切点弦方程的解法探究与推广

宋波 陈文钦

【摘 要】  对2021年一道有关切点弦方程高考题求法的探究，从统一的思想高度思考问题，推出有统一表现形式的一组结论，是数学形式化与数学本质的完美结合，使得有关高考题轻松获解.

【关键词】  高考;方程;探究;应用

1 问题提问

题目   已知抛物线C：x 2=2py （p>0） 的焦点为F，且F与圆M：x 2+（y+4） 2=1上点的距离的最小值为4.

（1）求p;

（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值.

本题是2021年高考数学全国乙卷理科第21题，是一道圆锥曲线压轴题，以抛物线和圆为载体，以抛物线阿基米德三角形为背景，考查解析几何的核心素养用代数方法解决三角形的面积最值问题.此题因涉及的知识点多，综合性强，运算繁杂，难度较大，故思路易有，结果难求.其中第（2）问的解法较多，在各种解法中，如何求出经过A，B两点的切点弦直线方程，是解决问题的突破口和关键.若能正确求出切点弦直线方程，就能顺利表示出AB弦的长和点P到直线AB的距离，从而轻松构建△PAB的面积表达式，将问题转化为复合函数求最值.

2 解法探究

下面对本题中切点弦直线方程的求法进行探究.

解法1 判别式法

由（1）知 p=2，

抛物线C的方程为x 2=4y.

设P（x 0，y 0），切点A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），

设切线PA的方程为y-y 1=k（x-x 1），

联立 y- 1 4 x 2=k（x-x 1），x 2=4y， 消去y得

x 2-4kx+4kx 1-x  2  1=0，

因为 PA与抛物线C相切，

所以 Δ =16k 2-4（4kx 1-x  2  1）

=4（2k-x 1） 2=0，

解得 k= x 1 2 ，

所以切线PA的方程为

y-y 1= x 1 2 （x-x 1），

同理可得切线PB的方程为

y-y 2= x 2 2 （x-x 2），

由点P（x 0，y 0）既在切线PA上，又在切线PB上知

y 0-y 1= x 1 2 （x 0-x 1），

y 0-y 2= x 2 2 （x 0-x 2），

故点A（x 1，y 1），B（x 2，y 2）满足方程

y 0-y= x 2 （x 0-x），

所以切点弦AB的直线方程为

y 0-y= x 2 （x 0-x），

即 x 0x=2y+2y 0.

解法2 导数法

由（1）知 p=2，

抛物线C的方程为x 2=4y，

即 y= 1 4 x 2，则y′= 1 2 x.

设P（x 0，y 0），切点A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），

则 k  PA = 1 2 x 1，

所以切线PA的方程为

y-y 1= x 1 2 （x-x 1），

同理可得切线PB的方程为

y-y 2= x 2 2 （x-x 2），

由点P（x 0，y 0）既在切线PA上，又在切线PB上知

y 0-y 1= x 1 2 （x 0-x 1），

y 0-y 2= x 2 2 （x 0-x 2），

故點A（x 1，y 1），B（x 2，y 2）满足方程

y 0-y= x 2 （x 0-x），

所以切点弦AB的直线方程为

y 0-y= x 2 （x 0-x），

即 x 0x=2y+2y 0.

3 引申推广

由导数求曲线上切点处的切线方程的简捷性，得到启发，在“定”、“变”相对且相互转换的情况下，可推出圆锥曲线 （包括圆） 有关切线的一组“殊途同归”的结论.

结论1   已知圆锥曲线的一般方程为Ax 2+Cy 2+Dx+Ey+F=0，过曲线上一点P（x 0，y 0）作曲线的切线，则切线方程为

Ax 0x+Cy 0y+D· x 0+x 2 +E· y 0+y 2 +F=0.

证明  由Ax 2+Cy 2+Dx+Ey+F=0两边对x求导，得

2Ax+2Cyy′+D+Ey′=0，

即 y′=- 2Ax+D 2Cy+E .

