活用网格巧画图

刘光华 吴高敏

【摘要】 有限的网格将核心数学知识及丰富的数学原理融入其中，架起了数学思考与问题解决之间的桥梁.提高实践能力.几何变换是解决几何作图问题的常见思路与方法，靈活运用网格中丰富的“数形”关系是发现、解决问题的关键.

【关键词】 格点;格线;平移;画图

网格背景下的无刻度直尺画图问题因其结构简单，形式新颖，设计巧妙，从而引起了众多地区中考命题者及一线教师、学生的关注.有限的网格将核心数学知识及丰富的数学原理融入其中，架起了数学思考与问题解决之间的桥梁.下面我们从平移变换的方法来探讨几种常见网格背景下的无刻度直尺画图.

问题 以下题的图形都是由边长为1的小正方组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，组成网格的每一条线叫做格线.图中有A，B，C三点.请用无刻度的直尺按要求完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线.

1 画线段的平移

平移线段AB到CD，使点A的对应点为C，B的对应点为D，画出线段CD.

例1 如图1，点A，B，C均在格点上.

画法如图2，点A，B，C均在格点上，观察发现，点A向右平移3格再向下平移1格到对应点C，所以将点B也向右平移3格再向下平移1格到对应点D，连CD即可.

例2 如图3，点A，B在格点上，点C在网格线上.

画法如图4，点C在网格线上，点C与点A，B的水平距离是确定的，连接BC，交纵向的网格线于点O，因为BC之间有3条纵向相互平行的格线，且它们之间的水平距离均为1，由平行线等分线段定理可知，点O为BC的中点.连接AO并延长，交最右侧纵向网格线于点D，则四边形ACDB为平行四边形，CD即为所求作线段.

例3 如图5，点A，B，C均在网格线上.

画法如图6，点A，B，C均在三条纵向的网格线上，三点之间的水平距离是确定的，连接BC，交纵向的网格线于点O，因为B，C之间有3条纵向相互平行的格线，且它们之间的水平距离均为1，由平行线等分线段定理可知，点O为BC的中点.连接AO并延长，交最右侧纵向网格线于点D，连CD即可.

当网格中的点在格线上时，只有这几个点同时在横向格线上或纵向格线上，它们的垂直距离或水平距离才可以确定，在满足一定条件时就可以利用格线构造出平行四边形，画出平移后的对应线段.

2 利用平移画垂线

例4 如图7，点A，B，C均在格点上，过点C画线段CD⊥AB.

画法如图8，利用格点中“一线三垂直”模型，取格点E画BE⊥AB，将线段BE沿水平方向向左平移1格到CD，则CD⊥AB（也可以利用三角形全等关系直接取格点D画出CD⊥AB）.

例5 如图9，点A，B在格点上，C在网格线上，过点C画线段CD⊥AB.

画法如图10，类比例4先利用格点中的“一线三垂直”模型，取格点E作BE⊥AB，要画CD⊥AB，只需过点C画CD∥BE，即平移线段BE到CD即可.由于点C在纵向的网格线上，连接CE，交C，E之间纵向网格线于点O，连接BO并延长，交点E所在纵向网格线于点D，连CD即可.

过已知点作格点线段（端点都在格点上）的垂线，可以先以该线段的一个端点借助“一线三垂直”模型作一条线段与它垂直（也可以理解为将格点线段绕端点旋转90°），再通过将垂线段平移分步完成画图.

3 画对称

例6 如图11，点A，B，C均在格点上，作点C关于AB的对称点D.

1图12

画法如图12，由轴对称的性质可知，点C关于AB的对称点D满足CD⊥AB，且点C，D到AB的距离相等.同上述方法先取格点E作BE⊥AB，再平移BE到CF，则有CF⊥AB.将线段AB向左平移1格到HG，交CF于点D，由平行线等分线段定理可知，点C，D到AB的距离相等.所以点D即为所求对称点.

网格中的轴对称画图一般在格点及格点线段中进行，它综合了过已知点作格点线段的垂线及线段的平移等画图方法，在实际画图中可以拆解后分步进行.

几何变换是解决几何作图问题的常见思路与方法，灵活运用网格中丰富的“数形”关系是发现、解决问题的关键.通过平移变换能构造出有利于发现问题的隐含条件，综合运用数学相关知识，从而实现问题的有效解决.