发展儿童数感：从关注估算出发

汤燕波

【摘 要】估算与人们的日常生活息息相关，估算学习也非常重要。良好的估算能力，有利于提高学生的计算能力，促进思维的发展，建立良好的数感。估算能力与数感相互影响、相互促进。本文以关注估算教学为切入点，探讨估算教学中的常见问题，并尝试提出培养学生估算能力的针对性策略。

【关键词】估算能力 估算策略 精算 数感

生活中处处有数学，生活中处处能用到估算，如购物、旅行、房屋装修等。在数学学习中，我们也常常利用估算来检验计算结果的正确性等。但在实际运用中，又有多少学生能自觉地应用估算来解决问题呢？学生学习估算的意义在哪里呢？考虑到估算教学本身的特殊性、估算方法的多样性和估算结果的不确定性，估算教学成为教师困惑的教学内容之一。本文以苏教版数学教材为例，通过收集估算教学中的常见问题，了解估算教学的困难所在，尝试从多个角度分析并给出相应的对策。

一、估算的意义与价值

何谓“估算”，小学数学教材中没有明确的定义，通过查找相关资料，笔者认为估算是指对一些无法或没有必要进行精确测量和计算的数量所进行的近似或粗略估计的一种方法，估算能力是计算能力的重要组成部分。

早在1992 年，估算内容首次被引入教材，课程标准的实验稿和 2011年版的数学课程标准都提出了明确的要求。2011年版的数学课程标准中是这样描述的：“在具体情境中，能选择适当的单位、合适的方法进行简单估算，理解估算的意义。”可见，估算教学越来越被重视。估算意识的培养、估算技能的掌握、估算能力的提高，已成重要的教学目标。

估算能力的培养，有利于提高学生的计算能力，促进思维的发展，建立良好的数感，良好的数感反过来也能增强学生的估算能力。学习估算，是为了更好地应用估算解决实际生活问题，实践证明，估算还能培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

二、估算教学中常见的问题及成因

教师常常认为估算没什么可教的，正是因为方法的多样性和估算结果的不确定性，使得估算不容易教，加上相關作业、练习中估算内容较少，往往精算也能解决问题，所以师生长期不重视估算的教学。而走过场式的估算教学，导致学生估算能力比较薄弱。笔者认为，学生估算能力薄弱的原因，总结起来有以下几方面：

（一）从知识的角度：估算概念模糊不清

翻阅苏教版数学教材，教材中常常会出现“先估计”“先估一估”“口答”等词，而且有时是用红笔特别标注，估算的要求非常明确。实际教学中，教师也会有意识地去教学估算，但不是所有像上面的情境都需要估算。学生往往只要一看见题目中有“估计”“大约”“大概”“可能”等字样，就认定这道题是估算，至于需不需要估算、为什么要选择估算，根本就没有考虑，这使估算学习显得很机械。

例如：苏教版数学三年级上册第42页第4题。

有学生认为这一题是需要估算的，问题中有“大约”，但是仔细读题之后会发现，这儿的“大约”仅仅是这个情境在现实生活中实际需要的表达，因为实际做铝合金条是有损耗的，这个“大约”也可以换成“至少”，并不是要求估算值。所以，这里用精确计算80×4得到的320，看着是一个精确数，其实它仍然是一个近似数，这取决于实际的情境。

（二）从方法的角度：找不准估算的方法

就估算而言，估算方法可以有很多种，选择哪种估算方法，则需要有选择性地灵活运用，加上估算结果的不确定性，所以估算对于学生的综合要求比较高。尤其让学生感到困难的是：面对不同的情境，要判断不同估法的准确性，找到合理的估法。

例如：苏教版数学二年级下册第77页例7“三位数减法的笔算”。

教师引导学生先进行估算。

生1：把204看作200，把108看作100，200-100=100，所以大约是100。

生2：把108看作100，204不变，204-100=104，所以差比104要小。

生3：把108看作104，204不变，204-104=100，所以差比100小。

生4：我是这样想的：100+108=208，现在才是204，所以差一定比100小。

生5：我觉得差一定在90～100之间，108+90=198，还不到204，差一定比90大，再加上204-104=100，204-108的差比一定比100小。

生6：204-104=100，现在减数是108，减数要多减4，那么差就少4，所以我能口算出答案，用100-4=96。

……

从上面可以看出，学生估算的方法是很丰富的，有用减法想的，也有用加法想的，学生畅所欲言，教师也很尊重学生的想法。但是如果深入思考，这些估法是否都可以呢？如果加上一个具体的情境，问题为：一年级有100个儿童画展位，够挂吗？加上这个情境后，那么学生1和2的这种估法显然就不合适了。

（三）从习惯的角度：先算后估急于求成

估算和精算相比，精算是直接计算，直接思维;而估算往往要先绕过精算，先估后算，是一种间接思维。所以，学生常常不喜欢估算。确实，有些题目用精算能直接解决问题，用估算还要根据情境思考合适的估算方法，有时还会出错。学生会认为既然这样，为什么还要估算。所以，学生是越不用就越想不到用，精确计算已经形成思维定式。

