变式训练在高中数学解题教学中的实践探究

摘要：数学科目是中小学阶段的主要科目，也是学业课程的基础科目，数学科目主要讲究的是逻辑思维和分析方法，数学科目的主要学科目标是培育学生的独立思考能力和分析解决问题的能力.数学科目的学习最重要的就是解题方法和技巧的掌握，尤其是在高中阶段，数学题目的难度和解题的复杂程度都大大增加，需要借助一些解题方法来帮助进行解题.本文具体介绍数学解题思路当中的一种，即变式训练，通过对于一些相关的数学题目的具体分析，来探讨变式训练在高中数学解题中的实践和应用，从而帮助学生提高对于数学科目的认识，增强对于题目的熟练程度，培育数学学科思维.

关键词：变式训练;高中数学;解题实践探究

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）15-0050-03

收稿日期：2022-02-25

作者简介：贾涛（1981.8-），男，河南省新乡人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

数学是构成初中课程条目的最主要部分，也正是因为这样，才调动了学生们对于数学学习的热情，因此提升数学质量对提高初中教学水平提高必不可缺.结合学生不同的能力和水平，制定出更加具备针对性和实践性的教学内容和教学方法，才能便于学生更好的理解数学教学的知识内容，从而获得最大程度的上的收获.

1 数学解题教学中现存的问题

1.1 学生主观原因

学生自学能力差，不能找出问题的重点和难点，对于自身的掌握状况不清晰，不能明确哪一部分内容明确或者是不足;课堂缺少解题的积极性，缺乏积极思考的动力，不擅长主动学习，总是被动的盲目跟着老师，不能够独立思考;加之数学本身的学科特点，大多是较为抽象的公式和定理，不便于学生的思考，而且繁琐大量的计算过程需要强大的计算能力和细心的检查，每一步都是必须要求严格，否则容易出错.

1.2 老师教学方式

老师是教授知识的主体之一，是影响知识传授程度的主要因素，老师的教学观念和态度对学生的兴趣有很大的影响;现代社会教育体制改革倡导教学互动，以学生为主体，但有的老师长期采用单一枯燥的教学模式，缺乏创新，缺少课堂氛围，导致课堂变得乏味、疲惫，慢慢积累会让学生脱离数学课堂，失去对于数学学习的兴趣和动力，最终导致数学成绩的下降，教育质量降低.

2 变式教学的基本原则

变式教学是在已有经验基础上，进行的创造与创新，其有利于破解思维定势的消极影响，能够在知识系统的形成过程中进行思维创造，有利于思维发散与概括能力的提升，提升思维的变通性，拓展思维的宽度与深刻性，促进思维的发展.

2.1 针对性原则

习题变式教学，不同于习题课的教学，它贯穿于新授课、习题课和复习课，与新授课、习题课和复习课并存，一般情况下不单独成课.因此对于不同的授课，对习题的变式也应不同.例如：新授课的习题变式应服务于本节课的教学目的;习题课的习题变式应以本章节内容为主，适当渗透一些数学思想和数学方法.复习课的习题变式不但要渗透数学思想和数学方法还要进行纵向与横向的联系，同时变式习题要紧扣考纲.在习题变式教学时，要根据教学目标和学生的学习现状，切忌随意性和盲目性.

2.2 可行性原则

选择课本习题进行变式，不要“变”得过于简单，过于简单的变式题，会让学生认为是简单的“重复劳动”，影响学生思维的质量;难度“变”大的变式习题易挫伤学生的学习积极性，使学生难以获得成功的喜悦，长此以往，将使学生丧失信心，因此，在选择课本习题变式时，要变得有“度”.

2.3 参与性原则

在习题变式教学中，教师要让学生主动参与，不要总是教师“变”，学生“练”.要鼓励学生大胆的“变”，培养学生的创新意识和创新精神.

3 变式训练实践应用

变式训练是高中一种重要的教学手段，对与学生纠错起到重要作用.学生做题出错，代表着学生存在问题，根据问题产生的针对性训练，能够帮助学生有效解决存在的问题，从知识、技巧出发的变式训练最终会沦为机械刷题，从能力和思维出发的变式训练才能彻底解决学生问题.

3.1 能力层面分析

分析学生的错题，首先要分析学生知识和考试技能方面的问题，但是，不能分析到这里就结束.在学生知识和技能分析基础上，还应该分析学生的学科素养和思维方面的缺陷，甚至是学习习惯和方法问题，这才是学生出错的根本原因.虽然这些问题解决起来难度大、周期长，但是只要解决了这些问题，学生才能有效避免类似错误.

3.2 精选变式训练

并不是所有的变式训练都能从根本上解决素养和思维的问题.这需要教师进行认真研究，反复挑选才能最终确定.另外，变式训练不仅仅限于试题，还可以进行实验、写作、项目学习等多种训练方式.并且，这种训练短期很难奏效，需要长期坚持不懈.

