小学数学运算教学算理和算法融合之道

杨升群

摘 要：运算贯穿了小学阶段数学教学的始终，它是所有数学活动的基石。离开了计算，数学活动便成了无根之木，无鱼之水。而运算教学的成功与否决定了学生的运算能力的质量，其重中之重是如何处理好算理与算法的融合问题，算理指的是“为什么这样计算的问题”，算法指的是“怎么计算的问题”，两者相辅相成，不可或缺。

关键词：小学数学;运算教学;算理;算法;融合

计算能力作为小学生数学学习必须掌握的基本技能，它的形成主要是让学生亲身经历算理的探究过程，深化对算理的理解，主动建构算法，达到解决问题目标来实现。在运算课堂教学中会出现两种极端的现象，一是教师只注重算法的教学，一味地讲解或灌输计算的方法，却忽视了对算理的理解，这样教学违背教学理念和新课改精神;二是毫无目标开展算理的探究，忽视适时对算法的提炼和归纳，这样学生运算技能达不到熟练程度。故此，在课堂教学实践中，教育者探寻算理和算法的融合之道，提高学生的运算技能，刻不容缓。

一、搭建平台，支撑算理和算法的融合

搭建科学合理的平台，为数学探究活动提供脚手架，便于学生深入探究和体验。小学数学运算教学的课堂，教师要根据学生年龄特点和所学知识的特点，搭建满足学生探究和体验的教学平台，为实现算理和算法的融合服务。

（一）搭建动手操作平台，探究算理和算法的融合

1.动手操作，感受算理

教学“两位数减一位数（退位）减法”，创设学生熟悉而又喜欢的场景：熊大捡了23颗坚果，熊二捡了5颗坚果。鼓励学生提出用减法计算的问题“熊大比熊二多捡多少颗坚果？”后，列式23-5=？低年级学生思维主要是以具体形象为主，对于抽象化的数字计算通过单纯的讲解，无法让所有的学生理解算理，需要创建动手操作的平台。为了帮助学生直观表达计算过程，教师可引导学生用一根“小棒”代表一颗“坚果”，通过摆小棒的方法，尝试计算，边摆边说说你是怎么算的？

学生是这样描述计算过程的：①23根小棒中，我先拿走单独的3根，再拆开一捆，从10根里再拿走2根，剩余8根，再和10根合起来就是18根;②23根小棒拆开一捆，从10根里面拿走5根，剩余5根，再和13根合起来就是18根;③23根小棒没有单独的5根，拆开一捆和单独的3根合起来13根，从13根里面拿走5根。剩余8根，再和10根合起来就是18根。

动手摆小棒的过程就是算理在脑海里呈现的过程，学生表达的过程就是学生思维从抽象思维向形象思维过渡的过程。此过程让学生在潜意识里经历了算理认知过程，初步感受算理，为进一步探究做好铺垫。

2.比较共性，直击核心

呈现算理多样化的基础上，教师引导学生观察不同摆法的直观图：三个学生摆法不同，但他们都做了同样的一件事（都要拆开其中的一捆），这是什么呢？通过学生集思广益，产生思维的共鸣：无论用哪种摆法，单独的3根小棒总是不够，必需拆开其中的一捆变十根，从中再拿出相应的小棒。让学生感受到异中有同，同中有异，在存异求同的过程中直击核心问题，诠释算理。

3.归纳概括，提炼算法

当堂练习活动35-8=，42-6=，并让学生说说你是怎么算的？引导练习题与例题算理和算法的比较，归纳概括，提炼算法。学生经历从特殊到一般的过程，对计算法则的归纳和提炼，水到渠成，完美实现算理和算法的融合。

（二）搭建自主探究平台，构建算理和算法的融合

教师在教学中搭建学习自主探究的平台，引导学生充分运用自己的生活经验和原有的知识能力探究算理，多元化理解算理内涵，起到事半功倍的效果。以学习五年级数学“小数加减法”为例。

1.自主探索，构建算理初衷

教师出示例题情境图：小明买了一本讲义夹用了4.75元，小丽买了一个笔记本用了3.4元。鼓励学生提出问题：小明和小丽一共用了多少钱？后列出算式“4.75+3.4=？”教师先引导学生估一估：明确和的区间在7～9之间。根据解决问题的需要驱动：你能想办法计算4.75+3.4的和吗？在任务驱动下，学生主动尝试用自己的生活經验和原有的知识进行计算，出现以下几种情况：

