隐圆模型四种形式的探索解析

胡雅玲

【摘要】圆是重要的几何图形，其几何性质应用广泛，关于等角、等线段的特性结论在综合性问题中有着重要应用.而有些题目在呈现时，并没有明确设定圆，圆是隐性存在的，此时就需要根据圆的定义来提取或构建.通常隐圆模型有四种形式，下面结合问题具体探究.

【关键词】隐圆模型;圆;数学解题

隐圆模型1 动点定长

动点定长模型，即动点到定点的距离为定长（定值）.该模型是基于圆几何定义的衍生，即到定点的距离等于定长的点的集合称之为圆，实际模型中体现在线段相等上，具体如下.

模型 如图1所示，有AB=AC=AD，则B，C，D三点均在以A为圆心，AB为半径的圆上.

策略 实际解题时需要证明出定长，常借用三角形全等或相似特性.

例1 如图2所示，已知菱形ABCD中，其边长为2，∠A=60°，点M为AD的中点，点N是AB边长的一个动点，将△AMN沿着MN所在直线翻折可得到ΔA′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值为.

解析 分析翻折过程，将△AMN沿着MN所在直线翻折得到ΔA′MN，由翻折特性可知始终有MA=MA′=1，与点N的位置无关.结合动点定长隐圆模型可知，点A′的轨迹为以点M为圆心，MA长为半径的圆弧.

求A′C长度的最小值，连接CM，结合共线定理可知与圆的交点就为所求A′的位置，此时A′C长度最小，且A′C=MC-MA，其中MA=1，

过点M作CD的垂线，设垂足为点H，如图3所示，∠MDH=60°，则CH=CD+DM·cos60°=52.在Rt△CHM中，利用勾股定理，可得MC=MH2+CH2=7，所以A′C=MC-MA=7-1，即A′C长度的最小值为7-1.

评析 上述线段最值问题中隐含了动点定长隐圆模型，解析的关键就是确定其中的定长，该定长与翻折特性密切相关，从而可直接确定动点的轨迹，后续结合三点共线可直接确定最值情形.

隐圆模型2 直角对直径

直角对直径隐圆模型，即90°角所对的线段为圆的直径，该模型同样是基于圆的特性定理所构建.根据该隐圆模型可知，任意直角三角形的直角顶点均在以斜边长为直径的圆上.实际上该模型属于特殊的定弦定角模型.

模型 如图4所示，AB为固定线段，且总有∠ACB=90°，则点C位于以AB为直径的圆上.

策略 该直角对直径隐圆模型的确认核心为直角，故可直接提取图形中的90°角，包括其中的特殊图形，如矩形、正方形，特殊关系：垂直关系.解析时从特殊图形、特殊关系入手来提取即可.

例2 如图5所示，在正方形ABCD中，已知AB=2.动点E从点A出发，向点D运动;同时动点F从点D出发，向点C运动.点E和F的运动速度相等，当两点到达各自的终点时停止运动.设运动过程中线段AF和BE的交点为P，则线段DP的最小值为.

解析 上述求线段DP的最小值，其中点P为两运动线段的交点.已知点E和F的运动速度相等，则始终有AE=DF，分析可证ΔABEΔDAF，由全等特性可得∠DAF=∠ABE.又知∠ABE+∠BEA=90°，可得∠FAD+∠BEA=90°，所以∠APB=90°，即点P运动过程中始终有∠APB=90°.直角对直径隐圆模型可知，点P位于以AB为直径的圆上，其运动轨迹为一段以AB为直径的弧，如图6所示.

设AB的中点为G，连接CG，与弧的交点设为点P，此时G、P、D三点共线，故DP的长度最小.在Rt△AGD中，由勾股定理可求得DG=5.

此时DP=DG-PG，其中PG=AG=1，故DP=5-1，所以线段DP的最小值为5-1.

评析 上述线段最值问题中隐含了直角对直径隐圆模型，解析的关键是确定∠APB=90°，该角的确定借用了全等三角形特性，并经过等角代换，相对较为隐蔽.在直角提取过程中有以下几大策略：一是利用特殊图形及特殊关系，二是合理进行等角代换，三是直接利用特殊模型中的直角或垂直关系.