则曲线上点P（x 0，y 0）处的切线方程为

y-y 0=- 2Ax+D 2Cy+E （x-x 0），

即 Ax 0x+Cy 0y+D· x 2 +E· y 2 -Ax  2  0-

Cy  2  0-D· x 0 2 -E· y 0 2 =0.

因为 点P（x 0，y 0）在曲线上，

所以 Ax  2  0+Cy  2  0+Dx 0+Ey 0+F=0，

即 -Ax  2  0-Cy  2  0=Dx 0+Ey 0+F，

代入得曲线上点P（x 0，y 0）处的切线方程为

Ax 0x+Cy 0y+D· x 0+x 2 +E· y 0+y 2 +F=0.

特别地：

（1）圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 （D 2+E 2-4F>0）（或（x-a） 2+（y-b） 2=r 2） 上任意一点 P（x 0，y 0） ，则以P（x 0，y 0）为切点的切线方程为

x 0x+y 0y+D· x 0+x 2 +E· y 0+y 2 +F=0

（或（x 0-a）（x-a）+（y 0-b）（y-b）=r 2） .

（2）椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1上任意一点P（x 0，y 0），则以P（x 0，y 0）为切点的切线方程为 x 0x a 2 + y 0y b 2 =1.

（3）双曲线 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1上任意一点P（x 0，y 0），则以P（x 0，y 0）为切点的切线方程为

x 0x a 2 - y 0y b 2 =1.

（4）抛物线y 2=2px上任意一点P（x 0，y 0），则以P（x 0，y 0）为切点的切线方程为y 0y=px+px 0.

说明  对于焦点在y轴上的圆锥曲线的标准方程也有类似的结论.

在“定”、“变”相对且相互转换的情况下，若适当改变结论1中的条件，则会得到与结论一形式完全相同的结论，于是就有了结论2.

结论2   已知圆锥曲线的一般方程为Ax 2+Cy 2+Dx+Ey+F=0，過曲线外一点P（x 0，y 0）作曲线的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则切点弦AB所在的直线方程为Ax 0x+Cy 0y+D· x 0+x 2 +E· y 0+y 2 +F=0.

证明  设切点A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），

由结论1可得，以点A、B为切点的切线方程分别是

Ax 1x+Cy 1y+D· x 1+x 2 +E· y 1+y 2 +F=0，

Ax 2x+Cy 2y+D· x 2+x 2 +E· y 2+y 2 +F=0.

又 P（x 0，y 0）是两条切线的交点，

故 Ax 1x 0+Cy 1y 0+D· x 1+x 0 2 +E· y 1+y 0 2 +F=0，

Ax 2x 0+Cy 2y 0+D· x 2+x 0 2 +E· y 2+y 0 2 +F=0.

这说明切点A（x 1，y 1），B（x 2，y 2）都满足关于x，y的二元一次方程

Ax 0x+Cy 0y+D· x 0+x 2 +E· y 0+y 2 +F=0.

因为过两点的直线方程是唯一的，故命题得证.

推论  过圆锥曲线的准线上任一点作圆锥曲线的两条切线，则切点弦所在的直线必过其准线相应的焦点.

在“定”、“变”相对且相互转换的情况下，若对结论2中的切点弦方程作更深入的探究，则会发现此方程其实质是圆锥曲线外一点P（x 0，y 0）和切点弦所在直线上一点（x，y）这四个变量之间的内在联系.若将P（x 0，y 0）视为定点 （已知） ，将（x，y）看作动点 （变量） ，则方程是圆锥曲线关于点P（x 0，y 0）的切点弦所在的直线方程.反之，若将（x，y）视为定点 （已知） ，将P（x 0，y 0）看作动点 （变量） ，则方程就是经过点（x，y）的各弦两端点处的两条切线的交点P（x 0，y 0）的轨迹方程.于是就得到了结论3.

