一道中考图形旋转问题的探索与思考

张行军

“图形的旋转”是“新课程标准”中明确规定的重要内容之一.近年来，在各地的中考试卷中，图形的旋转问题都放在了重要的位置上.对于这类问题，学生思考时通常有些困难，对于教师而言，如何在解题实践中合理、有效地利用图形旋转来教学，都是需要探索与思考的问题.下面以2021年苏州的一道中考题填空压轴题为例谈谈几种解决图形旋转问题的探索与思考.

原题呈现如图1，射线OM，ON互相垂直，OA=8，点B位于射线OM的上方，且在线段OA的垂直平分线l上，连接AB，AB=5.将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，若点B′恰好落在射线ON上，则点A′到射线ON的距离d=.

1 利用点的转化，构造直角三角形

分析 问题要求点A′到射线ON的距离d？从点的角度来思考，求出点A′到射线ON的垂线段的长度即可.因此可以过点A′作A′H⊥ON交ON于点H，求线段A′H的长.如何求A′H的长呢？容易想到勾股定理，那就要寻找或构造直角三角形，可发现Rt△A′OH和Rt△A′B′H.结合题目点A′是由点A旋转而来的，由旋转的性质可得OA′=OA，从而连接OA′、OB，利用双勾股定理即可求解.

解 过点A′作A′H⊥ON交ON于点H，连接OA′、OB.

因为OA=8，AB=5，

BC是OA的垂直平分线，

所以OB=AB=5，

因为线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，

所以OA′=OA=8，

OB′=OB=5.

设 B′H= x，则OH=5+x，

在Rt△OA′H和Rt△B′A′H中，

A′H2=A′O2-OH2=A′B′2-B′H2，

即82-（5+x）2=52-x2.

解得x=75，

所以A′H=52-752=245，

即点A′到射线ON的距离为245.

注 此类解法关键抓住点的旋转来思考.图形的旋转把条件弱化就是点的旋转，然后根据点的位置特征，来求点到直线的距离.

2 利用线段转化，构造相似三角形

分析 问题要求点A′到射线ON的距离d，从线段来思考，线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，要求距离就是求线段A′H的长.根据图形旋转的性质可知图形上的每个点同时都按相同方式转动相同的角度，即任意一对对应点与旋转中心连线所成的夹角都是旋转角，图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度.利用角度相等可构造相似三角形来解决，即

△OA′H∽△OBC.

解 过点A′作A′H⊥ON交ON于点H，连接OA′、OB.

因为OA=8，AB=5，

OA的垂直平分线记为BC，其中C是BC与OA的交点，

所以OB=AB=5，

OC=OA=4，

所以BC=3，

因为线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，

所以OA′=OA=8，

∠AOA′=∠BOB′，

所以∠HOA′=∠COB，

因為∠OHA′=∠OCB，

所以△OA′H∽△OBC.

所以A′HBC=OA′OB，

即A′H3=85，

所以A′H =245，

即点A′到射线ON的距离为245.

注 此类解法关键抓住线段的旋转来思考.图形的旋转看成线段的旋转，从而从线段的角度进行思考，利用旋转角度相等，构造相似三角形或利用三角函数都可求得线段的长.

3 利用面的转化，构造全等三角形

分析 问题要求点A′到射线ON的距离d，从面的角度来思考，即整体思考，不难发现△OA′B′≌△OAB.求线段A′H的长，这时发现A′H为△OA′B′的高，由于△OAB的面积已经确定，由此可利用等积法求得线段A′H的长.

解 过点A′作A′H⊥ON交ON于点H，连接OA′，OB.

因为OA=8，AB=5，

OA的垂直平分线记为BC，其中C是BC与OA的交点，所以OB=AB=5，

OC=OA=4，

所以BC=3，

因为线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，

所以△OA′B′由△OAB绕点O按逆时针方向旋转得到.

所以△OA′B′≌△OAB，

所以S△OA′B′=S△OAB.

因为S△OA′B′=12×OA×BC=12×8×3=12，

所以S△OAB=12×OB′×A′H=12×5×A′H=12，

所以A′H=245，

即点A′到射线ON的距离为245.

注 此类解法关键抓住图像的整体旋转来思考.图形的旋转看成面的整体旋转，从而利用旋转旋转不改变图形的大小和形状（即旋转前后的两个图形是全等图形），利用全等图形的面积相等来解决问题.

4 利用整体观察，构造矩形

分析 问题要求点A′到射线ON的距离d，从整体的角度来思考，求线段A′H的长，可以通过转化线段A′H来实现.此可想整体图形的旋转应该处处全等，利用三角函数，构造矩形可得线段A′H的长.

解 设OA的垂直平分线与OA交于C，将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，C随之旋转到C′，过A′作A′H⊥ON于H，过C′作C′D⊥ON于D，过A′作A′E⊥DC′于E，如图3.

因为OA=8，AB=5，

BC是OA的垂直平分线，

所以OB=5，

OC=AC=4，BC=3，

cos∠BOC=OCOB=45，

sin∠BOC=BCOB=35，

因为线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，C随之旋转到C′，

所以B′C′=BC=3，

A′C′=AC=4，

∠BOC=∠B′OC′，

因为∠B′C′D=∠B′C′O-∠DC′O

=90°-∠DC′O

=∠B′OC′=∠BOC，

所以cos∠B′C′D=45，

Rt△B′C′D中，C′DB′C′=45，

即C′D3=45，

所以C′D=125，

因为AE∥ON，

所以∠B′OC′=∠C′A′E，

所以sin∠C′AE=sin∠B′OC′=sin∠BOC=35，

Rt△A′C′E中，C′EA′C′=35，

即C′E4=35，

所以C′E=125，

所以DE=C′D+C′E=245，

而A′H⊥ON，C′D⊥ON，A′E⊥DC′，

所以四边形A′EDH是矩形，

所以A′H=DE，

即A′到ON的距离是245.

注 这类解法综合性比较强，需要用到图形的旋转的性质，三角函数，矩形的性质来思考，从整体角度来思考.抓住旋转的特征，线段的转化，构造新的图形来解决.

5 反思与收获

通过上面的几种解法，我们不难发现几种解法各有千秋，关键是思考的角度不同带来的解法不同.对于图形的旋转问题我们可以试着从微观点的方向开始思考，再到宏观整体思考来解决问题，思考方向是解决数学问题的突破口.在教学过程中，教师要善于抓住图形旋转的本质特征，帮助学生寻找突破口，掌握正确的解题方法和途径.充分利用变式训练，挖掘图形旋转的不变性，培养学生类比迁移、触类旁通的数学能力、拓展学生的思维空间，激发学生的数学创新精神.