小图形?大舞台

吴永镇?仰美英

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，要加强数学的过程教学，重视教学开放式探究。教学中，教师应为学生提供更多的機会和时间，让学生尝试和探究、讨论和交流、归纳和总结、提问和质疑，促使学生的思维充分发展。运动问题是初中数学关注的一类重点，数轴动点问题涉及绝对值、点与数、距离、追及、相遇等多种概念和关系，常以规律题、探究题的形式出现，不仅是孕育数形结合思想方法的土壤，更是思维活跃的动力场。由于数学知识的复杂性与层次性，学生在学习这部分内容时易产生思维障碍，难以突破。究其原因，在于学生对“数轴”这一工具的功能与价值认识不深刻，运用不充分。数轴是从客观实际中抽象出来的一种基本数学模型。伴随着数轴，初中数学出现了首次数（具有实际意义的量）形（具有几何直观的点）结合。数轴不仅能直观地解释正负数、相反数、绝对值等相关概念和加、减、乘、除等运算法则、规律，而且是解决许多数学问题和实际问题的工具。基于此，在2021年浙江省教师培训平台项目“初中数学问题设计策略”暨义乌市初中数学陈建新名师工作室活动中，笔者执教了一节拓展课“数轴上的动点问题”，借助显性的数学工具，阐述如何利用小图形呈现思维的大舞台。

一、知识概述

在学习了有理数之后，教材安排了数轴的相关内容。一方面，帮助学生在拓宽数学知识的同时建立数学模型的概念，为以后学习奠定基础;另一方面，能让学生在感受数形结合的过程中，初步体验图形思维。基于此，本节课笔者以点在数轴上的运动问题为例，主要围绕两类数学知识展开教学，一是两点间的距离公式：AB= | a—b | = | b—a |;二是点的移动规律：一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b，向右运动b个单位后表示的数为a+b。以上述主要知识为核心，由浅入深、由简单到复杂，把知识要点逐步渗透到教学活动中，试图让学生学得更明白、掌握得更轻松。

二、问题探究

如图1，A、B两点在数轴上，点A表示的数为-2，点B表示的数为3。

（1）A、B两点间的距离是           ;

（2）甲从点A向左运动，甲的速度是1个单位长度/秒，经过2秒后点甲对应的数是          ;

生1：AB的距离为3—（-2）=5，甲数为-2—1×

2=-2—2=-4。

师：参照上面的实例，一般的，数轴上两点之间的距离如何求？

生2：数轴上两点之间的距离等于数轴右边的数减去数轴左边的数。

生3：不清楚数轴上两点的具体位置则可以用两个数据减一减再添绝对值。

变式1：甲从点A向左运动，甲的速度是1个单位长度/秒，经过t秒后点甲对应的数是           ;

变式2：甲从点A（A表示的数是a）向左运动，甲的速度是1个单位长度/秒，经过t秒后点甲对应的数是              （用含a的代数式表示）。

该设计的目的是将特殊情景逐渐过渡到一般情景，从认知规律的角度出发帮助学生有条理地思考、理解。

（3）甲、乙分别从A、B两点同时向左运动，甲的速度是1个单位长度/秒，乙的速度是2个单位长度/秒，求乙追上甲所用的时间。

变式3：甲、乙分别从A、B两点同时向左运动，甲的速度是1个单位长度/秒，乙的速度是2个单位长度/秒，求经过几秒乙和甲相距3个单位长度。

师：把变式3中的数据“3个单位长度”改成“10个单位长度”又如何解？解法跟变式3一样吗？

生4：基本上一样，但又有所区别。

生5：由于变式A、B两点之间原来的距离是5，所以有两种情景。一种是乙没有追上甲，另一种是乙追上了甲这两种情况。而把“3”改成“10”则只有一种情况了，就是乙追上了甲。

师：除了“10”，请再举一个只有一种情况的例子。为什么相距10个单位就只有一种情况？

生6：可以是6、8等，当给出的距离大于等于5时，就只有一种情况了。

师：什么时候需要考虑两种情况，什么时候需要考虑一种情况呢？有什么规律吗？

生7：运动后甲、乙之间距离小于原来A、B之间距离时有两种情况，否则就是一种情况。

（4）甲、乙分别从A、B两点相向而行，甲的速度是1个单位长度/秒，乙的速度是2个单位长度/秒，求甲乙相遇点表示的数。

（5）据上述情境，请自行改编题目并解答。

杜威提倡“做中学”，使学校里获得的知识与自身活动联系起来。从那些具有真正教育意义、有兴趣的活动中学习，有助于学生的成长和发展。

数学学习不只是教师简单地传授知识，更是一个学生自主、主动、积极探索的过程。通过变式，加大探索力度，提升思维层次，引导学生主动形成并完善知识体系，学会自学、学会整理、学会分类。

学习知识的最佳途径是自主发现。在自主探究中经历研究对象数学意义的建构，在不断试错中形成思路并加深理解，这样能够减少枯燥、机械地重复性操作与模仿。引导学生在思考中摆脱数学知识与方法零散、碎片化的态势，将头脑中多个孤立的数学知识点组成微结构联结，发动学习动力源，从而形成完整、有效、具体的知识宏结构、方法的区块链。本环节教师通过由特殊到一般层层深入的变式，以及“自主探究为主，教师讲解为铺”的教学方式，鼓励学生自主探究点在数轴上的运动情况，把学习还给学生，把思考的时间交给学生，把做的机会留给学生，把纠错改正的空间留在课堂。

三、拓展延伸

已知数轴上有A、B、C三点，分别代表-5、-2、2。两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为1个单位长度/秒。

