高中数学排列组合的解题技巧

严步胜

【摘要】高中数学排列组合问题较为抽象，掌握一定的解题技巧，可迅速找到解题思路，提高解题正确率.本文主要介绍捆绑法、插空法、隔板法、间接法、特殊元素法在解题中的具体应用.

【关键词】 排列组合;解题思路;解题策略

1 常见问题以及原因分析

1.1 理论知识薄弱

现阶段，在高中数学教学中，针对排列组合主要存在理论知识薄弱的问题，想要了解排列组合，必须要明白“排列”和“组合”这两种问题的联系和区别，两者所涉及到的思维和计算公式存在比较大的区别，对此，教师利用传统的教学方法，会直接导致学生出现审题不清晰的情况，不能正确认识到问题类型，从而导致在计算过程中出现公式错误的现象，长期以往，便会形成错误的思维观念，使其计算结果出现错误.

1.2 计算不当

数学知识自发展以来，排列组合便是重要的知识点，主要考查学生的综合能力和思维能力，但是，由于其计算层面过于单一，没有涉及到新的方法，学生便会出现粗心的现象，从而经常出现重复计算以及数据遗漏等问题，在这种状态下，在进行考试时，学生对经常出现丢分等问题.

1.3 重要条件遗漏

在排列组合知识教学中，题目条件是保证解题正确与否的重要环节，由于在常见的问题中，所涉及到的情境比较复杂多变，所体现出来的题目形式也变化多端，对此，学生在进行求解时，会发现可能一个符号的改变将会直接影响到计算条件，从而导致整个计算过程出现偏移.学生在审题过程中，如果不能将题目中现有的信息进行整理，那么将会直接导致其判断失误，最终无法得到正确结果.

2 相关方法和思想刨析

2.1 捆绑法

例1 用1～8共8个数字组成不重复的八位数，要求1和2相邻，3和4相邻，7和8不相邻，则这样的八位数有个__________.

解析 1和2相邻可将其捆绑成一个元素M，两者之间可进行全排共有A²₂种排法;同理，3和4相邻捆绑成一个元素N，也有有A²₂种排法;则M、N、5、6全排有A⁴₄种排法;排好的元素形成5个空隙，将7和8插入空隙中有A²₅中方法.则可组成八位数的个数为A²₂A²₂A⁴₄A²₅=2×2×4×3×2×1×5×4=1920个.

2.2 插空法

例2 5个女孩和6个男孩围成一个圈，任意2个女孩中间至少站1个男孩，则不同的排法有种________.

解析 女孩有5个，男孩有6个且任意2个女孩中间至少站1个男孩，则有且仅有2个男孩站在一起.先将5个女孩站成一个圈，共有排法5！/5=24种;此时形成5个空隙，将6个男孩按照1、1、1、1、2分成5组，有C²₆=15种分法;将男孩插入到空隙中有A⁵₅=120种方法;站在一起的男孩有2种站法，因此，不同的排法有：24×15×120×2=86400种排法.

2.3 隔板法

例3將15个三好学生名额分给1、2、3、4共4个班级，其中1班至少2个名额，2班、4班每班至少3个名额，3班最多2个名额，则共有________种不同分配方案.

解析 3班最多有2个名额，因此，可分为2个名额、1个名额、0个名额三种情况进行讨论.（1）当3班有2个名额时，给1班分1个名额，2班和4班每班2个名额，还剩余8个名额;（2）8个名额有7个空隙，插入2个隔板分层三组，1班、2班、4班各分得一组，共有分法C²₇种;（3）当3班有1个名额时，给1班分1个名额，2班和4班每班2个名额，剩余9个名额有8个空隙，插入2个隔板分层三组，1班、2班、4班各分得一组，共有分法C²₈种;当3班没有名额时，给1班分1个名额，2班和4班每班2个名额，在10个名额的9个空隙中插入2个隔板分层三组，1班、2班、4班各分得一组，共有分法C²₉种;综上共有分配方案C²₇+C²₈+C²₉=21+28+36=85种.

