借力于数学问题链，驱动学生深度学习

于勇

[摘要] 小学数学“深度学习”是教师引领学生围绕挑战性学习任务，开展深度思考、深度探究，获得素养提升的有意义学习活动。学起于思，思源于疑，教师要在深入研读教材、厘清数学本质的基础上，结合儿童的年龄特征、认知特点，设计出具有启发性、思考性、逻辑性的数学问题链，巧妙构建问题场，以引发学生主动思考，强化学生的数学理解，为深度学习的开展与实施提供必要的技术路径及探究支架。

[关键词] 活动设计;问题链;深度学习;核心素养

20世纪颇具影响力的哲学家、思想家卡尔·波普尔在《猜测与反驳》中指出“科学与知识的增长永远始于问题”，小学数学教学亦不例外。深度学习“深”在一个个有关联、有序列的教学活动中，而数学教学活动的设计在某种意义上说就是问题的设计。当下数学教学中的问题设计整体质量偏低，缺乏整体构建，支架作用不明显，启发性、生长性较弱，无法指向思维与学力提升，难以引领学生实现真正意义上的深度学习。数学“问题链”是教师基于课标、学科特点及学生现状在深入研究教材、背景知识的基础上，围绕教学目标建构而成的问题序列与基本结构，它不仅关注知识的形成过程和内在逻辑，更关注学生学习认知发展水平、基本特点及自主发展需求。借助问题链组织教学，不仅能为教师教学提供清晰的发展脉络，更可为学生学习搭建适当的认知框架，引发学生的深度思考，进而在同化与顺应的基础上实现深度学习。

一、以情境型问题链导入，诱发深度学习

创设情境并将问题隐于其中是数学课导入与开启的基本样态，但部分教师在课始环节仍停留在记忆、理解等低思维层次上，缺少真实性、思考性情境型问题链的创设。情境型问题链意蕴的问题要指向认知本源，利于唤醒学生原有经历与前概念，同时还应呈现部分新的数学要素，在学生求知心理与教学新知间制造一种认知冲突。并且，情境型问题链应具有较高的思考价值，减少通过陈述性知识、浅层思考就能解决的问题，引导学生借助比较、迁移、推理等高阶思维活动，在原有知识结构的基础上进行生长新知、重塑结构的深度学习。比如，苏教版小学数学教材五年级上册“小数加法和减法”教学导入案例。

问题1：（课件出示课题）“小数加法和减法”是我们今天学习的重点内容。看到这一课题，大家想到了以前學过的什么加、减法？

问题2：请举例说明一下，我们怎样用竖式的方法计算整数加减法？

问题3：请大家仔细观察这幅图画（教材例1图略），你从中发现了哪些数学信息？

问题4：根据这些信息，你能提出哪些用加法或减法解决的数学问题？

问题5：我们先来解决这两个问题，怎样列式呢？（4.75+3.4=

4.75-3.4= ）

问题6：下面请大家尝试用竖式的方法计算4.75±3.4（教师收集做法，图略），你是怎么想的？

追问1：大家对这位同学的想法，又有哪些不同的看法？

[思路]没有把相同数位对齐，不是相同计数单位上的数不能直接相加;四点几加上三点几得数最起码是七点几，而现在只有五点几，因此这些做法显然是错误的。

追问2：由此，大家又能想到哪些问题呢？

预设学生问题1：为什么整数末尾对齐的竖式计算方法对小数加减法行不通呢？

预设学生问题2：用竖式怎样计算小数加减法呢？

预设学生问题3：计算小数加减法到底要注意什么问题呢？

师：今天这节课，我们就围绕同学们提出的这些问题一起研究小数的加减法。

奥苏伯尔的“同化论”指出，学习者必须具有同化、顺应新知的学习心向，积极主动地将新知学习与个人原认知结构中的某些知识勾连。上述教学片段就是借助情境型问题链与问题结构（如下图），在唤醒“整数加减法竖式计算方法”这一前概念的基础上，鼓励学生自主实施经验迁移与新知同化;在教师的追问下，能够发现整数加减法“末尾对齐”的竖式计算方法无法解决小数加减法的问题，需要调整问题解决方法与策略。在学生问题的牵引下，以改变原有知识结构并予以重构为核心的深度学习就此开始。

