初中圆学习中几种思想方法的运用

王景泉

圆是初中几何中的重点内容，在整个中学阶段数学的学习中，有着举足轻重的地位和作用，因此，本章也是升学考查的重点。其中圆的有关性质是全章的基础，是学好本章的关键，与圆有关的各种位置关系是全章的主要内容，也是本章思想方法的主要载体，要通过对这些知识的学习、理解和掌握，逐步提高综合分析能力、运用正确的数学思想和方法解决问题的能力。

一、数形结合思想的运用

数形结合即运用数和形的关系来解决数学问题，一方面可以借助数的精确性来说明形的某些属性，另一方面也可借助形的直观性来阐明数之间的某种关系。数形结合的思想是中学内容中，它也是非常重要的研究方法。从点和圆的位置关系开始，到直线和圆的位置关系，都是用数、形结合的方法准确地给予阐明。经常地用数形结合的思想去处理问题，能使数与形的双向思维得以不断升华。

二、分类讨论思想的运用

当我们研究点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系的时候，就要从不同的位置关系去考虑，全面揭示各种可能的情况，这种位置关系的考虑与分析，就是分类讨论思想的运用。今后凡是涉及位置关系的知识都要进行必要的讨论，所以分类讨论思想的应用是圆这一章知识的

最大特点。

例如：已知横截面直径为100cm的圆形下水道，如果水面宽AB为80cm，求下水道中水的最大深度。

[分析]水面AB所对的弧可能是劣弧，如图①当水面AB所对的弧是劣弧时（圆心在水面以上），过圆心O作OE⊥AB，垂足为E，延长OE交⊙O于点F，则BE=AB=40，OB=50，由勾股定理可得OE=30，此时水深EF=20，当水面AB所对的弧是优弧时（圆心在水面以下），同理可求得EF=80，所以水的最大深度为20cm或80cm

因为圆是轴对称图形，所以不少与圆有关的线段和角的问题不止一解。注意分类思想在解题中的运用，这是因为近年来全国各地经常出现与本章知识相关的两解或多解的试题。分类讨论问题的关键是要弄清引起分类讨论的原因，明确分类讨论的对象和标准，不同的标准分类的结果也不同，分类必须做到不遗漏、不重复。

三、转化思想在解题中的运用

转化是数学解题中的重要策略，一个个数学问题的解決总是靠转化而完成。不断地使用所提供转化的题材，掌握转化思想，对提高我们的数学综合能力极其重要。转化方法一般有化大题为小题，化抽象为具体，化陌生为熟悉，总之目标是化复杂为简单。在平面几何

中，由于研究的对象是图形，所以它们的转化是依靠图形变换得到的。因此，转化的思想是初中阶段接触的最为广泛的数学思想，如等积问题转化为相似三角形问题，四边形问题转化为三角形问题，弧的问题转化为弦或角的问题等。

例如：如图，设P、Q为线段BC上的两定点，且BP=CQ，A为BC外一动点，当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时，△ABC是什么三角形？

[分析]]将A点的位置特殊化就能猜想出结论。

解：作△ABC的外接圆⊙O，延长AP交⊙O于D，连结BD，延长AQ交⊙O于E，连接CE;∵∠BAD=∠CAE，∴BD（⌒）=CE（⌒） ∴BD=CE，∴∠1=∠2又∵BP=CQ，∴BDP≌△CEQ∴∠D=∠E，AB（⌒）=AC（⌒），∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形转化思想是解决几何证明的重要思想，辅助线：圆，是达到转化目的的重要手段之一。

四、方程思想的应用

方程按其定义说就是含未知数的等式。因此，当已知一些量时，可以根据题意，建立这些量之间的等量关系式，即建立方程，然后通过方程的知识求出需求的量，这就是方程思想。数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系，而方程则是沟通数量关系的桥梁。方程思想在初中数学中有很重要的地位，而“圆”更为方程思想提供了广阔的驰骋空间。联系近几年来的中考命题，圆与方程或方程组结合的命题占有很重的位置。我们一定要在平常学习中，经常地反复地使用方程思想。

通过本章的学习，应逐步掌握认识事物的正确思维方法，正确处理直接与间接，特殊与一般，静止与运动，局部与整体之间的辩证关系，同时，以上几种数学思想是近年考查综合运用知识解决问题的能力的活跃的形式。它的合理运用，也将大大激活综合题的迎考复习。