基于可靠度指标优化模型的挡土墙稳定性分析

汤彬彬　陈东　赵紫红　方雪朋

摘要：文章根据可靠度指标理论，提出挡土墙稳定性分析的最优化可靠度计算方法，即通过建立求解可靠度指标的优化模型，运用Matlab软件优化工具箱计算重力式挡土墙抗倾覆、抗滑移可靠指标和失效概率。与中心点法、JC法和蒙特卡罗法等计算方法进行比较分析后得出：最优化可靠度计算方法计算精度高，计算效率优于其他算法，并且具有较好的通用性，适用于挡土墙稳定性问题的分析。

关键词：可靠度;优化模型;Matlab;挡土墙;稳定性分析

中图分类号：U417.1+1

0 引言

在公路工程、桥台、隧道洞口及河流堤岸等工程建设中，挡土墙通常用来承受侧向土压力以防止土体坍塌，在安全防护方面发挥着重大的作用[1-3]。传统判定挡土墙是否失稳的方法是定值分析法，采用安全系数作为判别指标。这种方法经过长期的实践证明，是一种比较简单易行的工程应用方法，但存在很大的隐患。因为安全系数法在计算过程中是把相关的土工参数看作是一个确定性的常量，并没有考虑到各个参数在实际工程应用中的不确定性，即各设计变量的随机性，故而在实际工程中会存在安全隐患，即使设计的安全系数足够，但投入使用后也可能很快发生破坏现象。

从定量的、经验的到概率的，是工程结构设计方法在可靠度分析方面所经历的三个发展阶段。目前在国际上普遍使用的是概率定值设计法，该方法将土工参数看作是随机变量，把可靠度理论引入到挡土墙的设计计算当中，并采用以概率理论为基础所确定的失效概率来衡量挡土墙的可靠性，更加合理有效地反映出挡土墙的安全程度，方便工程师直接运用，促进了工程理论和技术水平的提高，为我国各种设计规范所使用[4-15]。中心点法[16]、JC法[17]和蒙特卡罗法[18]，是目前常用的可靠度计算方法。其中JC法和蒙特卡罗法精度较好，但是迭代次数多、计算速度比较慢;中心点法精度最低。

基于可靠度指标的理论分析，本文提出并重点研究了可应用于于挡土墙稳定性分析的最优化可靠度计算方法，建立了求解可靠度指标的优化模型，在此基础上使用

Matlab软件编写了计算程序，计算了相应的算例，并将其与常用的中心点法、JC法和蒙特卡罗法等计算方法进行了比较分析。算例比较分析后的结果表明，最优化可靠度计算方法计算精度高，计算效率优于这些算法，并且具有很好的通用性，在挡土墙稳定性的分析方面可以发挥其优势，具有一定的工程实际意义。

1 可靠度指标理论

对挡土墙通常进行抗倾覆和抗滑移的稳定性验算，判别指标分别是抗倾覆稳定性安全系数Kl和抗滑移稳定性安全系数KS，即：

在挡土墙设计过程中通常会遇到功能函数是线性函数的两个基本变量的情况，用来表示挡土墙的承载力——抗力;用S来表示挡土墙所承受的各种内力——作用效应，此时，功能函数可表示为：

极限状态方程为：

在以R和S为坐标的平面上，式（3）表示一条直线，称之为极限狀态直线，这条直线把所在平面划分为两个区域：可靠区（>S）和失效区（2 优化思路及方法

如图2所示为在二维坐标系下可靠度指标的几何图解，假设R和S两个变量相互独立且服从正态分布，其极限状态方程为Z=R-S=0。

图2（a）表示原坐标系，图2（b）表示新坐标系（即对原坐标系标准化），两者的转换关系如下：

设计验算点为点P*并满足极限状态方程：

在标准正态坐标系下，可靠度指标表示原点到极限状态面的最小距离为：

可以看出，无论在变量处于何种分布或者功能函数处于何种情况下，用最优化方法求解可靠度指标的问题都可以转换成求解从原点出发到极限状态曲面的最短距离，而且这一过程可以方便快捷地在Matlab中实现。