隐圆模型3 定弦定角

定弦定角模型，即固定长度的弦所对应的角为定角（钝角或锐角），则角的顶点位置并不唯一，且与弦的两个端点位于同一圆上.该模型所依据的是圆周角定理，即同弧或同弦所对的圆周角相等.

模型 如图7所示，固定线段AB所对的∠C的大小固定，由圆的知识可知点C的位置并不固定，在⊙O的优弧ACB上即可以.

策略 该模型确认的核心是定弦，以及所对的定角，两者为相对关系.实际上动点C在优弧还是劣弧上，取决于∠C的大小.实际解析时需要把握“定”，即线段定长，角度定值.

例3 如图8所示△ABC中，BC长为定值2m，∠BAC=2θ（一般是我们常见的60°、90°、120°等）.

（1）试求△ABC面积的最大值;

（2）试求△ABC周长的最大值.

解析 上述在△ABC中直接設定定长——BC，所对定角——∠BAC，故点A的运动轨迹为圆弧.

（1）作△ABC的外接圆，设为⊙O，则点A可在⊙O上运动，如图9所示.△ABC的底边BC为定值，则当点A到底边的距离最大时，其面积可取得大值，即当点A处于A′位置时，此时连接A′O，有A′O⊥BC，设垂足为点H，分析可知，此时△ABC为等腰三角形.

A′H=mtanθ，所以△ABC的最大面积为S=12·2m·mtanθ=m2tanθ.

（2）该问求△ABC周长的最大值.可延长BA至点D，使得AD=AC，再连接CD，则∠D=θ.定边BC对应定角∠D，可作△BCD的外接圆，设为⊙O.

在图10中有AB+AC=AB+AD=BD≤BE=2msinθ（BE为直径），所以AB+AC的最大值为2msinθ，从而可得△ABC周长的最大值为2msinθ+2m.

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评析 上述问题解析利用了定弦定角隐圆模型，在第（1）问中体现尤为明显，利用该模型确定了动点轨迹，从而直观的确定了线段最短时的情形.需要深刻理解模型的特点，即角与弦中存在“动”与“定”相对关系，可以是角顶点运动，也可以是弦动.

隐圆模型4 四点共圆

四点共圆隐圆模型，顾名思义四点可确认一个圆，四点均位于圆上.实际确认时常借助等角关系，所依据的是圆周角特性，即同弧或等弧所对的圆周角相等.

模型如图11所示的四边形ABCD中，有∠1=∠2（或∠3=∠4），则A，B，C，D四点共圆（模型中始终有∠5=∠6）.

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策略 可借助等角来证明四点共圆，往往有两种策略：一是如右图中通过等角代换证明∠1=∠2或∠3=∠4;二是二次证明对应的三角形相似，如图中的“8字形”三角形相似模型.

例4 如图12所示，在四边形ABCD中，已知∠BCD=90°，AC为四边形的对角线.过点D作DF⊥AB，设垂足为点E，与CB延长线相交于点F.如果AC=CF，∠CAD=∠CFD，DF﹣AD=2，AB=6，则ED的长为.

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解析 本題目在四边形构建了图形，已知∠CAD=∠CFD，结合四点共圆模型可知：A，B，C，D四点共圆.连接AF，作四边形AFCD的外接圆，如图13所示.利用圆特性可得：∠FAD+∠DCF=180°，∠FAC=∠FDC.

由∠DCF=90°可得∠FAD=90°，再由AC=FC可得∠FAC=∠AFC.等角代换可得∠AFB=∠ABF，所以AF=AB=6，分析可知DF=AD+2.

在Rt△ADF中，由勾股定理可得DF2=AF2+AD2，代入线段长，可解得AD=8，故DF=10.分析可证△ADE∽△DAF，所以ADDF=DEAD，所以DE=AD2DF=325，即ED的长为325.

评析 上述问题解析时利用角度关系确定了关键的四点共圆，从而提取出关键的角度关系，为后续的几何分析提供了基础.四点共圆模型有一定的难度，要掌握两大内容：一是模型的证明方式，二是模型中的几何特性，包括等角关系和相似关系.

总之，充分掌握隐圆模型的四种形式十分重要，对于整合图形、挖掘条件十分有利.从上述探究过程中可知，四种隐圆模型是在圆的特性原理基础上构建的，故实践探究中建议采用数形结合的方式，从圆的特性、模型原理、模型结构及性质等方面加以解读，拓宽解题视野，强化模型应用.