核心素养视角下高中数学建模的教学探索
2022-05-30杨晓芳
杨晓芳
【摘 要】 高中数学教学的过程就是培养学生核心素养的过程，就是促进学生全面发展的过程.教师要具体的教学中要以学生为中心，着力提升他们的能力，促进他们的素养，而不能只关注最终的成绩.《普通高中数学课程标准》（2017年版）指出，高中数学学科的核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模等.数学建模就是教师引导学生将实际问题变为用数学语言描述的数学问题的过程.函数应用问题是高中数学学习的重点也是难点，学生往往不能举一反三、触类旁通.教师可引导学生建立数学模型，进而促成此类问题的解决.
【关鍵词】 高中数学;核心素养;数学建模
一般来说，运用数学建模解决函数应用问题通常分为四步，首先为读题，就是要能读出里面的数学问题来，要能读出里面的条件与结论，进而再理清里面的数量关系.其次为建模，就是要将情境中的文字转化为数学语言，进而建立相应的函数模型.第三步为求解，就是求解函数模型，从而得到数学结论，最主要的，学生要能关注函数模型中元素的实际意义.最后一步为回答，就是学生要对建模后获得的数学结论进行还原，从而给出实际问题的结果.整个建模的过程就是学生开启思维、自主创造，进而解决问题的过程 [1] .
1 创设现实情境，读出数量关系
建模的目的是为了解决问题，要培养学生建模的能力，教师首先要创设真实的情境，让他们去读懂情境中蕴含的数学问题 [ 2 ] .当前部分高中学生解题能力不强，其中一个重要的原因就是读题能力差，不能抓住题目中的关键信息，读不出其中蕴含的数量关系.因此教师要依据学生的基本学情，设置他们容易找出数量关系的贴近他们生活的情境.
例如 某学校要在长为8米，宽为6米的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为x米，中间植草坪.为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则x的取值范围是多少？对于这样的文字题，学生最要紧的一步就是依照文字，画出图形，在图形中标出相关的信息.换言之，读题的第一步就是要指导学生进行思维的转换，以简洁的图形表达原题.
学生画出图1，并标出花卉带的宽度x.接着教师引导学生找出这个图中涉及到的两个量，即中间草坪的长与宽，让他们尝试着用自己的语言描述这两个量之间的关系.学生发现这两个量均可以通过x来表示，原题中设花卉带宽度为x米（0
2 分析主要因素，建立函数模型
建模的第二步就是要指导学生选择合适的函数模型来刻画已经确立的具体对象的数量变化关系 [ 3 ] .学生可根据题目提供的数据先画出它的图像，从直观上看看像什么函数.教师可指导学生说一说学过一些什么函数，以让他们回顾一下一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、分段函数等，进而确立最终的建模函数.学生回顾之后，教师可追问眼前的这个图像最像什么函数的图像，能大概写出它的解析式吗.也就是说建模的过程是学生主动找寻函数解决问题的过程，使他们提升数学素养的过程.
例如 某海滨浴场一天的海浪高度y m 是时间t 0≤t≤24 h 的函数，记作y=f t ，图2是某天各时的浪高数据.
题目中给出的是海滨浴场的海浪高度y m 与时间t h 的数量关系，学生首先要弄清楚的就是能不能选用一个三角函数来描述这个关系.他们以时间为横坐标，海浪高度为纵坐标，将图2的数据带进去，于是在平面直角坐标系中就出现如图3所示的散点图.
依据图3，学生认为可以选用函数y=A sin ωt+φ +h A>0，ω>0， φ ≤ π 2 来近似描述这个海滨浴场的海浪高度y m 与时间t h 的函数关系.教师将学生分成不同的小组，让他们展开讨论，他们先是从表中数据和散点图中获得A= 1.5-0.5 2 = 1 2 ，T=12，所以 2 π ω =12，得ω= π 6 .接着他们又从h= 1.5+0.5 2 =1，得出y= 1 2 sin π 6 t+φ +1.对着图，学生发现 π 6 ×0+φ= π 2 +2k π ，k∈ Z .又因为 φ ≤ π 2 ，所以φ= π 2 ，所以y= 1 2 sin π 6 t+ π 2 +1，即y= 1 2 cos π 6 t +1 0≤t≤24 .在这个建模的过程中，教师要遵循针对性原则，就是要对个别的学生强化辅导，要让他们的思维跟上课堂的节奏.
3 关注实际意义，运用函数模型
对高中数学学习而言，教师需要培养学生的运用能力，即，将认知转化为数学素养的能力.一般来说，教师在教学的过程中可以开展以下活动，一是学习理解类活动，就函数而言，就是要能理解不同函数的图像、性质等.二是要开展实际应用与迁移创新类活动，就函数建模而言，就是要能将建立的模型运用起来，以解决实际的问题.
学生依据图3，建构这样的函数模型，y= 1 2 cos π 6 t +1 0≤t≤24 .教师说，当海浪高度不少于1m时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，能不能依据建构的模型判断一天内的8h至20h之间，有多少时间可供沖浪爱好者进行冲浪？通过这样的设问，教师最重要的目的，就是让他们继续思考下去，让他们的深度学习开展下去.在数学建模的过程中，教师要引导学生全面地思考，不但要让他们学会析模与用模.对于运用环节，教师关注的不只是最后的结果，教师要看到他们的思考和交流.