所谓的最优化主要是通过寻求多变量函数的最大值和最小值来实现的，该方法是一种数值方法，通过数值计算来得到最优化问题的结果，可以解决两大问题：

（1）将一般的可靠度分析问题转换成最优化的数学模型。

（2）通过对数学模型的求解得出最小值。

本文主要介绍了约束优化法、无约束优化法及基于最优化原理的蒙特卡罗法三种优化方法。当极限状态方程中某个变量可以用其他变量来表示时，则可用无约束优化法;若不能则采用约束优化法。基于最优化原理的蒙特卡罗法则主要是对随机变量在极限状态曲面上进行抽样，各验算点到原点的最小距离即为所求。

3 建立优化模型

先作基本假设：

假设挡土墙中有n个服从任意分布的独立随机变量X1，X2…，Xn，由其组成了以下表示挡土墙稳定性的结构极限状态方程：

经过正态化处理后的当量正态分布应该满足如下条件：在设计验算点x*i的概率分布函数值、概率密度函数值，必须与原随机变量x*i处所对应的概率分布函数值、概率密度函数值分别相等，如图3所示。

运用拉克维茨-菲斯莱法（简称R-F法）将非正态变量进行当量正态化，可得到相应的等效正态分布的均值μ′xi和标准差σ′x，计算得到可靠度指标如下（也可根据变量特性确定的其他方法来进行当量正态化）：

验算点在一开始时是未知的，通过对可靠度指标的优化处理后可以确定。先把β看作是极限状态曲面上点P（X1，X2，…，Xn）的函数，通过优化求解，在该区域中找到β的最小值，即是可靠度指标β，也得到了相应的验算点P*（X*1，X*2，…，X*n）。由此，可归纳出以下求解可靠度指标的约束优化模型：

min

通过拉克维茨-菲斯莱法当量正态化后得到的均值和标准差μ′xi、σ′xi，在正态分布和对数正态分布下的简化形式如下：

（2）对数正态分布

式中：Vxi——Xi的变异系数。

由于在极限状态函数中，可以用其他的变量组合来表示其中的某一个变量，故：

即可转化为无约束模型：

建立了以上优化模型之后，可通过Matlab软件语言来编制出求解可靠度指标的程序，程序实现过程如图4所示。

以Z=18.46-7.48X1/X32为算例，在Matlab软件下分别实现约束优化法、无约束优化法以及基于最优化原理的蒙特卡洛法的程序。

4.1 约束优化法

约束优化法的Matlab程序过程如下：

（1）定义全局变量并对其赋值，Mu为[10 2.5]，Sigama为[2 0.375]，表示均值和标准差;X0取均值Mu，为初始迭代点。

（2）Matlab调优工具箱里的fmincon函数可用来求解约束优化问题：[X，fval，exitflag，output]=fmincon（@bata2，X0，A，b，Aeq，beq，lb，ub，@st）。fval的返回值为X处的目标函数值，exitflag参数的返回值用来描述函数计算的有效性，输出参数output返回值包含优化信息。其中b、beq、lb和ub为线性不等式约束的上、下界向量，A和Aeq此处都取空，表示线性不等式约束和等式约束的系数矩阵。bata2表示目标函数子函数，st表示可靠度约束条件子函数。

（3）定义目标函数子函数bata2（X）为（（X（1）-Mu（1））/Sigama（1））2+（（X（2）-Mu（2））/Sigama（2））2;定义可靠度约束条件子函数[c，ceq]= st（X），c为不等式约束条件，取空，等式约束条件ceq=为18.46- 7.48×X（1）/X（2）3。

（4）用函数sqrt（fval）对fval开平方，计算得到可靠指标;失效概率由累积分布函数cdf（′norm，-bata，0，1）计算得到。

4.2 无约束优化法

极限状态函数中的一个变量可以由其他变量来组合表示，基于此，可得到相应的无约束模型，此处用X1= 18.46/（7.48X3）代替等式约束条件。其Matlab程序过程与约束优化的类似，只是去除了约束条件，其过程如下：

（1）全局变量的定义和赋值和约束优化方法相同。

（2）用调优工具箱里的fminsearch函数，求解非约束优化问题：[X，fval，exitflag，output]=fminsearch（@ bata2w，X0）。返回值和fmincon函数相同。其中bata2w为目标函数子函数。

（3）定义目标函数子函数bata2w（X）为（（X1-Mu（1））/Sigama（1））2+（（X-Mu（2））/Sigama（2））2，其中X1= 18.46×X3/7.48。

