指向深度学习的数学活动探究

摘要 数学活动是数学课堂教学的主旋律。对数学活动认识的模糊化、形式化和片面化会导致学生对数学学科无法形成全面性、整体性的认识。基于深度学习与数学活动的认识与理解，阐述了指向深度学习的数学活动内涵，并提出相应的课堂教学策略，以期为指向深度学习的数学活动的有效开展提供参考。

关键词  深度学习  数学活动  教学案例

引用格式 高建国.指向深度学习的数学活动探究[J].教学与管理，2022（16）：56-60.

在课程改革二十多年的实践中，传统数学课堂中的独白和灌输逐渐被看、听、说、做等活动所代替，学生的主体地位得到了充分尊重，活动成为课堂教学的主旋律。但在实践中也出现了一些问题，表现在：在情境创设上，刻意增加一些与学习内容关联不大的图片或视频，以强调数学的生活性、教学设计的新颖性，为活动而活动的做法分散了学生的注意力，也冲淡了数学问题的本质;在数学操作上，忽视高中生应有的认知水平，在课堂上进行一些低龄化的数学实践与游戏活动，学生内在的情感和思维没有被有效激活，活动缺少了思维深度;在数学讨论中，缺乏明确的主题与有效的组织，课堂看似热烈活跃，实则乱作一团，活动浮于表面，不能有效启发学生进行数学思考;在问答活动中，过度重视了提问的频数却忽视了问题的质量，课堂上提出“对吗，可不可以，是不是这样”等问题，学生应答积极性很高，活动参与面很广，但这些问题几乎不需要思考就可以脱口而出，属于简单的认知和记忆活动，不利于培养学生的批判性思维;在数学知识获取过程中，忽略知识的发现、建构、抽象、符号化等过程，以关键词填空的形式让学生迅速完成概念或定理的学习，此种“知其然不知其所以然”的做法会导致思维方式僵化，扼杀学生的创造力。

由于部分教师对数学活动认识的模糊化、形式化和片面化，导致活动的数学本质凸显不够、“去数学化”倾向严重、忽视了活动必须为内容服务的核心要义，造成学生习得的是一些碎片化的知识、割裂的技能、僵化的思维方式，无法形成对数学学科全面性、整体性的认识。如何才能让数学活动回归数学教育初衷，变得更“纯粹”一点，更具有“数学味”？怎样以数学的内在力量帮助学生深刻理解学科本质，培养学生的创造性思维、批判性思维、多层抽象思维等高阶思维？本文尝试通过设计指向深度学习的数学活动来解决上述问题。

一、指向深度学习的数学活动内涵

深度学习是美国学者Ference Marton和Roger Saljo在1976年提出的一种学习概念，与浅层学习（Surface Learning）相对应。黎加厚教授认为：“深度学习是一种基于理解的学习，是指学习者以高阶思维的发展和实际问题的解决为目标，以整合的知识为内容，积极主动地、批判性地学习新的知识和思想，并将它们融入原有的认知结构中，且能将已有的知识迁移到新的情境中的一种学习。”[1]深度学习注重知识学习的批判性理解，强调学习内容的有机整合，着意学习过程的建构反思，重视学习的迁移运用和问题解决。具体到数学学习中，深度学习应该是学生对数学知识的深刻理解，对思想方法的深度领悟，对数学内在结构的整体把握，对数學问题解决的深情投入，对数学学习任务的主动介入等等。

《数学课程标准（实验稿）解读》指出“数学活动就是学生学习数学，探索、掌握和应用数学知识的活动”，是“经历数学化过程的活动”，是“学生与教材，以及教师产生交互作用，建构数学知识的活动”[2]。数学活动必须遵循数学化原则，没有“数学味”的活动只会使活动浮于形式、失去意义;数学活动中所用的方法一定是抽象的、计算的方法，仅停留在操作、测量、观察、实验等形式，缺少数学思想与方法参与的活动必然无法走向深入，不能形成真正的数学能力;数学活动应该面向复杂问题解决，符合学生高层次的认知水平，在问题解决的过程中完成信息整合、知识建构、迁移运用等，实现高阶思维的发生;数学活动还要重视数学知识发生发展的过程，能激发学生良好的学习动机，使用多样化的学习工具，充分调动学生的各种感官系统等等。

基于上述认识，指向深度学习的数学活动，是指学生在教师指导下，以已有经验为基础，以培养问题求解与决策能力、批判性与创造性思维能力为目标，通过看、听、说、做等形式操作现实对象，帮助学生深刻理解数学知识、方法及思想，并能将其迁移到新的问题情境中，助力新问题的发现与解决的活动。

