[J].Cement and Concrete Research，2004，34（6）：977-989.