关于点（h，k）成中心对称的函数及其在定积分中的应用

郭 芳，田淑环，王淑燕

（保定学院 数据科学与软件工程学院，河北 保定 071000）

设函数 （fx）的定义域D关于原点对称，若函数 （fx）为奇函数，有 （f-x）=-（fx），且其图像关于原点对称，即如果点P（x，（fx））是图像上的点，则与它关于原点对称的点P（0-x，-（fx））也在其图像上[1].此时，如果函数 （fx）在区间[-a，a]（a＞0）上可积，则有[2].将此结论推广，如果函数 （fx）的定义域D满足：对于任意的x∈D，都有2h-x∈D，且（fx）=-（f2h-x），则其图像关于点（h，0）成中心对称，又若函数 （fx）在区间[h-a，h+a]（a＞0）上可积，那么有[3].本文对上述结论进一步推广，利用这些结论计算某些类型的定积分，尤其是计算某些被积函数的原函数不易求得的定积分，简单而且实用.

1 主要结论

定理1设函数y=f（x）的定义域是D，对于任意的x∈D，都有2h-x∈D，点A（h，k）在y=f（x）的图像上，则y=f（x）的图像关于点A（h，k）成中心对称的充分且必要条件是：对于任意的x∈D，有f（x）=-f（2hx）+2k.函数图像见图1.

图1 关于点A（h，k）成中心对称的函数图像

证明在函数y=f（x）的图像上，任意取一个点P（x，f（x））.

先证必要性.因为y=f（x）的图像关于点A（h，k）成中心对称，所以点P关于点A的中心对称点P0必在曲线y=f（x）上，这样点A就是线段PP0的中点.设点P0（x0，f（x0）），有

2 应用举例

3 在高等数学教学中的作用

高等数学作为理工类非数学专业的公共基础课，按教学功能可分为基础模块、提高模块和拓展模块.基础模块立足于专业调研，体现“理论适当，够用为度”，满足专业后继课程对数学的基本需要；提高模块针对继续深造及有更高要求的学生设定，如考研和参加数学竞赛；拓展模块则是为了培养学生科学素养，或者提高解决实际问题的能力设定，包括数学建模、与专业或实际问题紧密联系的数学交叉内容.

在高等数学教学中，将奇函数的定积分计算公式逐步拓展，得到函数f（x）的图像关于点（h，0）成中心对称的判定条件以及此类函数的定积分计算公式，进一步推广，得到函数f（x）的图像关于点（h，k）成中心对称的充要条件，以及该类函数的定积分计算公式.这对于学习上有考研深造或者参加数学竞赛等更高要求的学生来说，能够提高他们的计算能力和逻辑推理能力，培养数学思维能力，从而提高高等数学的课堂效益.