例如：苏教版数学二年级下册，“两位数的加减法”练习中设计了下面两组题目。

先说说得数是几十多，再口算。

54+14=               38+54=               69+25=

49+37=               26+29=               32+45=

先说说得数是几十多，再口算。

67-35=               94-38=               31+26=

72-53=               84-16=               80-45=

学生大多是这样汇报的：

54+14，个位上4+4=8，再看十位5+1=6，所以是60多。

26+29，个位上6+9=15，再看十位2+2=4，个位有进位，所以是50多。

67-35，个位上7-5=2，再看十位6-3=3，所以是30多。

93-57，个位上3，减7不够减，变成13-7=6，再看十位8-5=3，所以是30多。

上述的两组题是纯估算练习的情境，可以看出大部分学生在汇报估算方法时，由于习惯精算的思维定式，说着说着就先算出精确值了，而且和竖式计算的方法一样，都是先从个位算起。其实教材分组呈现，意在让学生发现估算的方法，教师可以引导学生先估十位，再看个位，只要看个位是否需要进位或者退位即可，这种估算方法更简单、快捷。

三、提高学生估算能力的方法与策略

（一）创设问题情境，感受估算价值

估算教学的目标是培养学生的估算意识，使学生能灵活地运用估算方法解决实际问题。情境的设计、问题的呈现是学生体会估算意义和价值的关键。在实际教学中，教师要善于捕捉生活中的“数学现象”，或者有意义的教材资源，将其作为素材，设计出鲜活的、有挑战性的问题情境，进而让学生深切地体会估算的作用和意义。

例如：苏教版数学三年级下册第2页例2。

这一题就是一个很好的生活中的估算素材，笔者在上课时只呈现了以下情境：“王大伯把去年收获的蒜头装在同样大的袋子里，一共装了60袋。”激发学生思考：“你能想办法估算王大伯去年大约一共收获蒜头多少千克吗？”课堂上学生进行了热烈的讨论。

生1：这里有60袋大蒜，要是一袋一袋称有点麻烦，我觉得可以先称出一袋的质量，再乘60。

生2：我认为生1的方法挺好，也就是我们可以估计大概有多重。

生3：我同意你们说的，但是我不大同意生1的想法，虽然这个袋子是同样大的，但是每袋的质量可能会有不同，如果巧了，你拿的那袋正好是最少的，那乘60，60袋误差就大了，如果王大伯拿去卖的话，那岂不是太亏了。

生4：我觉得生3说得有道理，但是题目中说袋子是同样大的，所以我觉得每袋的质量不会相差很多。

生5：我认为我们可以不只拿一袋来称，可以多称几袋，看看情况。

生6：我想问，假如说我们现在拿出5袋来称，那也有可能这5袋是最少的，或者是最多的，那怎么办？

生7：我觉得这种可能性有，但也不一定，你不是随便拿的吗？但是这个方法比生1说的方法误差要小。

……

当学生把所学知识与生活情境联系起来，就能更好地掌握知识、内化知识。像上面的设计就很有价值，学生讨论时自然而然就想到了估算，通过对估算方法的讨论，体会到估算可以有效地解决实际生活中的难题，方便人们的生活。这里，学生真正感受到了估算的价值，是发自内心的一种感悟，从而增强了学生的估算意识。

再如：苏教版数学四年级下册第30页第2题。

师：你能快速判断上面的计算是否正确吗？比一比，谁判断得快？

生1：121≈120，13≈10，120×10≈1200，第1题肯定不对。

生2：121≈100，13≈10，100×10≈1000，121×13肯定比1000大，所以第1題不对。

生3：我们可以看最高位，121的百位是1，表示1个百，13的最高位是1，表示1个十，1个百乘1个十，怎么可能结果只有400多呢？

生4：我观察了一下，这3道竖式都是三位数乘两位数，三位数乘两位数，至少是四位数，所以484 肯定不对。

上面的例子呈现的是纯估算计算练习情境的教学，可以发现学生是在“被逼”的情况下想到用估算，而且方法多样。实际教学中，如果学生在每次计算之后都能自觉利用估算，反过来再检验计算结果的合理性，并养成习惯，那么计算的准确性将大大提高。

所以，教师要研究估算，努力把估算渗透到计算的每一个环节中，如小数乘法计算、复杂除法（除数是两、三位数或小数）计算中的试商等，让学生能自觉地运用估算的检验功能，真正感受到估算能为笔算服务。教师还要创造性地使用教材、活化教材，即使有些题中没有估算要求，也可以创设情境，适时地“逼”学生应用估算，让学生感受到估算的实用性和便捷性。久而久之，学生的估算意识就会不断加强。

