与二次函数系数相关的代数式符号问题

王欢

二次函数是描述现实世界變量之间关系的重要数学模型，在各地中考中均是考查重点，除以最后一题的解答题形式出现外，还经常以多结论类选择题出现，考查与二次函数系数相关的代数式符号问题.下面举例介绍此类题的解题思路.

一、知识梳理

二次函数一般式为y = ax2 + bx + c（a ≠ 0），一般情况下有三个系数，每个系数对图象影响不同.其中：a决定开口方向，a > 0时抛物线开口向上，a < 0时抛物线开口向下；a与b共同作用，决定对称轴的位置，a与b符号相同时对称轴在y轴左侧，a与b符号相反时对称轴在y轴右侧；c决定抛物线与y轴交点的纵坐标；b2  -  4ac决定抛物线与x轴的交点个数.

二、原题重现

例 （2021·黑龙江·齐齐哈尔）如图1，二次函数y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x =  - 1，结合图象给出下列结论：

①a + b + c = 0；②a - 2b + c < 0；③关于x的一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的两根分别为 - 3和1；④若点（ - 4，y1），（ - 2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1 < y2 < y3；⑤a - b < m（am + b）（m为任意实数）．其中正确的结论有（）.

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

分析：（1）将（1，0）代入二次函数y = ax2 + bx + c，可对①进行判断；

（2）根据开口方向和抛物线与y轴的交点位置可得a > 0，c < 0，根据抛物线的对称轴为x = -1得到[-b2a] =  - 1，则可对②进行判断；

（3）利用二次函数的对称性，可对③进行判断；

（4）根据抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，可对④进行判断；

（5）根据x =  - 1时y有最小值，可对⑤进行判断．

解：∵二次函数y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），∴a + b + c = 0，故①正确；

∵抛物线的对称轴为直线x =  - [b2a] =  - 1，∴b = 2a，

∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，∴a > 0，c < 0，

∴a - 2b + c = c - 3a < 0，故②正确；

由抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一交点坐标为（- 3，0），

∴关于x的一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0）的两根分别为 - 3和1，

故③正确；

∵抛物线的对称轴为直线x =  - 1，且抛物线开口向上，

∴离对称轴越近，y值越小，

∵点（- 4，y1），（- 2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，且[-4 - （-1）] = 3，[-2 - （-1）] = 1，[3 - （-1）] = 4，

∴y2 < y1 < y3，故④错误；

∵x =  - 1时，y有最小值，∴a - b + c ≤ am2 + bm + c（m为任意实数），

∴a - b ≤ m（am + b），故⑤错误．

所以正确的结论有①②③，共3个．

故选C．

三、思路总结

1.同时出现a，b，c，考虑将特殊点代入函数表达式求值.

2.只有a，b 或者只有a，c，可考虑借助对称轴将其拆分成含有a，b，c的形式.

3.函数值比较大小可借助距离对称轴的远近进行比较：若开口向下，距离对称轴越远则函数值越小；若开口向上，距离对称轴越远则函数值越大.