非线性能量阱振动抑制效果理论分析与试验研究

楼京俊，李 爽，柴 凯，卢锦芳

(1. 海军工程大学舰船与海洋学院，武汉 430033；2. 海军工程大学动力工程学院，武汉 430033)

潜艇机械设备大多采用直流幅压电机驱动，当蓄电池电压或外界激励特性变化时，其周期性运转产生的线谱频率存在波动效应，呈现宽频线谱特征，导致艇用线性动力吸振器(Tuned vibration absorber, TVA)吸振效率难以达到理想效果，进而影响声隐身性能。非线性能量阱(Nonlinear energy sink, NES)通常指具有本质非线性刚度的被动动力吸振装置，与传统TVA 相比，具有轻质、减振频带宽、鲁棒性强等优点。近些年，该技术在航空航天[1]、房屋桥梁抗震[2-3]、能量采集[4]以及结构声学控制[5]等领域得到了广泛应用。但目前NES 技术在潜艇乃至船舶减振降噪领域的应用鲜有报道。

国内外学者对利用NES 抑制结构稳态振动一直较为关注。Jiang 等[6]指出在正弦激励下，NES能够在较宽频带内从线性振子吸收能量，并证明不管前向还是后向扫频，NES 都能实现能量定向传递(Targeted energy transfer, TET)。Wagg 等[7]研究了主结构受正弦周期力时受约束多自由度碰撞非线性系统的能量传递问题，指出当激励幅值达到一定阈值时，能量会向NES 振子积聚，而且根据激励幅值不同系统会出现周期、弱调制、强调制 3 种响应形式。Starosvetsky 等[8]通过相轨迹法给出了三种响应类型与系统平衡点关系，指出系统慢变方程对应周期解是否分岔是NES 实现TET的关键。文献[9]构造了等价的电路图，通过电路实验观察到了NES 系统的强调制响应现象。陈东阳等[10]通过遗传算法对NES 装置结构参数进行了优化设计，有效抑制了柱体结构的涡激振动。刘艮等[11]对等效梁附加NES 的桁架结构进行瞬态减振研究，分析了悬挂位置、NES 质量等对性能的影响，结果表明NES 被动减振效果明显优于线性刚度阻尼减振器。谭平等[12]开展了NES 减振系统受基底简谐激励的分岔特性分析，笔者在此基础上采用柔性铰链结构[13]提出了一种NES 构造方法，并用复变量平均法分析了简谐激励下耦合系统的局部分岔特性。

上述研究偏重于减振机理分析，实验成果较少，且理论分析模型中NES 结构与主系统大多采用横向布置的耦合方式，存在摩擦阻尼大以及附加质量重力效应等问题，对抑制大型机械设备垂向振动工程实用性不强，亟需开发一种刚度可调、结构紧凑、兼具一定垂向承载能力的NES 装置。

另外，NES 系统属于强非线性系统，谐波平衡法联合Newton-Raphson 迭代是分析该类系统周期解的有利手段[14]，但在分岔点处，由于雅克比奇异，迭代过程会遇到局部不收敛问题，难以实现对解响应的完整追踪，从而无法得到周期解的分岔信息与系统真实响应。Zang 等[15]提出了一种拟弧长延拓法，用于追踪系统幅频特性曲线，该法能有效通过分岔点，但在共振点附近计算效率有待提高。

基于上述分析，本文提出利用增量谐波平衡法(Incremental harmonic balance method, IHB)结合弧长延拓法求解NES 系统周期解，基于Floquet稳定性理论对周期解稳定性进行判别，从而构建起非线性能量阱系统周期解的完整图像。并以该理论为基础，开展结构参数对NES 振动抑制效果影响研究以及结构参数优化设计研究。另外，在文献[13]的基础上，本文研制了一种可垂向承载的柔性铰链型NES 原理样机，并开展了相关试验，有效验证了理论分析成果，对于深入理解NES系统动力学特性、丰富NES 结构设计以及推动NES 技术在船舶减振降噪领域发展均具有一定的指导意义。

1 动力学建模

系统运动学模型如图1 所示。

图1 机械设备耦合NES 的吸振系统动力学模型Fig. 1 Dynamical model of absorption system coupled with a NES