（二）尊重算法多样，培养估算策略

估算教学时，我们往往更重视“如何估算”的方法指导，估算的方法很多，但并不是任何估算方法都是合理的，估算策略很重要。估算策略主要是指根据不同的问题情境，运用合适的估算方法去解决问题的策略，具有较强的针对性和灵活性。学生掌握基本的估算方法并不难，但是灵活运用估算策略却不容易。

例如：苏教版数学三年级下册第15页第3题。

师：49×62，你是怎么估计的，谁来说一说？

生1： 49×62，把49 估算成 50，把 62 估算成 60，50×60=3000，所以 49×62 的积大约是 3000。

生2： 把49和62两个数都看小，分别看成40和60，40×60=2400，把49和62两个数都看大，分别看成50和70，50×70=3500，所以49×62一定比2400大，比3500小，在2400和3500之间。

生3： 我是这么估的，把 49 看成 50，62不变，50×62=3100，所以 49 ×62的积大约是 3100。

生4：可以把62看成 60，49不变，49×60=2940，所以 49 ×62的积大约是2940。

……

师：你们觉得哪种估算方法更好呢？

生5：我觉得生1的方法好，找最接近的整十数，这种方法最简单。

生6：我想补充一下生3的估法，他是把49看成50，估大了，所以49×62的积应该比 3100小。

生7：那么用生4的估法，49×62的积一定比2940大了。

生8：老师，如果把题目改一下，改成比较大小：49 ×62○3100，我觉得用生6的方法好，其他方法好像都不行。

生9：如果是买东西的问题，问带2400元够不够，那我觉得用生2的方法就可以了，不用再细估了。如果换成2800元，那就得用生7的估法了。

生10：所以，我觉得前面大家说的估算方法都对、都可以，但是要具体题目具体分析。

……

上述一道简单的乘法估算题，开启了学生估算学习的大门，经历探索估算方法这个过程，学生会对估算有更加深刻的认识，生成的是方法、是策略，更是能力。可见估算能力是一种综合性很强的能力，在不同的具体情境下，运用的估算策略也是不相同的。 因此，在估算教学中，我们不能仅仅局限在教会学生估算方法，还要进一步引导学生根据实际情境，思考估值与准确值之间的关系，是多估了，还是少估了，怎样估才与准确值最为接近。学生通过对估算值与准确值的比较，逐步明确估算的策略，建立更为清晰的数感。教师在估算教学时还要重视让学生畅所欲言，交流、解释彼此的估算过程，在思维的碰撞中获得“估算智慧”。

（三）突破思维定式，估算精算结合

从本质上看，精算和估算是不同的，精算是对于数的运算，估算是对于数量的运算。精算有利于培养学生的抽象能力，而估算有利于培养学生的直观能力，这两种能力都是日常生活和生产实践中必不可少的能力，也是数学素养的根本。估算不仅仅是近似计算，更不是精算以后的四舍五入，估算也是需要算的，常常和精算结合在一起。

例如：苏教版数学四年级上册教学“除数是两位数的除法”。

这里的试商是尝试把除数看成接近它的整十数，通常口算就能直接找到商，但是试商也会出现下面两种情况：一种是乘积大于被除数，一种是余数大于或等于除数，所以需要结合乘法精算的结果继续调整商。

例如，苏教版数学三年级下册“两位数乘两位数”练习中有这样一题：

王老师带48名学生去公园划船，每张船票11元，带 500 元钱，够买门票吗？

有学生是下面这样估的：

生1：48+1=49，49≈50，11≈10，50×10=500，够买。

生2：48+1=49，49≈50，50×11=550，不够买。

生3：48+1=49，11≈10，49×10=490，够买。

但是實际的情况是48×11=528，528>500，应该是不够买。

从这一题可以看出，学生会把估算方法简单地理解为四舍五入法，但是深入地思考后，上面的三种估算方法都不合理，因为三种方法都不能确定是比500大还是比500小，只能说大约是500。所以，教学估算时，教师一定要让学生明确每种估法，是估多了，还是估少了，与参考值相比怎么样。如上面生3的估法，估的是49×10=490，实际算的是49×11，实际值比估值多49，从而确定实际值比参考值500元多，500元不够，这个估法就更为深入了。由此看出，有时候运用估算不一定简单，需要不断地对比、调整。有学生会觉得这道题还不如直接计算，精算更方便，估算反而更麻烦。这一题是可以精算，但是如果把题目中的500元改成550元，生2的估法就可以直接解决问题了。所以，估算教学并不是单一的教学，它常常和精算相结合。精算和估算也是相辅相成的，估算可以用来检验精算的结果是否正确，精算也可以检验估算方法是否合理。

综上所述，估算能力并不是单一的计算技能，它要求学生具有良好的数感和灵活运用所学知识解决问题的能力。估算能力与数感是相互影响、相互促进的。估算能力的养成是一个长期积累的过程。作为一名数学教师，要善于不断地研究、拓展教材，把对估算能力的培养不失时机地渗透到各个教学内容之中，使学生增强估算意识，掌握估算技能，提高估算能力，充分发挥出估算在数学学习中的作用，从而不断提高学生数学的综合素养。