题以类聚，方法在其中

任红娟

【摘要】中点问题是初中几何学习的常见问题，结合特殊图形相关性质、定理后，使得中点问题的复杂性明显增加，参比中点平分线段性质，在几何学习中更注重相关特殊图形中中点辅助线的考察.本文通过总结概括初中全册中点相关辅助线常见四类问题，即斜边中线（在直角三角形），中位线，三线合一（在等腰三角形），中线倍长，提炼问题相应解决办法和技巧，从而系统阐述中点，类中线等数学问题的探究和思考，以期为今后教师教学和学生学习该知识点时提供相应的依据.

【关键词】中点;中点辅助线

初中几何中，添加辅助线是证解一些题目的必要手段.其目的是通过构建新的图形，把命题中的已知条件与要证解的几何问题直接或间接地联系起来，创造由已知向未知转化的条件.它“辅”题中条件的不足，“助”证明命题的顺利进行[1].当题目中有中点时，如何适当地添加辅助线、合理地利用中点求解问题，是处理中点问题的关键.含有中点条件的问题的辅助线的添加多样、灵活、复杂，不少学生难以掌握，下面针对中点问题举例谈谈几种添加辅助线的方法.

1 斜边中线（直角三角形）辅助线

当直角三角形中出现中点或中线时，通常会联想到直角三角形斜边上的中线定理及其逆定理.通过这两个定理的应用，完成直角三角形的构图和相关题目的推导及证明，助力于观察边角互换产生等腰三角形的特征[2].

例1 如图1，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO=98°，则∠C的度数为（）.

（A）40°. （B）41°. （C）42°. （D）43°.

解析 如图2，连接OA，OB，因为AE=OE=EB

易证：△AOB为直角三角形，则∠OAB与∠OBA互余，△ABC沿DE，EF翻折，点A，B重合.

所以∠CAB+∠CBA=∠CAO+∠OAB+∠CBO+∠OBA

=12（∠CDO+∠CFO）+（∠OAB+∠OBA）

=12×98°+90°=139°，

所以∠C=180°-139°=41°

例2 如图3，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点E、F分别在AB、AC 上，且AE=EF;若点O、M分别为AF、CE的中点.求证：（1）OM =12CE（2）OB = 2OM

解析 （1）如图4，

连接OE，BM

因为AB=BC，∠ABC=90°，所以∠A=45°

因为AE=EF，所以∠AEF=90°

因为O为AF中点，所以∠EOC=90°

因为M为EC中点，所以OM=12CE.

（2）如图4，连接BM，在Rt△EBC中

因为M为EC的中点，所以BM=12CE ，

所以BM=OM=CM，

所以∠BMO=2（∠OCM+∠BCM）= 90°.

所以△BOM是等腰直角三角形，

则：OB = 2OM

上述两题主要着眼于利用斜边中线逆定理构造直角三角形.从中点出发，联想基本图形的构造，尝试推理论证，将线段关系巧妙转化，从而使不在特殊图形中的线段在新的特殊图形中获得意义，问题解决趨于直观.

2 中位线辅助线

当三角形或四边形中出现两个或两个以上中点时，根据题目条件提示，寻找线索，构造三角形中位线，利用中位线得到线段的平行和倍数关系，助力边角互换、转移.

例3 如图5，点B为AC上一点，分别以AB、BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，点P、M、N分别为AC、AD、CE的中点.

求证：（1）PM=PN.（2）∠MPN的度数.

解析 （1）如图6，连接CD，AE

因为△ABD和△BEC为等边三角形，

易证：△DBC≌△ABE，所以CD = AE，

因为P、M、N分别为AC、AD、CE的中点

所以MP=12DC， PN=12AE，

所以PM=PN

（2）因为△DBC≌△ABE，

所以∠AEB=∠DCB

因为∠AEB+∠EAB=∠EBC=60°，

所以∠DCB+∠EAB=60°，

易证：∠MPA=∠DCB， NPC=∠EAC，

所以∠MPN=180°-∠MPA -∠NPC=120°

例4 如图7，在四边形ABCD中，AB=CD，E.F分别是BC.AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，求证：∠BME=∠CNE.

解析 在图8中，连接BD，取BD的中点G，连接GE.GF，根据三角形中位线定理，证明GE=GF，从而∠GFE=∠GEF，再利用平行线的性质，可证明∠BME=∠CNE.

构造三角形的中位线在于三角形的寻找和确定，结合中点个数及他们之间的关系，构造基本图形中的中位线，达到线段数量关系的证明以及几何关系的论证[3].