二、指向深度学习的数学活动策略

指向深度学习的数学活动策略包括：数学活动与信息技术的深度融合策略，即在深入理解与掌握信息技术的基础上，用可见的形式呈现不可见的数学内容，助力学生深刻理解数学知识与方法;师生深度互动的课堂讲授策略，即要求教师摒弃以倾听、记忆、模仿和练习为主的教学方法，以资源提供者、活动设计者、学习组织者、专业知识支持者的角色参与课堂，以培养学生独立思考、主动参与、批判性接受新知识的习惯;聚焦问题解决的合作交流展示策略，即以复杂真实问题的解决为目标导向，高效率地开展具有批判性、广泛联系性的数学交流活动，显露学生的思维过程，锤炼学生的思维品质;促进深度理解的数学实验策略，即让学生通过观察性学习和参与性实践获得真实的学习体验，引导学生用科学的方法验证数学结论，实现理论与实践的有效联通以及知识的建构与转化，使学习成为经历分析、推断、概括、迁移的思维活动。

四种策略对应于数学活动中的“看、听、说、做”四种方式，它们彼此联系、不可分割，最终共同指向“思”，即发展学生问题解决、决策、批判性、创造性等高阶思维能力。其结构如图1。

1.信息技术与数学课程的深度融合

“注重信息技术与数学课程的深度融合，提高教学的实效性”是《普通高中数学课程标准（2017年版）》倡导的一个重要理念。信息技术在数学活动中的优势表现在：能提供大量的图像、音频、视频等教学资源，有利于全方位、多角度为学生营造学习环境，拓展学生思维的空间;能提供交互式、多样化的学习方式，有利于激发学生的学习兴趣，调动学生参与数学活动的积极性;专业化的辅助教学软件可以给学生演示生动形象的动态图形，让抽象的数学内容变得直观可视。在数学活动中应用信息技术，丰富的教学资源、功能强大的数学软件、便捷智能的教学终端固然重要，但更加重要的是要体现活动的数学性，要指向高阶思维能力的培养，要帮助学生形成创造性分析、较快形成思路、迅速进行决策、快速整合资源的素养。

案例 1 “函数在某点的切线”教学设计

情境：教师展示我国在南海永兴岛修建的机场跑道、我国首艘货运飞船天舟一号发射成功后与地球的相对位置示意图、我国首颗探月卫星嫦娥一号与地球的相对位置示意图三幅图片。

问题1：我们所处的地球表面究竟是平面还是曲面？

发现1：感觉地球表面是平面的原因在于观察点由远至近，相当于把观测的地球表面不断放大，放大到“很大”的时候，曲面就几乎变成平面了。

问题2：记幂函数图像在第一象限的交点为P，尝试刻画各种曲线在点P处的变化趋势。

发现2：将给定曲线点P附近的曲线放大再放大，发现“曲线变直”。

问题3：如何量化曲线上一点处的变化趋势？

发现3：用点P附近直线的斜率来刻画变化趋势。

追问：如何找到这条直线？

活动1：教师演示动画（如图2），当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终成为曲线在点P处最逼近曲线的直线，即曲线在点P处的切线。

活动2：教师呈现相关数学史料（网络资源），涉及欧几里得、阿波罗尼奥斯、笛沙格等数学家对切线的定义。

佛莱登塔尔提出“数学教学的核心是学生的‘再创造’”，数学活动就是要帮助学生实现数学的“再创造”。借助现代信息技术，教师可以让学生根据自己的体验，用自己的思维方式重新创造出有关的数学知识。案例1中，教师利用丰富的网络资源，给学生展示了从不同角度看地球表面所呈现的不同形态，拉近了数学与生活的联系，激发了求知欲与探究兴趣，学生在激烈的思维碰撞中萌生了“以直代曲”的想法。迁移到数学中，可否“以直代曲”呢？教师利用动画演示曲线局部放大后可以无限逼近于某条直线的现象，潜移默化中给学生搭建好了研究曲线上一点处变化趋势的脚手架。新问题“如何找出这条最逼近的直线呢”顺势而生，让学生尝试后，教师再演示从割线慢慢演变到切线的过程，至此，学生完成了对切线概念的“再创造”，同时产生了新的疑问——这种切线跟过去所学圆锥曲线的切线是一回事吗？教师提供的相关数学史料正好回答了疑问，也完成了切线概念的同化与顺应[3]。

2.师生深度互动的课堂讲授

讲授法是传统数学课堂采用比较多的方法，只要教师设计合理、讲授得法，学生的学习有一定的意义，能取得一定的教学效果[4]，但单纯的讲授会导致数学活动形式单一，学生被动接受知识比较多，主动思考机会少，课堂参与效率低，批判性思维、创造性思维都会受到抑制。因此，作为数学活动组织者的教师需要及时变更角色，从知识的掌握者、传递者转变成学习资源的提供者、学习活动的设计者、学习过程的组织者、专业知识的支持者。课堂讲授时教师要把教学内容转化为活动材料，要能引发学生的学习愿望，启发学生在学习过程中质疑、批判、深入思考，帮助学生成长为有思想、有能力、有積极态度和价值观的社会人。