二、以关键性问题链导探，聚焦数学本质

一次完整的数学学习，实际上就是从学生的认知起点出发，为达成课堂学习目标而不断进阶的认知过程，而这一过程又由课堂教学中的核心概念或核心知识统领着。从教学实施来看，教学活动要以达成教学目标为指向，通过关键性问题引领学生逐步实现对核心概念或核心知识的深度理解与全面把握;从教学设计来看，教师要将相关数学知识置于开放的文化背景中，基于大概念与单元整合的视角予以综合考量和分析，提炼出一节课的核心概念，由此设计出教学中的关键性问题链，组织学生开展像数学家那样的学习与探究。

比如，“小数的意义”新知教学片段。小数同整数、分数一样，共属于“数的认识”领域，如果把“小数的意义”放在这一领域中，在知识整体性与统一性上进行综合审视，就会发现它们都体现了“做度量”这一数学本质，“计数单位”是其中的核心概念。在这个层面上看，“数”都可以看作计数单位的累加，“认数”就是在用计数单位去对一个数进行度量。由此分析，“小数的意义”教学可设置如下关键性问题链。

问题1：如果用整数“1”来表示下面的正方形（图略），你能通过画一画的方式表示小数0.1吗？

[思路]首先让学生独立思考，画图表示0.1;然后关联分数1/10，进而揭示0.1的意义;最后用0.1去度量一位小数，有几个0.1就是零点几，也就是十分之几。

问题2：（课件出示下图）刚才这个正方形，你能用一个小数表示下图中的阴影部分吗？

[思路]一是借助问题情境激发学生进一步细分的认知需求，把探究引向“如何细分”，把每个0.1平均分成10分，也就是把正方形平均分成100分，再引导学生在数一数的基础上，联系一位小数的意义类比推理出图中阴影部分用0.33表示，也就是33/100;二是教师通过追问的方式使学生明确：0.33可以看作3个0.1与3个0.01，也可以看作33个0.01，进而揭示出两位小数的计数单位是0.01;三是用0.01去度量，得到另外的一些两位小数，同时明确“两位小数用来表示百分之几”这一意义。

问题3：一位小數表示十分之几，两位小数表示百分之几，那么三位小数表示什么？四位小数呢？

[思路]借助合情推理与继续细分的方法，引领学生探究得知三位小数、四位小数的计数单位及相应的意义。

问题4：现在我们梳理一下刚才学习的基本过程，同时思考：一位小数的计数单位0.1、两位小数的计数单位0.01、三位小数的计数单位0.001……他们之间有怎样的关系？

[思路]引导学生通过观察逐步细分正方形模型的过程，逐步梳理得出：把1缩小到原来的1/10，就是0.1;缩小到原来的1/100，就是0.01;同时发现小数相邻计数单位之间的进率是10。

问题5：刚才，我们从1开始向右出发，把1不断细分，分别建立了0.1、0.01、0.001等计数单位。如果是从1开始向左出发，把它分别扩大为原来的10倍、100倍……，你又有怎样的发现？

[思路]把小数的计数单位与整数的计数单位关联起来，在对比分析中引领学生体会计数单位之间十进与十分的关系，再度理解小数计数单位实际就是对1细分得到0.1，对0.1细分得到0.01，对0.01细分得到0.001……，其他小数都是由小数计数单位累加而成的。

上述关键性问题共同指向“小数的计数单位”这一核心概念，与辅助性问题、拓展性问题一起支撑着教学不断向数学本质聚焦。学生在关联十进分数、用计数单位度量其他小数的过程中，思维由表及里、由浅入深，认知由“关联”到“联通”，由此他们真正理解了小数的意义与本质。

三、以变式型问题链开掘，触发深度思考

变式是指通过变换同类事物的非本质特征的表现形式，变更观察事物的角度和方法，从而突出事物的本质特征，突出那些隐蔽的本质要素，让学生在变式中思索，从而掌握事物的本质和规律。变式在日常教学，特别是在巩固练习环节中的运用较为广泛。拓展运用练习中的变式型问题链主要是从不同的观察视角切入，不断开掘习题的多元价值，做到一题多用、以一当十，让学生在练习、理解的过程中逐步向纵深思考，以此实现学生的深度学习。比如，“长方体、正方体的容积和体积”拓展练习案例。