结论3   已知圆锥曲线的一般方程为Ax 2+Cy 2+Dx+Ey+F=0，过平面上一点 P（x 0，y 0）  （除有心圆锥曲线的中心外） 作直线交圆锥曲线于A，B两点，则圆锥曲线在A，B处的两条切线的交点的轨迹方程为Ax 0x+Cy 0y+D· x 0+x 2 +E· y 0+y 2 +F=0 （当点P（x 0，y 0）在圆锥曲线内部时，交点的轨迹方程所表示的直线与圆锥曲线相离;当点P（x 0，y 0）在圆锥曲线外部时，交点的轨迹方程所表示的直线在圆锥曲线外的部分） .

证明  设交点M（x′，y′）为所求，

由结论2可得，圆锥曲线关于点M（x′，y′）的切点弦所在的直线方程为

Ax′x+Cy′y+D· x′+x 2 +E· y′+y 2 +F=0.

因为 点P（x 0，y 0）在此直线上，

所以 Ax′x 0+Cy′y 0+D· x′+x 0 2 +E· y′+y 0 2 +F=0.

这说明动点M（x′，y′）满足关于x，y的二元一次方程

Ax 0x+Cy 0y+D· x 0+x 2 +E· y 0+y 2 +F=0.

故命題得证.

推论  过圆锥曲线焦点的直线与圆锥曲线的交点处的两条切线的交点轨迹是与其焦点相应的准线.

注  以上结论的证明从统一的思想高度来思考问题，通过对曲线方程求导得切线斜率，求出曲线的切线方程，在“定”、“变”相对且相互转换的情况下，推出有统一表现形式的一组结论，是数学形式化与数学本质的完美结合，证法简洁、大气，体现了数学的形式美、简洁美与和谐统一之美.

4 应用

例1    过点（3，1）作圆（x-1） 2+y 2=1的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为（ ）

（ A ）2x+y-3=0.  （ B ）2x-y-3=0.

（ C ）4x-y-3=0. （ D ）4x+y-3=0.  （2013年山东卷）

解  由结论2知，圆（x-1） 2+y 2=1关于点（3，1）的切点弦AB的直线方程为

（3-1）（x-1）+1·y=1，

即 2x+y-3=0，故选（ A ）.

例2   过原点O作圆C：x 2+y 2-6x-8y+20=0的两条切线，设切点分别为点P、Q，则线段PQ的长为 .  （2009年湖北卷）

解  由结论2可得，圆C关于原点O的切点弦PQ所在的直线方程为3x+4y-20=0.

易知圓C的半径r= 5 ，圆心C（3，4），

则点C到直线PQ的距离为

d= |3 2+4 2-20|  3 2+4 2  =1，

所以 |PQ|=2 r 2-d 2 =4.

例3   已知直线l：y=x+m，m∈ R .

（1）若以点M（2，0）为圆心的圆与直线l相切于在y轴上的点P，求该圆的方程;

（2）若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x 2=4y是否相切？  （2011年福建卷）

解  （1）设圆的方程为（x-2） 2+y 2=r 2，

由结论1知，过点P（0，m）的切线方程为

（0-2）（x-2）+my=r 2，

即 -2x+my+4-r 2=0，

该直线与直线l：x-y+m=0是同一条直线，

故  -2 1 = m -1 = 4-r 2 m ，

解得 m=2，r=2 2 ，

所以圆的方程为（x-2） 2+y 2=8.

（2）设直线l′与抛物线C：x 2=4y相切于点

x 0， x  2  0 4  ，

则由结论1知，直线l′的方程为x 0x=2y+ x  2  0 2 ，

即 x 0x-2y- x  2  0 2 =0，

又直线l′的方程为y=-x-m，

即 x+y+m=0，

故  x 0 1 = -2 1 = - x  2  0 2  m ，

解得 x 0=-2.

所以当m=1时，直线l′与抛物线C相切;当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切.