案例2 “三次函数图像与性质”教学设计

教师在批阅导数作业时发现，学生对函数的零点个数、极值情况、导函数与原函数关系等问题不太熟悉，尝试借助对三次函数图像与性质的研究来打通学生认识的瓶颈。

情境：尽可能画出你所掌握的各种三次函数图像。教师展示出如图3的图形。

探究：尝试将以上图形分类，并阐述分类的依据。

发现1：按照a的正负分类，一类是a>0时，当x→∞，对应的图像会无限升高，反之则无限降低;另一类是a<0时，图像特征与a>0的情况相反。

结论1：在三次函数的解析式中，当x值很大时，对函数值y起决定作用的是ax3项，系数a决定了函数图像是先“上天”还是先“入地”，这一特征与二次项系数a决定二次函数的开口方向类似。

发现2：还可以按照单调性与极值点个数分类。

结论2：三次函数导函数零点分布情况决定了原函数极值点个数，若导函数有两个不同的零点，则原函数是非单调函数，有两个极值点;否则是非单调函数，无极值点。

发现3：也可以按照函数的零点个数分类：一类是仅有一个零点，一类是有两个零点，还有一类是有三个零点。

结论3：单调函数仅有一个零点，非单调时可以由极大极小值的乘积正负情况判断零点个数。

传统的作业讲授课一般都是教师讲，学生记，学习缺乏深入思考与主动建构的过程，学生被动性较强。本案例创新了讲授活动形式，通过设置多个发散问题供学生自主探究，如：能画一个你熟悉的三次函数图像吗？能对上述图形进行分类汇总吗？借助这些“发散点”，学生就能深刻理解函数零点、极值、导函数与原函数关系等等，给作业订正指明了方向;学生的思维过程得到充分显露，求知欲和创造热情得到有效激发，学生感受到探究问题的乐趣，从中学到了更深更广的内容。这种师生深度互动的讲授法给数学活动提供了广阔的学习空间与较强的学习动力，增大了课堂思维容量，有利于批判性思维与创新能力的发展[5]。

3.聚焦问题解决的合作交流

合作交流活动可以让学生在轻松的环境中交换彼此的观点，能很好的锻炼学生倾听、开放性思考与团队合作的能力，能引导学生积极参与教学的全过程，助力学生主动发现问题和共同解决问题，培养分析比较、概括解释、数学建模等高阶思维能力。讨论主题的设计是高效开展数学活动的关键，需遵循如下原则：直切主题，将学生迅速带入学习情境;引领方向，激发强烈的学习动机;“短小精悍”，留给学生充分的交流时间;层次清晰，增强学生学习获得感与参与程度。在开展合作交流活动时还应注重用评价促进讨论，提高讨论的效率;提倡“头脑风暴法”讨论，引导学生从多角度、多方位思考问题，鼓励提出新观点和新方法，培养学生的求异性思维。

案例3 “指数函数的图像与性质”教学设计

探究：归纳指数函数的图像及性质，并用所学知识解释或证明。

合作交流活动按如下流程进行：

在独立探究环节，要求每位组员在给定的坐标纸上画两个函数的图像，六人小组作如下分工：①y=2x，y=3x;②y=2x，y=4x;③y=2x，y=x。在组内交流环节，让组员结合所画图像，交流总结出指数函数的图像与性质。在小组展示环节，先指定一组汇报研究成果，然后其余小组进行补充发言。学习评价主要依据三条：小组分工合理、任务明确;图像画得准且快，性质发现多;理由解释严谨科学。教师点评包括三个方面：一是筛选，对学生所发现的代数特征进行分析讨论，筛选出典型特征作为指数函数的性质;二是提炼，总结出研究初等函数性质的一般方法;三是评价，对小组活动进行评价，给优秀小组进行奖励性加分，并记入学习过程性评价手册。

指数函数的性质采用的是由特殊到一般的研究方法，案例中删繁就简，精选六个典型函数，直接给明探究方向。小组内部合理的分工减少了重复劳动，学生在较短的时间内积累了更多的感性材料。组内交流有利于克服个体认识的局限性、提升学习主动性与课堂参与度，有利于发现和提出数学问题、发展批判性思维;小组展示汇报能弥补小组活动中的不足，进一步拓宽视野，推动指数函数性质的深度研究与挖掘，对于培养灵活性、广阔性、独创性、深刻性等优秀思维品质作用很大;教师点评则可以聚合学生的想法，从中提取出更有价值、更具有代表性的性质以便于后续学习中使用，也可以进行方法渗透与学法指导，还可以以评价来引领小组注重合理分工、团结协作。