课件出示练习题：有一块边长为12厘米的正方形硬纸板，在它的四角分别剪下一个边长为1厘米的小正方形，把剩余部分的硬纸板折成一个长方体硬纸盒。

问题1：请同学们想一想折成的硬纸盒的样子，然后算一算它的容积是多少立方厘米。

[思路]基础性练习，由学生独立解答：（12-2）×（12-2）×1=100（立方厘米）。

问题2：如果在这块硬纸板的四周分别剪下一个边长为2厘米的小正方形，折成的硬纸盒的容积与刚才的硬纸盒相比，请大家猜测一下哪个容积更大，然后再来验证一下。

[思路]变式数学信息，学生验证猜测：（12-4）×（12-4）×2=128（立方厘米）。

问题3 ：通过刚才的比较，你有什么发现或疑惑吗？

[思路]引发学生深度思考，学生提出疑惑：剪掉的硬纸板增加了，折成的硬纸盒容积反而增加了，这是为什么呢？

问题4：是不是在硬纸板四角剪掉的正方形越大，折成的硬纸盒容积就会越大呢？

[思路]教师引导学生在小组内通过表格列举、比较结果等方法予以自主探究。

问题5：（组织学生交流下表）观察这张表格，你又有怎样的发现？

四角剪掉正方形的边长（cm） 折成硬纸盒的长、宽、高（cm） 折成硬纸盒的容积（cm3）

长×宽 高

1 （12-2×1）（12-2×1） 1 100

2 （12-2×2）（12-2×2） 2 128

3 （12-2×3）（12-2×3） 3 108

4 （12-2×4）（12-2×4） 4 64

5 （12-2×5）（12-2×5） 5 20

[思路]学生发现随着剪掉正方形边长的增加，折成的硬纸盒容积先变大，后变小;当四周剪掉的小正方形的边长为硬纸板边长的1/6时，容积是最大的。

问题6：如果把硬纸板的边长改成24厘米，如上所述在四角分别剪去同样的小正方形，折成的硬纸盒的容积是不是也有这样的规律呢？

[思路]此时学生主动性异常高涨，各小组继续合作交流，发现存在同样的规律。

问题7：现在我们变换一个角度，如果让大家在硬纸板四角分别剪下同样的正方形，怎样剪折成的硬纸盒侧面积最大？

[思路]学生借助现成资源和获得的经验，继续向深处思考，发现当四周剪掉的小正方形的边长为硬纸板边长的1/4时，侧面积是最大的。

问题是思维的触发器，变式型问题链是教师启发学生自主探究、独立思考的脚手架与问题场，能够触发学生的多向联想，其中的挑战性问题更容易激发学生深度探究的内驱力。因此，教师在设置变式型问题链中的关键问题时要凸显挑战性，通过挑战性学习任务给学生创设更大思维空间，牵引学生带着强烈的渴望去突破认知冲突与思维障碍。上述案例变式型问题链中的问题1、问

题2、问题3属于基础性问题，主要用来巩固新知、激活思维、制造冲突，问题4、问题5、问题6三个问题则是引领学生将思维锚定在“剪掉的正方形边长与硬纸板边长存在怎样的关系，折成的硬纸盒容积才会最大”这一关键问题上，驱动学生在观察比较、探索规律、合作验证的过程中获取知识本质及数学模型。问题7则属于关联性变式，教师趁着学生饱满的思维状态，引导学生借助基本活动经验继续质疑，让他们在变与不变中向问题解决的通法开掘。

四、以搭建型问题链总结，助力知识建构

布鲁纳在《教育过程》一书中指出：“获得的知识，如果没有完整的结构把它们连在一起，那是一种多半会遗忘的知识。一连串不连贯的知识在记忆中仅有短得可怜的寿命。”在课堂教学中，教师基本上是引导学生借助板书、研学单等已有资源谈收获、说得失，很难看到学生进行知识系统的构建与思考，他们对知识习得的过程与知识逻辑是模糊的，甚至是混乱的。问题链即数学学习的活动链，是学生习得知识的过程链与逻辑链。教师课后的搭建型问题链可以帮助学生厘清知识建立的逻辑序列，构成的问题就如数学学习过程中的“重要事件”，提醒着学生发生了什么、学习了什么，为学生知识体系的构建搭设了骨架。现以苏教版小学教学教材六年级上册“百分数”的教学总结为例，展现策略思考。