3 三线合一辅助线

“等腰三角形三线合一”是等腰三角形的性质定理，该性质定理的启发性意义在于可以利用中点添加辅助线构造等腰三角形.在等腰三角形底边上的中线和高线，顶角平分线这三线中，只要出现两条线重合，就可以证明等腰三角形的存在.

例5 如图9，已知△ABC中，BD平分∠ABC，AE⊥BD于E，求证：∠BAE=∠C+∠DAE.

解析 如图10，延长AE交BC于点F

因为BD平分∠ABF，BD⊥AF

易证：△ABF是等腰三角形，

则：∠BAE=∠BFE

又因为∠BFA=∠C+∠DAE，

所以∠BAE=∠C+∠DAE

当三线中有两线出现重合的条件时，等腰三角形的结构随之产生，解题技巧也随之呈现[4].实现“由二推一”“由一生三”的效果.

4 中线倍长辅助线

中线倍长辅助线的构造技巧常出现在线段两倍关系或二分之一关系的论证过程中，辅助线作法的相应线索主要隐藏在题目条件的中点或类中点，以及求证结果的倒推[5].中线倍长构造常伴随全等三角形的构造，实现线段和角度的转化.

例6 如图11，△ABC中，D为BC的中点，

求证：（1）AB+AC >2AD

（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围.

解析 （1）如图12，延长AD至E，使DE=AD，构造△ADC≌△EDB，使得AC=BE，再根据三角形的三边关系AB+BE>AE，可得AB+AC>2AD;

（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得5-3<2AD<5+3，再计算即可.

例7 已知：如图，在△ABC中，AC≠AB，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分∠BAC

3 图14

解析 如图14，延长FE到G，使EG=EF.连接CG，由于已知条件通过SAS证得△DEF≌△CEG，所以DF=GC，∠DFE=∠G，由平行线的性质和已知条件得到∠BAE=∠CAE.

在中线倍长辅助线的构造过程中，全等三角形的构造至关重要，特别是类中线的结构，我们要关注哪一对三角形全等，哪一组线段转移，从而有目的地画辅助线，有目标地完成证明.这种隐藏条件的发现和推倒需要结合辅助线作法及特点以及论证的结果出发，才能做到有的放矢，事半功倍.

5 组合型中点辅助线

中点（类中点）辅助线除上述四种单独作法外，还会有中点组合型辅助线的出现.这类辅助线的特征是“一线多用”，“双线三用”.组合型辅助线的图形常出现在多种特征图形的组合图形中，或是特征图形残缺某部分后的图形，所以寻找此类线索，启发思考，逻辑推导，灵活解题.

6 结语

四类中点辅助线常见的题型是初中数学几何学习中的重点和难点.把握知识逻辑，寻找正确的解决方法，通过对问题的研究和探索，深刻理解中点辅助线的构图原理.抓住解题的关键核心，尝试推导辅助线，使问题得以解决.

当有直角三角形和斜边上的中点并存时，斜中线是首先要考虑的辅助线，该辅助线除了转移线段的数量关系，也可以用于构造直角三角形或者等腰三角形;当出现2或2个以上中点时，常常会思考添加中位线辅助解题，中位线可以将线段的数量关系和位置关系进行双重的联系，可以将不在同一条直线上的线段进行成倍的放缩，中位线形成的位置关系也可以起到转移角度的功能.伴随等腰三角形三线合一的性质定理，结合题目已知条件去构造等腰三角形，在特殊的三角形中，会产生更多的性质和定理，帮助学生更好、更快的解决问题，中线（类中线）倍长的辅助线是全等证明中常见的一种方法，通过延长中线，构造全等三角形，产生相等线段，论证相关问题，在此类问题中，伴随着平行四边形的产生，使得图形结构更为生动.

数学辅助线的运用就是对隐藏在特殊图形中的隐性条件的挖掘，从而将复杂、繁琐的问题简化，分解，使问题由原来的僵持局面，变得灵动自如[6].学习中点辅助线的添加，关键是寻找模型和题目条件中的信息，通过尝试和论证，确定核心的辅助线.不同的题目类型就会有不同的辅助线的添加，参照原题信息的描述和推理，选择相对应的辅助线，提升解题能力.

參考文献：

[1] 王玉华.如何添辅助线解几何题[J].科技信息，2009（04）

[2] 杨峰.直角三角形斜边上中线的性质及其应用[J].中学生数理化，2016（Z1）

[3] 钱永树.构造三角形中位线的技巧[J].数理化学习，2002（03）

[4] 练东生.等腰三角形问题中常见辅助线作法[J].中学数学研究，2014（09）

[5] 宗友红.三角形中“倍长中线法”辅助线的用法[J].中学生数理化，2011（02）

[6] 陈柏森.平面几何证题中作补助线的几种方法[J].咸宁学院学报，2011（06）