图1 中，m1为待减振机械设备，通过线性刚度 弹 簧k1、阻 尼λ1与 刚 性 基 座 连 接；未 接 地NES 由质量m2、非线性刚度k2及阻尼λ2构成，并与机械设备上层耦合相连。fb为外界激励信号集中作用于机械设备下表面中心点，满足fb=FcosΩt；x1、x2分别为机械设备与NES 垂向位移。且本文所研究NES 的力-位移关系满足fNES=k2(x2-x1)3。

根据牛顿第二定律，系统运动学方程为：

2 周期解计算方法

2.1 增量谐波平衡法

2.2 弧长延拓法

2.3 周期轨道的稳定性

2.4 算法验证

图2 系统幅频特性曲线Fig. 2 The frequency-amplitude response curve

3 结论振动抑制效果分析

3.1 评价指标选取

3.2 阻尼对振动抑制效果的影响分析

固 定 参 数 ε=0.05 、 β=0.5 、 ξ1=1.2×10-3、f=0.01，不同阻尼下主系统振动能量曲线如图3所示。从图中可知，当未耦合NES 时，系统在ω=1 处 存在一根明显共振峰。当 ξ2=0.012时，能量曲线存在一段扭曲环状不稳定解，导致在1.037≤ω≤1.045范围振动能量高于未耦合NES的工况，NES 不仅无法起到振动抑制效果，反而会恶化机械设备振动。当 ξ2=0.02时，该扭曲环状曲线消失，并融合成一整段不稳定解，此时系统分岔点为0.9806 和1.025，在分岔点之间NES 都具备较好的振动抑制效果。而当 ξ2=0.05 和ξ2=0.12时，能量曲线中不稳定周期解消失，系统响应趋近于线性特征，进而在新的共振频率附近呈现单一共振峰。此外，图中 ξ2=0.05时共振频率为0.9852，共振能量为0.0374，而 ξ2=0.12时共振频率为0.9781，共振能量为0.1376。因此，大阻尼不仅使耦合系统共振频率左移，且会导致机械设备振动能量增加。

图3 阻尼对振动抑制效果的影响Fig. 3 The influence of NES damping to the vibration suppressing performance

因此，本文主要在 ξ2=0.02的弱阻尼条件下，进一步分析质量比和非线性刚度对NES 振动抑制效果的影响。

3.3 理论分析

选取参数 ξ1=0.0012 、 ξ2=0.02 、 β=0.5、f=0.01，不同质量比下主系统振动能量曲线如图4 所示。从图4(a)可知，当 ε=0.167时，能量曲线中同样存在一段扭曲的不稳定解；当 ε=0.083时，该扭曲曲线退化形成一整段平缓的不稳定解；若进一步减小质量比，共振频率附近的不稳定解区域逐渐拓宽，主系统振动能量持续降低，从而使NES 具备了更强的宽频振动抑制效果。

从图4(b)可知，当 ε=0.033时，能量曲线开始分裂出多段不稳定分枝，同时系统最大振动能量开始增加；当 ε=0.02时，能量曲线中不稳定解消失，系统呈线性特征，进而产生新的单一共振频率，该共振频率逐渐向主系统固有频率靠拢，共振峰值也随之增加，表明振动抑制效果开始下降。因此，在弱阻尼条件下NES 存在最优质量比。

图4 质量比对振动抑制效果的影响Fig. 4 The influence of mass ratio to the vibration suppressing performance

3.4 刚度对振动抑制效果的影响分析

选 取 参 数 ε=0.05 、 ξ1=0.0012 、 ξ2=0.02、f=0.01，不同刚度下主系统振动能量曲线如图5 所示。从图5(a)可知，当刚度为0.0625 和0.125 时，系统线性特征明显，共振峰能量随刚度增大逐渐减小，当刚度增大到0.25、0.5 以及1 时，能量曲线开始出现不稳定解，不稳定解区间随刚度增加逐渐拓宽，振动能量幅值也逐渐减小，表明此时NES 在共振频率附近的宽频吸振效果随刚度增加逐渐得到加强。从图5(b)可知，当刚度再次增大时，能量曲线会变得异常复杂，且再次产生明显共振峰，当 β=2时新共振峰能量已接近没有耦合NES 时的共振峰能量，已完全不具备共振峰抑制能力。因此，在弱阻尼条件下NES同样存在最优刚度。