（1）多少秒后，甲到点A、B、C三点的距离和为8个单位长度？

解：设t秒后，甲到A、B、C的距离和为8个单位长度。

∵d甲→A = td甲→B =  | t —3 | d甲→C =  | t —7 |

∴t+ | t —3 | + | t —7 |=8（對t以3和7为临界值分类讨论）

∴t1=2∴t2=4

（2）若乙的速度为2个单位长度/秒，甲、乙在数轴上的哪个点相遇？

解：设经过t秒相遇。

∵-5+ t=2—2t ∴t=

∴相遇点：-5+1×=-

（3）在（1）（2）的条件下，当甲到A、B、C的距离和为8个单位长度时，甲调头返回。甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点;若不能，请说明理由。

①t1=2

设经x秒相遇，∵-3—x =-2—2x

∴x =1

∴相遇点：-3—1×1=-4

②t1=4 甲、乙不能相遇

在数轴上的相遇点就是甲、乙经过t秒所表示的点，可以利用是同一个点来寻找等量关系，同时在解决含绝对值问题时应用分类思想，引导学生在遇到较为抽象的问题时借助图示的方法和方程的模型解决。以此加强新旧知识联系，渗透数学思想方法，让学生学到的知识更全面、更彻底，也符合循序渐进的教学原则。

具体情境产生问题导向，动点问题产生分类、分段导向。本题中的情境较为复杂，主要涉及点在数轴上运动、离开出发点的距离如何表示等。当动点直接从某一个固定点出发时，动点离开该固定点的距离只要考虑一种情况，而动点从某一个固定点的一侧运动到另一侧时，则需要考虑两种运动情况，进行分类讨论。进一步将运动状态从“单点单向”的基础上拓展延伸到“双点双向”，将学生的思考不断引向深入。本节内容的授课对象是由具体形象思维向逻辑抽象思维过渡的初一学生，对几何动点问题的认知还处在萌芽阶段，学习上存在困难。这样的教学设计有利于学生感受分类的必要性、理解分类的相关要素，并敢于在一些思维含量较大的问题的解决过程中尝试分类，循序渐进地展开学习。

四、学以致用

在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB=2（单位长度），慢车长CD=

4（单位长度）。设正在行驶途中的某一时刻如图5，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是-10，慢车头C在数轴上表示的数是14。若快车AB以1个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以

个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶。

（1）求此时刻快车头A与慢车头C之间相距多少单位长度？

A、C之间的距离：14—（-10）=14+10=24

（2）从此时刻开始算起，再行驶多少秒两列火车行驶到车头A、C相距8个单位长度？

生1：设经过t秒钟两列火车行驶到车头A、C相距8个单位长度。

Q：∵t+8+t=24∴t=16∴t=

师：该题解答完整了吗？请两位同学现场演示。

演示起始位置： 同学1←—24—→同学2（两位同学相距24个单位长度）

情况1：同学1←24—8→同学2（两同学从相距24开始相向而行，相遇前彼此相距8个单位）

情况2：同学2←24+8→同学1（两同学从相距24开始相向而行，相遇过以后在拉开8个单位）

生2：Q：∵t+t—8=24 ∴t=32 ∴t=

师：对于相向运动的问题，不仅要考虑相遇以前的情景，而且还要考虑相遇以后的情景。

（3）此时在快车AB上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他发现行驶中有一段时间t秒，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即PA+PC+PB+PD为定值）。学生P发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值;若不正确，请说明理由。

师：在两车行驶的过程中，P到哪些点的距离之和是始终不变的？

演示：把讲台当动车，教师站在讲台边，并来回走动，不要走出讲台的范围。让学生观察教师到讲台两边沿距离之和是否会变。

生1：不变。

师：由此情景联想到P到哪些点的距离之和不变？

生2：由于P在快车上，则P到快车的头、尾距离之和不变，即PA+PB不变。

师：那么PC+PD什么时候也不会变呢？把“戒尺”当成慢车，当慢车经过P点时，P到“戒尺”两端的距离会变吗？

生3：不变，说明P的相对位置在“慢车”上，则PC+PD不变。

建构主义认为，学习知识的过程是学习者建构自己的知识的过程，学生不是被动的信息吸收者。该环节通过变“点”为“线段”生成新的课堂资源，辅之以情景演示的方法，让学生经历了动点意义的理解过程，扩大学生的思考范围，提升学生的发散性思维。典型性、启发性、渐进性的问题链实现了从一题多解到一题多变的过渡，较好地达成了拓展思维、轻负高效的目的。

数学来源于生活、高于生活、应用于生活。在应用问题中创设实际探究情境，以师生自导自演的教学方式，呈现出恰当的素材。让学生自己参与模拟场景的表演，既直观形象，又能激发学生的学习积极性，同时还让数学问题生活化，不拘泥于形式，追求“生活味”与“数学味”的统一。

数学教育的应然理念与课堂教学的操作观念正在不断深入人心和创新发展，数学教师始终绕不开一个核心问题—究竟什么样的课堂教学才是良好的数学教学？笔者认为，围绕学生的数学化思维发展，能用最简单的方法、最少的工具解决问题的教学便是良好的数学教学。本节课用“数轴”工具解决相关的实际问题，带领学生经历数轴上“相关数学知识”的横向联系、纵向拓展的过程，引导学生对已有的知识进行反思、重构、归纳、总结，化抽象为具体，化烦琐为简洁，提升学生联想、归纳、演绎、建模等能力，不断发展数学核心素养，帮助学生实现从“量变”到“质变”的飞跃，让学生“跳得更高、走得更远”。

本文系浙江省金华市教育科学规划2021年度研究课题“生本理念下课程育人实施路径研究”（课题编号：JB2021298）的阶段性研究成果。

（作者单位：1.浙江省义乌市北苑中学;2.浙江省义乌市绣湖中学）

责任编辑：胡玉敏