因此教师可开展小组合作的模式，引导学生展示自己思考和探究的过程，鼓励他们之间进行交流和讨论.学生在讨论中将条件一一利用，他们根据海浪高度不少于1m 时，得出y≥1，进而得出 1 2 cos π 6 t +1≥1，换言之， cos π 6 t≥0.接着他们在合作中推出这样的式子2k π - π 2 ≤ π 6 t≤2k π + π 2 k∈ Z ，即12k-3≤t≤12k+3 k∈ Z .学生在合作中分析问题、解决问题，他们在数学建模的过程中，提升运用数模的能力.最后，他们加上这样的条件0≤t≤24，得出0≤t≤3或者9≤t≤15或者21≤t≤24.也就是说一天内的8h至20h之间有6h可供冲浪爱好者进行冲浪.
4 还原数学结论，检验相应模型
建模中还有一个重要的环节，就是要学会将“模”与现实的题目结合起来，进而得出正确的结论，同时要验证“模”的可行性.对于高中学生来说，他们有时候在确立了函数的模之后，却不能依照实际的情况，对可能不存在的结论进行取舍.因此教师要培养学生依照实际情况分析的能力 [ 4 ] ，要提升他们的综合素养.一般来说，学生在建模之后，基本能将新的数值带进去，获得新的结论.但是现实的情况是变化的，学生要学会变通，要能抓住关键的信息进行合理的推断.
例如 伦敦有一个32个乘坐舱的景观摩天轮如图4所示，每相邻两个乘坐舱与旋转中心所成的圆心角均相等，乘坐舱按旋转顺序依次为1～33号，因宗教忌讳，没有13号.乘客在乘坐舱距离地面最近时进入，t min 后他们距离地面的高度为：
f（t）=A sin （ωt+φ）+B（A>0，ω>0，φ∈（0，2 π ）），天轮的旋转半径为60m，最高点距地面135 m ，旋转一周大约30 min .现有甲乘客乘坐11号乘坐舱，当甲乘坐摩天轮15 min 时，乙距离地面的高度为（75+30 2 ）m，则乙所乘坐的舱号为多少.
学生首先要运用给出的函数求出摩天轮的最低点离地面的距离，因最高点距地面为135 m ，依据 f （t） max =A+B=135，摩天轮的旋转半径为60 m ，那么最低点距地面135-2×60=15（ m ）.学生进一步推测出f （t） min =-A+B=15，进而他们求得A=60，B=75;又因为摩天轮旋转一周大约30 min ，他们求得周期T= 2 π ω =30，解得ω= π 15 .他们再进一步地利用函数f t =60 sin （ π 15 t+φ）+75，因为f（0）=60 sin φ+75=15，所以 sin φ=-1，又φ∈（0，2 π ），于是有φ= 3 π 2 .再进一步地他们得出f t =60 sin （ π 15 t+ 3 π 2 ）+75=-60 cos π 15 t+75，t∈[0，30]，令f（t）=75+30 2 ，解得t= 45 4 或t= 75 4 .当学生做到这一步时，他们需要跳出所建立的模，回到原先的题目中去.也就是说要将函数中获得的结论转化为最终情境所需要的答案.学生由每相邻两个乘坐舱与旋转中心所成的圆心角 2 π 32 = π 16 ，得出后一个乘坐舱转到相邻前一个乘坐舱位置用时 π 16 π 15 = 15 16 （ min ）.显然地，当t= 45 4 min 时，乙比甲晚出发15- 45 4 = 15 4 （ min ），甲乙相差 15 4 15 16 =4个乘坐舱.再次，学生需要抓住原情境的信息做出选择.由于没有13号，此时乙在16号乘坐舱;当t= 75 4 min 时，乙比甲早出发 75 4 -15= 15 4 （ min ），甲乙相差 15 4 15 16 =4个乘坐舱，此时乙在7号乘坐舱.最后他们得出乙所乘坐的舱号为7或16.可见教师要引导学生将函数模型的分析内容反映至实际对象，进一步修正模型的适用性，从而提升学生的解题能力.
5 结语
教师在数学教学的过程中，要基于核心素养优化教学环节.数学建模能促进学生核心素养的发展，因为在建模的过程中学生的推理思维和发散思维获得充分的锻炼.这些高阶思维能力在建模的实践过程中逐步形成创新意识，从而提升学生的综合素养.所以在建模的实践活动中，教师要关注学生的内在诉求.帮助他们建立正确的建模习惯.同时教师也要充分准备，精选问题，创设情境为学生带来全新的建模体验，进而促成数学核心素养的生长.
【基金：本论文系《核心素养视角下高中数学建模的教学实践研究》课题研究成果.立项号：2021JY14-L56.】
参考文献：
[1] 陈亮.基于核心素养培养的高中数学建模教学探讨[J]广西教育，2020（46）：140-141
[2]范东晖.核心素养视域下的高中数学建模教学——以“停车距离问题”的教学为例[J]中国数学教育，2021（10）：28-31
[3]饶真平.新课标下的高中数学建模畅想[J]数学大世界（下旬），2019（09）：85
[4]李思聪，张仕橙.注重建模思维引领，培养数学核心素养[J]数学教学通讯，2019（18）：20-21