（4）采用与约束优化法相同的方法，計算得到可靠度指标和失效概率。

4.3 基于最优化原理的蒙特卡罗法

（1）设定抽样次数N为10 000，定义全局变量并对其赋值，MuX为[10 2.5]，Sigama X为[2 0.375]。

（2）函数normrnd可用来产生正态分布随机数，由此可产生随机变量X2的1行N个正态分布样本：X2=normrnd（MuX（2），SigamaX（2），1，N）。根据极限状态方程得到X1=18.46×X23/7.48。

（3）正态分布在X1处的累积概率值由累积正态分布函数normcdf得到：fX1=normcdf（X1，MuX（1），SigamaX（1））。用逆累计分布函数norminv得到的累计概率值的临界值：Y1=norminv（fX1，0，1）。同样的方法，得到fX2和Y2。

（4）取B1=[Y12，Y22]，取B1里最小的值给B，取B1的升序给BB。用函数sqrt（B1）对B1开平方，计算得到可靠指标。用sqrt（BB（2））-sqrt（BB（1））计算得到精度。用C=find（B1==B）找出B1=B时的C，则X1（C）和X2（C）即是验算点。

5 算例计算及比较

如图5所示的重力式挡土墙，墙高4.604 m，基础埋深1.2 m，填土面水平，墙背倾角α=-14.03°，基底倾斜α0=10°，混凝土挡土墙材料容重γ=25 kN/m3。填土的物理力学指标γ=19 kN/m3，墙后填土内摩擦角φ=30°、墙背摩擦角δ=10°、基底摩擦系数μ=0.5，持力层土抗剪强度指标c=11 kPa、φ′=24°，地基承载力设计值f=175 kPa。各随机变量的统计参数如表1所示。

由式（1）～（3）可计算出重力式挡土墙的抗滑移、抗倾覆极限状态方程：

（1）抗倾覆的极限状态方程：

（2）抗滑移的极限状态方程：

根据以上建立的极限状态方程，运用Matlab优化工具箱计算重力式挡土墙抗倾覆、抗滑移可靠度指标和失效概率，并与中心点法、JC法、蒙特卡罗法的计算结果进行对比分析，如表2和表3所示。

从表2和表3的计算结果可以看出：

（1）中心点法对于可靠度指标值的计算结果较之其他方法来说，偏差较大，尤其是对于抗倾覆可靠度指标。这是因为中心点法在平均值处对功能函数进行线性化，对于非线性功能函数只取其一阶矩，故将随着验算点到失效边界之间的距离增大而增大，而中心点法所选取的验算点并不一定是在失效边界上，结果往往带来相当大的误差。

（2）如果以JC法的计算结果作为精确值，由表2、表3可知最优化方法的计算结果较好，能满足工程要求的精度。其计算结果与蒙特卡罗法十分接近，但蒙特卡罗法所采取的抽样计算需要很大的样本数量来支撑其准确性，计算时间长，当样本数增加、函数结构繁杂时，计算时间更长，甚至整个计算无法完成，并且蒙特卡罗法得不到验算点的值。0243C083-CB5E-4409-B186-257C240FA51E

6 结语

本文对基于可靠度指标优化模型的挡土墙稳定性进行分析得出以下结论：

（1）在挡土墙稳定性分析过程中引入可靠度理论，充分考虑了相关土工计算参数的不确定性，相比传统意义上的安全系数法更合理，相比其他的计算方法更快捷准确，在工程实际应用中可发挥更有效的作用。

（2）最优化可靠度计算方法并不需要对功能函数进行求导就可以直接求出可靠度指标，该方法对抗滑移计算的结果精度比中心点法高7%，抗倾覆计算的结果精度比中心点法高26%，并且相对JC法和蒙特卡罗法更易于编程，具有很强的通用性，适用于挡土墙稳定性问题的分析。

（3）采用Matlab软件语言能够充分运用矩阵运算和优化工具箱的强大功能来进行数值计算，因此在很大程度上提高了计算和编程的效率。

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作者简介：

汤彬彬（1993—），硕士，工程师，主要从事道路工程研究工作;

陈 东（1992—），硕士，工程师，主要从事道路工程研究工作;

赵紫红（1992—），硕士，工程师，主要从事道路工程研究工作;

方雪朋（1990—），硕士，工程师，主要从事道路工程研究工作。0243C083-CB5E-4409-B186-257C240FA51E