例4   抛物线C 1：y= 1 2p x 2 （p>0） 的焦点与双曲线C 2： x 2 3 -y 2=1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M处的切线平行于C 2的一条渐近线，求p=（ ）

（ A ）  3  16 . （ B ）  3  8 . （ C ） 2 3  3 . （ D ） 4 3  3 .  （2013年山东卷）

解  依题意知

C 1的焦点为 0， p 2  ，C 2的右焦点为（2，0），

则这两点连线的方程为 x 2 + 2y p =1，

设该直线交C 1于第一象限的点为M（x 0，y 0），

由 x 2 + 2y p =1和y= 1 2p x 2联立解得

x 0= p p 2+16 -p 2 4 ，

由结论1得C 1在点M处的切线方程为

x 0x=py+py 0，其斜率为 x 0 p ，

又C 2的一条渐近线的斜率为  3  3 ，

由切线平行于渐近线得 x 0 p =  3  3 ，

即   p 2+16 -p 4 =  3  3 ，

解得 p= 4 3  3 ，故选（ D ）.

例5   已知A（-2，3）在抛物线C：y 2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直線BF的斜率为（ ）

（ A ） 1 2 . （ B ） 2 3 . （ C ） 3 4 . （ D ） 4 3 .  （2014年辽宁卷）

解  由A（-2，3）在抛物线C：y 2=2px的准线上，

易得  p 2 =2，p=4，

所以 C：y 2=8x，

由结论2的推论可知

过A作C的两条切线，切点弦直线过C的焦点F，

所以 切点弦直线为BF，

由结论2得抛物线C关于点A的切点弦直线BF的方程为3y=4x-8，

则直线BF的斜率为 4 3 .故选（ D ）.

例6   已知曲线C：y= x 2 2 ，D为直线y=- 1 2 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.

（1）证明：直线AB过定点;

（2）若以E 0， 5 2  为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.  （2019年全国卷Ⅲ）

解  （1）  证法1   设D t，- 1 2  ，

由结论2得，切点弦直线AB的方程为tx=y- 1 2 ，

即 y=tx+ 1 2 ，

所以直线AB过定点 0， 1 2  .

证法2   因为点D在抛物线C的准线y=- 1 2 上，

由结论2的推论知，切点弦直线AB过抛物线C的焦点 0， 1 2  .

（2）设切点的坐标为M（x 0，y 0），

由结论1得，圆x 2+ y- 5 2   2=r 2的切线AB的方程为

x 0x+ y 0- 5 2   y- 5 2  =r 2，

即 y= 2x 0 5-2y 0 x+ 25-10y 0-4r 2 10-4y 0 .

因为圆的切线AB与曲线C的切点弦直线AB：y=tx+ 1 2 是同一条直线，

所以  2x 0 5-2y 0 =t，  ①

25-10y 0-4r 2 10-4y 0 = 1 2 .  ②

设A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），

由 y=tx+ 1 2 ，y= x 2 2 ， 得x 2-2tx-1=0，

则 x 1+x 2=2t，

y 1+y 2=t（x 1+x 2）+1=2t 2+1，

则 M t，t 2+ 1 2  ，

所以 x 0=t，y 0=t 2+ 1 2 ，  ③

①②③联立，

当t=0时，得y 0= 1 2 ，r 2=4，

故所求圆的方程为x 2+ y- 5 2   2=4;

当t≠0时，得y 0= 3 2 ，r 2=2，

故所求圆的方程为x 2+ y- 5 2   2=2.

以上在“定”与“变”是相对且可以相互转换的解析几何观点指导下，从求圆锥曲线的切线出发，推出了一组“殊途同归”的“新”结论，对于有关高考的一些较难问题，得到了一些简易的解题方法，从中体会了导数求切线斜率的优势和解析几何的“设而不求”、利用方程 （组） 思想解决问题的本质和精髓.事实上，上述结论的推导和相关高考试题的简便解答，都引入和应用了极点、极线和阿基米德三角形的有关性质，所以在平时的数学教学中应注重数学文化因素的融入，不仅能够激发学习数学的兴趣，还能从中丰富解题方法，进而提高解题的效率和精度，达到事半功倍的效果.