4.促进深度理解的数学实验

数学实验是学生运用有关工具（如纸张、剪刀、模型、测量工具、作图工具以及计算机等），在数学思维活动的参与下进行的一种以人人参与的实际操作为特征的数学验证或探究活动[6]。它将过程与结果、操作与思维、实验与论证、证伪与证实有机融合，实现了静态数学观与动态数学观的融通，使得数学教学变得完整而有活力，能有力促进学生对数学知识及思想方法的深度理解。

高中阶段的数学實验活动需注意三个方面：一是实验活动的适切性，数学实验应符合高中生的认知水平，例如在古典概率课上做抛硬币的数学实验就不太合适（小学、初中都做过）;二是实验活动的适度性，过多的数学实验不利于学生抽象能力的培养;三是数学实验的辅助性，数学实验只是辅助学生暂时克服认知困难的工具，不宜作为学生一直依赖的手段，如立体几何的教学就应该由依赖实物模型辅助逐步过渡到依靠直观想象来分析问题，利用逻辑推理来解决问题。数学实验活动的教学要在四个方面下功夫：一要突出实验活动方案设计，二要激发学生探究兴趣，三要注重引导学生体验和感悟，四要将实验结论向纵深推进，助力高阶思维的发生。

案例4 “画椭圆”数学实验教学设计

情境：教师给各学习小组提供细绳一根、圆形纸片一张，白纸若干，要求参照如下两种方案，开展数学实验活动。

方案一：如图4，在白纸上标出两点，把细绳两端固定在两点处，把笔尖贴在绳上，始终崩紧，移动笔尖，观察笔尖形成的图形。

方案二：如图5，准备一张圆形纸片，在圆内任取不同于圆心的一点F，将纸片折起，使圆周过点F，然后将纸片展开，就得到一条折痕l（为了看清楚，可把直线l画出来）。这样继续折下去，得到若干折痕，折痕围成的轮廓是什么曲线？

实验活动按以下流程进行：

问题：两种不同的方案都可以画出椭圆，其背后的数学原理是什么？

结论：椭圆是平面上到两定点距离和为定值的点的集合。

该案例在激发学习动机、帮助掌握数学知识、培养数学操作能力等方面都取得了不错的效果。原因之一在于数学实验强调了过程教学。传统的数学课堂将数学作为一个现成的产品来教，面对现成的数学结论，学生唯一能做的事就是粘贴与拷贝。现代数学教育理论认为学数学就是把注意力从传统的集中于数学内容方面转移到数学过程方面[7]。学生在数学实验中对周围的世界发生作用，在动手解决问题的过程中促进数学知识的深度理解，增长才干，发展个性。原因之二在于激发了学习动机。首先是通过相互合作，学生都可以轻松画出形式多样的椭圆，不同层次的学生都能尝到成功带来的喜悦，增强了自我效能感;其次是学生在画椭圆的过程中会不断发现和提出问题，如“怎样可以画出更标准的椭圆”“椭圆的扁圆程度跟什么相关”“椭圆画法的依据是什么”这样的好奇心会驱使学生积极思考与主动探究;最后是学生的学习热情被点燃，学生这样评价本节课：“感觉数学很好玩”“一种全新的数学学习体验”“发现了不一样的数学”“数学结论也可以像物理一样做实验来发现”“希望以后有更多的机会这样学数学”等等。教师最后的引导反思非常必要，有助于学生从感性认识上升到理性认识，从具体的操作体验上升到抽象的数学理解，从数学实验走向数学化，这对培养学生的问题意识、提升数学活动的思维深度至关重要。

参考文献

[1] 安富海.促进深度学习的课堂教学策略研究[J].课程·教材·教法，2014，34（11）：57-62.

[2] 仲秀英.数学活动的内涵与特征及其对教学的启示[J].数学教育学报，2009，18（04）：23-26.

[3] 高建国.“曲线上一点处切线的斜率”教学探索[J].中学数学教学参考（上旬），2020（10）：16-19.

[4] 曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，1999：260.

[5] 唐玉琴，高建国.巧构发散点，让学生的思维之花绽放——一次作业讲评课的教改尝试[J].中小学数学：高中版，2010（22）：34-36.

[6] 喻平，董林伟，魏玉华.数学实验教学：静态数学观与动态数学观的融通[J].数学教育学报，2015，24（01）：26-28.

[7] 刘晓成.让学生学会做数学———课改下的数学教学新理念[J].潍坊教育学院学报，2006，19（03）：59-61.

该文为江苏省教育科学“十三五”规划课题2016年度重点自筹课题 “基于深度学习理念下的数学活动设计研究”（B-b/2016/02/41）、江苏省“333工程”培养项目“深度学习理念下的数学活动设计研究”（BRA2018200）的研究成果