二次函数在闭区间的最值问题4例

陈毅贞任教于厦门大学附属实验中学，硕士研究生，中学二级教师，现主要研究初中数学教育教学，多次获“区优秀教师”称号。

二次函数在闭区间的最值问题不论在初中或高中都是常考的内容. 此类问题一般分为四类：定轴定区间、定轴动区间、动轴定区间、动轴动区间. 解题步骤可归纳为：一、判断二次函数开口方向，二、求对称轴，三、分类讨论二次函数对称轴与区间或区间中点的相对位置关系，四、判断图象在闭区间的单调性，五、求得最值. 下面举例说明.

1 定轴定区间二次函数的最值问题

例1 已知二次函数y=x2-x-2，求函数在-1≤x≤1上的最大值.

解 由y=x2-x-2可知二次函数开口向上，对称轴为x=-b2a=12.

因为-1≤x≤1，

所以对称轴在闭区间内部，当-1≤x≤12时，y随x的增大而减小，当12

方法1 判断对称轴与区间端点的远近，近小远大.

因为1-12<12-（-1），

所以当x=-1时，函数取得最大值，即ymax=0.

方法2 判断对称轴与区间中点的相对位置关系，区间中点的横坐标为

x=-1+12=0.

因为0<12，

所以当x=-1时，函数取得最大值，

即ymax=0.

2 定轴动区间二次函数的最值问题

例2 已知二次函数y=x2-2x+2，求函数在t≤x≤t+1上的最大值.

解 由y=x2-2x+2可知二次函数开口向上，对称轴x=-b2a=1.

方法1 根据对称轴与区间的相对位置关系，分三类情况讨论：对称轴在区间的左边、内部、右边.

（1）轴在区间右：当t+1<1，即t<0时，函数y在t≤x≤t+1上随着x的增大而减小. 所以当x=t时，函数取得最大值，即ymax=t2-2t+2.

（2）轴在区间内：当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，

①当t+1-1≤1-t，即0≤t≤12时，

当x=t时函数取得最大值，即ymax=t2-2t+2.

②当t+1-1>1-t，即12

ymax=（t+1）2-2（t+1）+2=t2+1.

（3）轴在区间左：当t>1时，函数y在t≤x≤t+1上随着x的增大而增大. 所以当x=t+1时，函数取得最大值，即

ymax=（t+1）2-2（t+1）+2=t2+1.

综上所述，函数的最大值

ymax=t2+1，t>12，t2-2t+2，t≤12.

方法2 根据对称轴与区间中点的相对位置关系，分两种情况讨论. 因为区间中点的横坐标

x=t+t+12=t+12，

所以（1）轴在中点右：当t+12≤1，即t≤12时，当x=t时函数取得最大值，即ymax=t2-2t+2.

（2）轴在中点左：当t+12>1，即t>12时，当x=t+1时函数取得最大值，即

ymax=（t+1）2-2（t+1）+2=t2+1.

综上所述，函数的最大值

ymax=t2+1，t>12，t2-2t+2，t≤12.

3 动轴定区间二次函数的最值问题

例3 已知二次函数y=x2+ax+3，求函数在-1≤x≤1上的最大值.

解 由y=x2+ax+3可知二次函数开口向上，对称轴为x=-a2.

方法1 根据对称轴与区间的相对位置关系，分三类情况讨论：对称轴在区间的左边、内部、右边：

（1）轴在区间右：当1<-a2，即a<-2时，函数y在-1≤x≤1上随着x的增大而减小. 所以当x=-1时，函数取得最大值，即

ymax=4-a.

（2）轴在区间内：当-1≤-a2≤1，

即-2≤a≤2时，

①当1--a2≤-a2-（-1），即-2≤a≤0时，当x=-1函数取得最大值，即ymax=4-a.

②当1--a2>-a2-（-1），即0

（3）轴在区间左：当-a2<-1，即a>0时，函数y在-1≤x≤1上随着x的增大而增大，所以当x=1时，函数取得最大值，即ymax=4+a.

综上所述，ymax=4-a，a≤0，4+a，a>0.

方法2 根据对称轴与区间中点的相对位置关系，分两种情况讨论. 因为区间中点的横坐标x=-1+12，所以

（1）轴在中点右：当0≤-a2，即a≤0时，当x=-1函数取得最大值，即ymax=4-a.

（2）轴在中点左：当-a2<0，即a>0时，当x=1时，函数取得最大值，即ymax=4+a.

综上所述，ymax=4-a，a≤0，4+a，a>0.

4.动轴动区间二次函数的最值问题

例4 已知二次函数y=x2-2（2t+1）x+1，求函数在t≤x≤t+2上的最大值.

解 由y=x2-2（2t+1）x+1可知二次函数开口向上，对称轴为x=2t+1.

方法1 讨论对称轴与区间的相对位置关系，分三类情况讨论：对称轴在区间的左边、内部、右边：

（1）轴在区间右：当t+2<2t+1，即t>1时，函数y在t≤x≤t+2上随着x的增大而减小. 所以当x=t时，函数取得最大值，即

ymax=t2-2（2t+1）t+1=-3t2-2t+1.

（2）轴在区间内：当t≤2t+1≤t+2，即-1≤t≤1时，判断对称轴与两个区间端点的远近，近小远大.

①当t+2-（2t+1）≤2t+1-t，即0≤t≤1时，

当x=t时，函数取得最大值，即

ymax=t2-2（2t+1）t+1=-3t2-2t+1.

②当t+2-（2t+1）>2t+1-t，即-1≤t<0时，

当x=t+2时，函数取得最大值，即

ymax=（t+2）2-2（2t+1）（t+2）+1

=-3t2-6t+1.

（2）轴在区间左：当2t+1

ymax=（t+2）2-2（2t+1）（t+2）+1

=-3t2-6t+1.

综上所述，ymax=-3t2-2t+1，t≥0，-3t2-6t+1，t<0.

方法2 判断对称轴在区间中点的左边或右边.因为x=t+t+22=t+1，所以

①轴在中点右：当t+1≤2t+1，即0≤t≤1时，

当x=t时，函数取得最大值，即

ymax=t2-2（2t+1）t+1

=-3t2-2t+1.

②轴在中点左：当2t+1

當x=t+2时，函数取得最大值，即

ymax=（t+2）2-2（2t+1）（t+2）+1

=-3t2-6t+1.

综上所述，ymax=-3t2-2t+1，t≥0，-3t2-6t+1，t<0.

解决此类问题的关键在于分类讨论对称轴与区间的位置关系或对称轴与区间中点的位置关系. 本文对二次函数在闭区间求最值的几类情况进行归纳总结，从变化中发现不变性，动中取定，多题一解，以期提高学生的归纳和解题能力.