例说“主元法”在解题中的应用

赵文宁

【摘要】在解决多元问题或含有参数的问题时，如果以题设或者常用的变元法解答产生困难的时候，可根据题意条件视其他变元为“主元”，或合理使用参数，将参数与变元身份互换，视参数为“变元（主元）”，从而大大降低解题难度，快速解答出答案.用这样的方法解题时称之为“主元法”，以下从几个方面举例说明“主元法”在解题中的应用.

【关键词】主元法;多元问题;解题难度

1 因式分解

例1 （第21届“希望杯”全国数学邀请赛初二2试15）将代数式x3+2a+1x2+（a2+2a-1）x+（a2-1）分解因式，得.

解析 x3+2a+1x2+a2+2a-1x+a2-1=x+1a2+2x2+2xa+x3+x2-x-1=x+1a2+2xx+1a+x2x+1-x+1=x+1（a2+2xa+x2-1）=x+1x+a+1x+a-1.

点评 在解答包含有比较多的字母代数题的时候，为了有效解答此类试题，可把试题中的某个字母作为“主元”，把试题中其他的字母当成常数，即可将代数式转化成有关“主元”的升幂或者降幂的排列后，再应用分组分解法、提取公因式等法，或综合的方法进行解答.

2 求代数式的值

例2 （第24届“希望杯”全国数学邀请赛初三1试14）若实数x，y，z使2x+y+z=0和3x+2y+5z=0成立，并且z≠0，则2x2-y2+2z2-4xyx2-5z2+7xz的值是.

解析 这里有三个变元x，y，z，可视z为参数，将两个方程看作关于x，y的二元一次方程方程组，用z的式子分别表示x，y后，代入所求式求解.

2x+y+z=0①3x+2y+5z=0②，①×2-②

得x=3zy=-7z.

所以2x2-y2+2z2-4xyx2-5z2+7xz

=2×（3z）2--7z2+2z2-4（3z）·（-7z）（3z）2-5z2+7（3z）·z

=18z2-49z2+2z2+84z29z2-5z2+21z2

=55z225z2

=115.

例3 （第4届“希望杯”全国数学邀请赛初二2试三、2）如果a=122+18-18 2，求a2+ a4+a+1的值.

解析 由a=122+18-18 2，

得a+18 2=122+18，

所以（a+18 2）2=14（ 2+18），

所以a2+ 24a= 24，

所以 22a2+14a-14=0，

所以12- 22a2-14a+1=0

所以 222- 22a2-14a+1=0.

这里，视 22为“主元”，则 22是关于t的方程t2-a2t-14a+1=0的正实根.

因此 22=a2+ a4-4×1×[-14a+1]2

=a2+ a4+a+12，

故有a2+ a4+a+1= 2.

点评 上述解题方法有效应用了常量和变量之间的相互转化，把 222- 22a2-14a+1=0中的 22看成变量，a看成常量，则得到关于t的一元二次方程t2-a2t-14a+1=0，其中t是变量，a是常量，从而利用求根公式得解.

3 求代数式的最值

例4 （第12届“希望杯”全国数学邀请赛初二1试19）已知x，y，z为实数，且满足x+2y-z=6x-y+2z=3，那么x2+y2+z2的最小值是.

解析 对于变元x，y，z，可视z为常数，将两个方程看作关于x，y的二元一次方程组，用z的式子分别表示x，y后，代入所求式求解.

由x+2y-z=6①x-y+2z=3②，

①+②×2得x=4-zy=1+z.

所以x2+y2+z2=（4-z）2+（1+z）2+z2

=3z2-6z+17

=3z-12+14≥14.

故x2+y2+z2的最小值是14.

4 解方程

例5 方程x2-xy+y2-3x+3y+3=0的实数解为.

解析 方程中有两个变元x，y，视x为“主元”，将y看成常量，则方程变为关于x的一元二次方程，利用判别式和非负数的性质求解.

由x2-xy+y2-3x+3y+3=0，

得x2+（-y-3）x+（y2+3y+3）=0.

因为x是实数，

所以判别式Δ=-y-32-4（y2+3y+3）≥0，

所以-3y2-6y-3≥0，

所以-3y+12≥0，

所以y+12≤0.

又由非负数的性质，

得y+12≥0，

所以y+12=0，

所以y=-1.

将y=-1代入原方程，

得x2-2x+1=0，

解得x=1.

故方程x2-xy+y2-3x+3y+3=0的實数解为x=1y=-1.

5 求定点

例6 （第22届“希望杯”全国数学邀请赛初三1试第12题）若对于p的任意值，抛物线y=2x2-px+3p+1都过一个定点，则这个定点的坐标是.

解析 因为定点与“参数”p无关，所以可视p为“主元”，将二次函数的解析式化为关于p的一次方程，由各个“系数”均为0求解.

由y=2x2-px+3p+1，

变形得-x+3p+（2x2+1-y）=0，

令-x+3=02x2+1-y=0，

解得x=3y=19.

故定点的坐标是（3，19）.

点评 求图象恒过定点的方法：图象过定点，即与参数无关，可视参数为“主元”，将解析式变形整理为含参数并将参数提取出来和不含参数的两部分，然后令参数的“系数”和不含参数部分均为0，从而求出定点.