图5 刚度对振动抑制效果的影响Fig. 5 The influence of NES stiffness to the vibration suppressing performance

4 结论参数优化与鲁棒性研究

4.1 结构参数优化

质量、刚度以及阻尼是设计NES 的三个关键参数，由前文分析可知，NES 振动抑制效果随三个参数都是非线性变化的。固定质量比 ε=0.05不变，本节采用局部优化算法进一步确定NES 最优阻尼和刚度。其中优化变量以及变化区间设定为：

优化目标设定为共振频率附近主系统最大振动能量最小，优化函数为：

由于上述优化函数没有明确的解析表达式，本文采用Runge-Kutta 法结合枚举法直接局部寻优求解。其中初始条件均设置为0，外界激励频率变化为 0.8≤ω≤1.2 ， 频率间隔取0.01， ξ2间隔取0.0025， β间隔取0.025。主系统最大振动能量三维图和在 (ξ2,β)平面投影的二维等高线图如图6所示。

图6 NES 刚度和阻尼参数优化结果Fig. 6 The parameters optimization results of the NES stiffness and damping

从图6 可知，没有耦合NES 时主系统最大振动能量为33.68，而耦合NES 后在大部分参数范围内，最大振动能量均得到了大幅度的衰弱，优化参数位于振动能量为0.008 的等高线内，若以此区域内的参数设计NES，主系统最大振动能量衰减效率则达到了99.98%。除此之外，该优化区域主要集中 0.006≤ξ2≤0.025的弱阻尼范围之内，这与前文分析结果一致。另外，图中存在一条最大振动能量为0.05 的明显分界线，这意味着刚度参数向上偏离该优化区域时，NES 振动抑制效果会陡然降低，因此相较阻尼而言，NES 振动抑制效果随刚度参数变化更加敏感。若在优化区域内选择参数 ε=0.05 、 ξ2=0.02 、 β=1.15，机械设备振动响应如图7 所示。从图中可知，此时机械设备处于准周期运动状态，确切来说是一种强调制响应，文献[7]指出这是由于对应慢变系统极限环的鞍结分岔引起的。

图7 机械设备振动响应Fig. 7 The system vibration response of mechanical equipment

4.2 鲁棒性分析

进一步选取参数 ε =0.05 、 ξ2=0.02 、 β =1.15，考察外界激励频率在中心共振频率1 的 ±20%范围，而激励幅值在0.01 的 ±50%范围内变化时的NES 振动抑制效果，计算结果如图8 所示。

图8 系统最大振动能量随外界激励变化的二维等高线图Fig. 8 Contour plot of the max vibration energy of the system versus excitation frequency and amplitude

从图中可知，当激励频率变化时，与没有耦合NES 相比，NES 一直能保持较好的振动能量衰减效率；而当激励幅值变化时，等高线对应的系统最大振动能量与图6(b)中优化区域有明显提升，但这主要是由于外界输入能量增大引起的，此时NES 能量衰减效率也接近98%。因此，对于优化后的NES 结构参数，当外界激励频率和激励幅值在一定范围内变化时，仍具有良好的振动抑制效果，这体现了NES 的宽频吸振优势以及较好的鲁棒性。

5 实验研究

为了满足潜艇机械设备垂向振动减振需求，笔者前期基于正负刚度并联原理，利用双开槽柔性铰链与线性螺旋弹簧并联设计了一种可垂向承载的立方刚度NES 结构，如图9 所示。力学特性具体推导过程可参考文献[13]。

图9 柔性铰链型NES 结构三维图Fig. 9 The 3D drawing of the proposed NES apparatus constituted by flexible hinges

具体结构参数如表1、表2 所列。

表1 柔性铰链主要结构参数Table 1 The main structural parameters of the flexible hinges

表2 垂直螺旋弹簧参数Table 2 The main parameters of vertical linear spring

此外，预压力水平调节弹簧刚度为58.7 N/mm。在临界预压力条件下通过静态压缩试验测得柔性铰链型NES 结构力-位移曲线如图10 所示。

由图10 可知，通过对试验数据进行3 次多项式拟合，所设计NES 结构静刚度拟合值与理论值吻合良好，并呈现立方刚度特性，具体值为0.052 N/mm3。基于德国M+P 公司VibMobile 振动测试平台，进一步开展NES 动态性能测试试验，试验原理图以及测试现场照片如图11 和图12 所示。