3.3 例题分析

例已知a=1，a=2a+1（n≥2），求a.

解析设a+λ=2（a+λ），不难求出λ=1，所以原式可变形为a+1=2（a+1），令b=a+1，∴b=2b（n≥2）

∴b是以2为首项，以2为公比的等比数列. 后面易得.

这种做法要记住這种类型是朝着构造等比数列，但是a+λ这个待定系数是算的，而不用死记，当然如果用处只是少记这个系数的话，那么也没有必要去强调.

变式1已知a=1，a=3a+2（n≥2），求a.

解析例题中的待定系数法，a=Aa+B中的B是常数，而现在这里是个含n的式子，尝试着用例题中的待定系数法的方法.设a+λ=3（a+λ），不難求出λ=2，所以原式可变形为a+2=3（a+2）.如果令b=a+2，则b=a+2，无法构造成等比数列.但是请不要放弃.两边加上相同的系数λ是不行的，那如果加上不同的系数呢？

对于右边的a如果我们将它的λ的系数变为1/2，好像就可以.但是右边的1/2是个分数，我们还可以怎么改下会更好呢？不难想到，将左边的an的λ系数改为2.

于是，设a+2λ=3（a+λ），不难求出λ=2，所以原式可变形为a+2=3（a+2），令b=a+2，∴b=3b（n≥2）

∴{b}是以5为首项，以3为公比的等比数列. 后面易得.

沿着上面的思路，我们不难看出构造不成功的时候，如果我们能将不成功的地方修改下，距离成功就会很近了.

做完这道新题后，我们不要这么轻易把它放过，我们再回头看这道题.我们在构造时，左边加了2λ，右边加了λ.那么右边这个2是怎么来的呢？很可能是题目中的哪个元素呢？

可能是2中的2！如果是2中的2，那么我们是不是可以猜想a=Aa+B·qn（A≠1，B≠0，A≠q），都可以用类似方法做呢？

练习已知a=1，a=2a+3（n≥2），求a.

解析设a+3λ=2（a+λ），不难求出λ=-3，所以原式可变形为a-3=2（a-3），令b=a-3，∴b=2b（n≥2）

∴b是以-8为首项，以2为公比的等比数列. 后面易得.

经过证明后，大家又得到了一种新的求数列的通项的类型.这个新类型是在我们之前的待定系数法的基础上，大家进行了转变，虽然例题两边同时加λ的方法不行，但是经过观察，调整下系数后，是可以得到我们想要的结果，这就是变式训练想要得到的效果.

下面我们用上面的思路来研究下其它类型的题目.

变式2已知a=1，a=2a+n（n≥2），求a.

解析设a+λ+1=2（a+λ），不难求出λ=n+1，所以原式可变形为a+n+2=2（a+n+1），令b=a+n+2，∴b=2b-1（n≥2）

∴b是以4为首项，以2为公比的等比数列. 后面易得.

以上两个变式与例题中的知识背景是有类似的，因表达方式的不同，学生在解题的过程中对题意的理解可能出现偏差，但只要能够抓住题目重点内容以及相应知识点，明白题目的深层含义，这种问题便迎刃而解了.采用变式题组可以很好地利用同一框架结构将知识结构进行体系化处理.借助变式，通过特殊到一般、抽象概括、总结规律、推广应用等活动，不仅可以使学生弄清以上基本规律的来龙去脉，还能将相应类型的题型进行归纳总结，有利于今后学生对同类问题的识别与对应解题方法的提取.用这种方式进行解题教学，可防止学生对所学的基础知识和已掌握的基本技能陷于低化，故在教学中可借变式帮助学生进行发散性思维的训练.

3.4 深层讲解和指导

针对性训练之后，教师要根据学生训练情况进行深层次讲解和指导，引导学生研究和分析训练内容和过程，不断纠正学生思维偏差.其次，学生要正确对待变式训练，在训练中要学会研究和思考，这是思维提升和素养提升的途径.

明确数学知识的本质内容，才能加深对于数学知识的理解，更好的促进数学知识点的灵活应用，增强数学学习的连贯性和一致性，从而进一步去帮助学生培养良好的数学思维，提高数学学习的能力.

参考文献：

[1] 韦军湘.论述变式训练对于高中数学解题教学的思路培养[J].广西中医学院学报，2019，36（01）：40-42+96.

[2] 刘庆谊.变式训练教学法在高中数学解题教学中的应用[J].卫生职业教育，2018，38（4）：3-7，21.

[3] 黄伟业，贾洪全，袁育霞，闫洪杰，徐明.变式训练的优势和发展特点的探讨[J]. 通化师范学院学报，2018，33（22）：65-66.

[4] 朱剑平.高中数学解题教学与学生探究能力的培养分析[J].科学导报，2020，36（1）：62-63.

[责任编辑：李璟]