（一）师生合作，梳理问题

师：同学们，在对百分数已有认识和了解的基础上，我们这节课重点研究了哪些问题呢？

问题1：选择其中一个百分数，你能用画图的方法表示一下它的意思吗？

[思路]两个百分数，张宇投篮的命中率是60%，红星机械厂五月产量是四月的120%。本问题旨在引领学生借助画图表征，感悟百分数的本质。

问题2：我们已经学习了分数，为什么还要学习百分数？

[思路]本问题指向百分数与分数的不同，百分数在多个事物间的比较方面具有一定的作用和优势。

问题3 ：百分数与分数之间有怎样的联系与区别呢？

[思路]本问题旨在引领學生丰富对百分数内涵的把握。

（二）任务驱动，合作构图

师：下面各小组合作，请借助上述三个问题整理这节课的基本内容，并画出知识结构图。（活动过程略）

（三）组织交流，小组正图

师：现在我们一起来交流各自的成果。在交流的过程中，各小组可以进一步补充和完善自己的知识结构图。（活动过程略）

数学学习既要溯源而上找寻生长点，也要顺流而下厘清知识脉络，为后续学习提供良好的结构支撑，课堂教学的基本任务就在于引领学生将教材中的知识结构转化为个人头脑中的认知结构。上述案例中，教师先引导学生基于学习活动过程梳理出三个关键性问题，然后以此为思维链实施知识由“点状”向“网状”的构建，进一步打通新旧知识间的内在关联。这一构建的过程实际上就是学生主动思考、深入理解，引发真正学习的过程，是深度学习的基本表现。

五、以源头性问题链深化，续延深度拓展

一节数学课一般只有40分钟，我们在教学中预设内容的同时，还要兼顾课堂生成性问题，加之学生认知水平与能力的差异，难免会使得一些学生存在各种各样的疑惑。另有部分学生会基于“是什么、怎么样、为什么”的问题框架，渴望探寻知识背后的故事，寻找方法形成的源头，自然也会存在各种疑惑。由此可见，一节数学课的结束并不意味着学生探究活动的终止，学生带着问题走进课堂以后，更应该让他们带着问题走出课堂，走进更广阔的思维空间，并开启新的探究之旅。

教师在充分发挥语言评价、尊重与接纳等情感态度的基础上，设置课后问题收集及解决通道，通过“我的问题单”“班级问题收纳筐”等基本工具收集学生的各种疑惑与问题，由教师予以汇总、分析及反馈。对于学生自己能够解决的一般性问题，由教师公布在班级“问题墙”上，鼓励班级学生“揭榜领题”，引领他们通过知识再现、理解构建，对问题予以初步解决，最后经教师把关后将问题解决的方案张贴在班级“回音壁”中，供确有需要的同学内化理解、学习研究。对于学生提出的确有深度的问题，特别是涉及知识产生的源头性问题，教师要根据问题的因果关系、来龙去脉及逻辑结构设置问题链，为学生的再度探究提供方向引领与思维支撑，鼓励他们追溯知识本源、经历数学“自然”生发的历程。

在教学苏教版小学数学教材二年级下册第四单元“认识万以内的数”时，笔者考虑到这一内容已临近自然数认识的“收官”阶段，故结合教材提供的相关数学史料，简单梳理了我国古人记数方法的发展历程。课后结合学生所提问题间存在的逻辑结构及背景知识，通过添加、合并等手段，对收集到的近十个数学问题整理成源头性问题链（如下图），然后以个人研学单的形式将问题转发给学生，引领他们通过自主探究对问题进行初步分析与解决。在此基础上，利用数学阅读、课程、课后延时等时间段，再度组织学生开展交流与探究活动，在倾听、表达与思维中透彻理解“计数”与“记数”等知识的内在本质，打通数学史料与现行十进制计数法之间的基本关联。

学生的学习是一个持续不断、循序渐进的认知过程，其中既有课堂学习活动的延续，也包括学生探索空间的延展。“认识万以内的数”拓展教学既有对课堂内容的再深化，也有学生面临的新挑战，学生以问题链为引领，在课堂外的更大空间中释疑解惑，实现了认知的自我完善与素养的自我提升，这正是深度学习应有的模样。

“深度学习”的核心在于依托有意义的学习活动引发学生的真正学习，重点在于培养学生的高阶思维与分析问题、解决问题的基本能力。一节数学课的问题链，既是课堂推进的活动链，也是学生探究学习的思维链。教师要在深度理解教材、关注学情的基础上，精心设置、合理构建出紧扣内容本质、切合学生实际、优化探究过程的问题链，以引发学生的深度思考、深度探究，强化他们的数学理解，进而实现真正意义上的深度学习。