图10 柔性铰链型NES 结构静刚度测试结果Fig. 10 The static stiffness of the proposed NES apparatus

图11 试验原理图Fig. 11 The block diagram of the test

图12 测试现场Fig. 12 The test spot

其中主系统由单层隔振平台代替，均匀分布的质量块模拟机械设备，对称放置于4 个金属隔振器上；激振器固定在基座上，并通过风机散热，其输出端布置1 个阻抗型传感器，通过导杆与机械设备下表面中心点连接，阻抗型传感器可同时测量激振器的输入力信号与加速度信号；机械设备上表面中心点布置NES 装置，机械设备与NES 质量块上表面各布置1 个加速度传感器，并在两者之间布置1 个磁阻尼器，用于调节NES 结构的阻尼；此外，VibMobile 振动测试系统的信号源输出端通过功率放大器与激振器连接，数据采集端口与各传感器连接，从而构成测试系统闭环。系统主要参数如表3 所列。

表3 测试系统主要参数Table 3 The main parameters of test system

试验过程中采用对数扫频，扫频范围为1 Hz～100 Hz，扫频速度为1 oct/min，采样频率为2048 Hz，数据采集总时间为400 s，试验结果(选取1 Hz～40 Hz)如图13 所示，其中纵坐标表示归一化(1×10-6为参考值)的机械设备振动加速度响应幅值。

图13 扫频试验结果Fig. 13 The sweep-frequency test results

从图13 可知，不加吸振器时主系统一阶与二阶固有频率分别在5.00 Hz 和10.44 Hz 附近，响应幅值分别为73.60 dB 和58.48 dB；当耦合等效线性吸振器(柔性铰链不施加预压力)时，在4.75 Hz～6.82 Hz 范围内，吸振效果较为明显，一阶共振峰降低了3.74 dB，同时系统在7.63 Hz 和7.19 Hz 附近产生了2 根强度显著新的共振峰；当耦合NES时，一方面在5.0 Hz 附近一阶共振峰降低了8.17 dB，另一方面在4.43 Hz～5.82 Hz 范围内，系统响应曲线较为平缓，平均线谱强度降低了约3.74 dB，原一阶共振峰消失且未产生新的共振峰。因此，NES和等效线性吸振器相比，展现了良好的宽频吸振效果。

另外，定频试验结果如图14 所示。从图中可知，若外界激励频率等于一阶固有频率5.00 Hz时，未耦合NES 时机械设备呈现周期运动，加速度响应幅值为0.488 m/s2；当耦合NES 后，激励频率为5.00 Hz 和5.31 Hz 时，机械设备加速度响应平均幅值约为0.195 m/s2和0.189 m/s2，与未耦合NES 时相比，响应幅值降低了约60.04%和61.27%。而且两个振子响应形式出现了显著变化，均呈现强调制响应状态。

图14 系统振动响应时间历程图Fig. 14 Time histories of the system vibration response

6 结论

结合潜艇机械设备垂向振动控制需求，本文通过理论分析、数值仿真以及试验研究的方法，开展了简谐激励条件下立方刚度NES 振动抑制效果研究，主要得到以下结论：

(1) IHB 法、弧长延拓法以及Floquet 理论三者结合起来能够有效解析NES 系统周期解与分岔点信息，并与Runge-Kutta 数值计算结果吻合良好。

(2) NES 振动抑制效果与阻尼、质量比以及刚度均密切相关，并且是非线性变化的，只有在弱阻尼条件下，而且质量和刚度参数取得适中时，才可能出现理想的振动抑制效果。

(3) NES 存在局部最优参数，其振动抑制效果随刚度更加敏感，在参数优化区域内，系统呈现强调制响应状态；对于参数优化后的非线性能量阱，其具有良好的宽频吸振效果及鲁棒性。

(4) 试验结果表明，柔性铰链型NES 结构垂向力-位移曲线呈现立方刚度特性，且使主系统5.0 Hz处一阶共振峰降低了8.17 dB，4.43 Hz～5.82 Hz 范围平均线谱强度降低3.74 dB，和等效线性吸振器相比，具有较佳的宽频吸振效果。同时，NES 系统在吸振频带内的运动状态呈现强调制响应。