2.4 间接法

例4 派遣6为老师到甲、乙、丙、丁4个学校开展支教活动，其中甲、乙学校各派遣1人，剩余两个学校各派遣2个人，要求李老师和王老师不能派遣到一个学校，则可能的方案有多少种？

解析 可先不考虑两位老师的特殊要求，对名额进行全排，而后减去两位老师派遣到一个学校的情况.从6位老师选取一位到甲学校，有C¹₆种选法;在剩余5位老师中选取一位到乙学校，有C¹₅种选法，剩余4位教师平均分成两组，派遣到剩余两个学校，共有C²₄C²₂/A²₂×A²₂种排法;将李老师和王老师派遣到一起，到丙学校或者丁学校，共有2种可能;在剩余4为老师中选出一位到甲学校，有C¹₄种方法;在剩余3位老师选出一位到乙学校共有C¹₃种方法.最后两位老师均到同一所学校，有1种可能.综上满足题意的方案有C¹₆×C¹₅×C²₄C²₂/A²₂×A²₂-2C¹₄C¹₃=180-24=156种.

2.5 特殊元素法

例5 用0～5共6个数字，组成能够被5整除且不重复的五位数有多少个？

解析 先分析被5整数的五位数有什么特点，即，个数数是0或5，而后在进行分类分析.当末尾数为0时，则从1～5位数数字选取4个全排，共有A⁴₅=120个;当末尾数为5时，则首位不能为0，首位有C¹₄种选法，中间数字无限制，共有排法A³₄种.综上满足题意的五位数有A⁴₅+C¹₄A³₄=120+96=216个.

2.6 分类讨论法

在数学教学中，分类讨论法是比较常见的数学方法，其主要核心是在解题过程中结合现有对象存在的差异进行划分类别，同时，要保证在分类时明确分类原则的确定.只有在解題过程中充分利用分类讨论法，将题目中存在的条件等因素进行分类讨论，这样才能够在解决排列组合问题时，避免出现重复和数据遗漏等问题，

例6 箱子中有8个大小完全相同的小球，其中5个小球的颜色相同，而剩下3个小球分别为红、黄、绿，这三个小球代表优秀奖、先进奖和进步奖，颜色相同的小球为鼓励奖，现将这些小球放入箱子中，安排4位学生进行抽取，试讨论获奖情况.

解析 由现有条件可知，每个学生可以得到两个小球，对此，可以对其进行以下分类：

由已知条件可知，每个人会得到两个小球，可以进行如下分类：首先，如果一个人获得两个奖项，一个人获得一个奖项，剩下的学生没有获得奖项.其次，如果其中四个人中有三人个人分别获得奖项，那么剩余一人没有奖项.按照这种方式，进行分类讨论时，便要充分将这两种情况纳入到计算中来，可以有效对每一种类别进行计算.对此，在计算中，需要从有奖的小球中进行挑选，放到A位置，其中有C²₃=3（种）可能，那么剩下的小球便有各有一个无奖和有奖，在其他位置中，各有两个无差别的无奖小球;接着从其他角度出发，现已知有奖的为A、B，从四位学生中随机抽选出两位学生进行抽奖，在此期间，要保证结构存在差异性，对此，将其问题转换为排列问题，其中A=12，那么共有36种情况.另外一种方法，便是从四人中选出三人去抽奖，最后一位学生在其余三人抽奖结束后进行，对此，在这种方法下，共有24种情况，从上述分析中，可以发现总共有60种情况.

综上所述，排列组合不同的解题技巧有着对应的适用情境，因此，应做好不同解题技巧适用题型的总结，把握相关解题技巧的特点，搞清楚各解题技巧之间的区别与联系，尤其认真分析各解题技巧应用时的注意事项以及细节，并灵活应用于解题中，促进解题能力的进一步提高.