巧用特殊角解三角函数应用题
2022-05-30罗强华
罗强华
【摘要】 在运用三角函数解决问题时，图形中往往会存在一些特殊的角度，例如30°，45°，60°和90°等.解决此类问题的方法是先根据题目条件和图形特征计算出一些特殊角的度数，再结合需要解决的问题推导或构造出等腰直角三角形、等边三角形或含30°和60°的直角三角形等特殊的平面图形，最后运用特殊角的三角函数值和特殊平面图形的性质解决问题.
【关键词】 特殊角;三角函数;应用题;解题技巧
例1 如图1，已知△ABC中，∠ABC=135°，tanA=12，BC=22，求△ABC的周长.
解 如图1，过点C作CD⊥AB的延长线于点D，
因为∠ABC=135°，
所以∠CBD=180°-∠ABC
=180°-135°
=45°，
可得△BCD是等腰直角三角形，
因为BC=22，
可得BD=CD=BC×sin45°=22×22=2，
在Rt△ACD中，tanA=CDAD，
可得AD=CDtanA=212=4，
由勾股定理，可得
AC=AD2+CD2=42+22=25，
所以△ABC的周长为25+22+2.
例2 如图2，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，再观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（ ）海里.
（A）253. （B）252.
（C）50.（D）25.
解 由题意可得 ∠DBC=30°，
∠ABD=75°，∠ACE=60°，
所以∠ABC=∠ABD-∠DBC
=75°-30°
=45°，
因为BD∥CE，
可得∠BCE=∠DBC=30°，
所以∠ACB=∠BCE+∠ACE
=30°+60°
=90°，
易证△ABC为等腰直角三角形，
所以AC=BC=50×12=25（海里）.
故答案选（D）.
例3 如图3，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行302km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（ ）km.
（A）30+303. （B）30+103.
（C）10+303.（D）30.
解 由题意可得
∠DAB=65°，∠DAC=20°，
∠CBE=40°，
所以∠BAC=∠DAB-∠DAC
=65°-20°
=45°，
因为AD∥BE，
可得∠ABG=∠DAB=65°，
所以∠ABC=180°-∠ABG-∠CBE
=180°-65°-40°
=75°，
所以∠C=180°-∠ABC-∠BAC
=180°-75°-45°
=60°，
如图3，过点B作BH⊥AC于点H，
易证△ABH为等腰直角三角形，
所以AH=BH=22AB=30km，
在Rt△BCH中，tanC=BHCH，
可得CH=BHtanC=303=103km，
所以AC=AH+CH=（30+103）km.
故答案选（B）.
例4 如图4，某数学兴趣小组为了测量河对岸a的两棵古树A，B之间的距离，他们在河边沿着与AB平行的直线b上取C，D两点，测得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若a，b之间的距离为50m，则古树A，B之间的距离为m.
解 如图4，过点C作CE⊥直线a于点E，
因为∠ACD=45°，
易证△ACE为等腰直角三角形，
所以AE=CE=50m，
因为∠ACB=15°，
所以∠BCE=∠ACE-∠ACB
=45°-15°
=30°，
在Rt△BCE中，有
tan∠BCE=BECE，
可得BE=CE×tan∠BCE=50×33=5033m，
所以AB=AE-BE=50-5033m.
故答案為50-5033.
例5 如图5，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75°;如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距地面的垂直距离NC为b米，梯子的倾斜角为45°，则这间房子的宽AC为（ ）米.
（A）a+b2. （B）a-b2
（C） b.（D） a.
解 由题意可得，
∠ABM=75°，∠CBN=45°，
所以∠MBN=180°-∠ABM-∠CBN
=180°-75°-45°
=60°，
如图5，连接MN，过点M作MF⊥CN的延长线于点F，
根据题意，易证△MBN是等边三角形，
所以MB=MN，∠MNB=60°，
根据题意，易证△BCN是等腰直角三角形，
所以∠BNC=45°，
可得∠MNF=180°-∠MNB-∠BNC
=180°-60°-45°
=75°，
所以∠ABM=∠MNF，
因为∠A=∠MFN=90°，
所以△ABM≌△FNM，
可得MF=MA=a，
所以AC=MF=a.
故答案选（D）.