2.借助经验，寻找算理本质

针对课堂的生成，组织学生交流：你觉得哪种方法计算结果正确，哪种计算方法是错误的？并说明理由，培养学生数学批判意识。

第3种方法计算是正确的，把4.75元看作4元7角5分，把3.4元看作3元4角，这样5分与0分相加是5分，7角与4角相加11角，4元与3元相加再加上进的1元是8元，得到8元1角5分，所以和是8.15元。（2）把4.75看作4个1，7个0.1和5个0.01，把3.4看作3个1和4个0.1，4.75的百分位0.05和3.4百分位没有相加，百分位还是0.05，0.7与0.4相加得1.1，4与3相加得7，最后和是8.15。这样学生利用自己的经验和原有的知识进行说理，寻找加法计算算理的本质，加深对算理的理解。

3.反向验证，巩固算理理解

证明一种方法是否正确、可行，可通过反向思维验证。说说这两种方法错误的原因：数位不同，也就是两个不同的计数单位不能直接相加。这样加深学生对算理的理解。追问：为什么数位相同才能相加？经过学生的交流和讨论得到：数位相同，计数单位也就相同，只有计数单位相同才能相加减。

二、立足情境，沟通优化，驭法于理

小学数学运算知识的学习来源于生活，服务于生活，教师立足情境开展学习活动，从学生的生活经历出发探究算理，沟通算理和算法的关系，实现算理和算法的融合。以教学“两位数乘两位数和笔算”为例。

（一）应用情境，尝试计算

教师创设情境图：教师夫妻二人邀请10个朋友看电影，每张电影票24元。让根据信息提出数学问题：购买电影票一共需要多少元钱？并列出算式24×12=？引导学生结合情境图，通过画一画、圈一圈等方法尝试计算。

汇报以下几种情况：

（1）平均分的方法：把看电影的12人平均分成2组，每6人为一份，24×6×2=288;也可以把12人分成3组，每4人为一组24×4×3=288。

（2）先分后合的方法：把12人分成5人和7人，先算5人购票需要的钱数，再算7购票需要的钱数，再合起来24×5+24×7;可以把12人分成9人和3人，先算9人购票需要的钱数，再算3人购票需要的钱数，再合起来24×9+24×3;还可以把12人分成教师夫妻2人和10个客人，先算教师夫妻2人购票需要的钱数，再算10个客人购票需要的钱数，再合起来24×2+24×10等。

（二）立足情境，沟通优化

如果一味追求算法多样化，没有对多样化和策略进行必要的比较和优化，容易误导学生进行低层次的重复，阻碍学生的思维发展，与新课改理念相悖。质疑：这么多的方法，哪种方法最理想呢？面对质疑学生产生思维波动。我们可以先分类，再优化算法。

（1）优化先分后合法：你更喜欢哪种分法？说明你的理由。生A：把购票12人分成教师夫妻2人和10个客人，先算教师夫妻2人购票需要的钱数，再算10个客人购票需要的钱数，再合起来这种方法，因为分成一个一位数和一个整十数计算可以通过口算就能得出结果。生B：因为24×2能口算，24×10也能口算。得到学生的一致认可后，继续优化方法。

（2）优化“平均分”法和“先分后合”法：在交流的过程中有的说“先分后合”法好，因为整十数好算，有的说“平均分”法好，因为平均分方法更简单。两种观点处在焦灼的状态，此时教师的引导作用显得至关重要，教师相机追问：是不是所有的两位数都能平均分呢？在此情境中，学生的思维得到发散，逐渐向深度思考问题。接着举例说明，遇到像13、17、19、23（质数）等不能平均分，但这些数能拆开一个整十数和一个一位数，运用“先分后合”法计算更好。这样让学生经历从特殊到一般的过程，体会算法的广泛性和普遍适用性。

（3）优化竖式：学生感受到运用“先分后合”方法的优越性后，让学生独立尝试列竖式计算24×12，学生会出现以下三种不同的情况。

教师呈现以上三种方法，引导学生比较，你喜欢哪一种方法，不喜欢哪种方法？为什么？

生A：第2种方法好，因为它先算24×2=48表示2人购票需要的钱数，再算24×10=240表示10人购票需要的钱数，再算48+240=288表示12人购票需要的钱数。不喜欢第1种方法，因为看不出它计算的过程;生B：第3种方法比第2种方法更简单，这里的24×10得240，把2写在百位上，把4写在十位上，就可以表示240，所以第2种方法240末尾的0可以省略。

（三）建立联系，驭法于理

在学生充分沟通优化的基础上引导学生联系竖式与横式和情境图之间的联系，师：通过刚才我们探究，你能结合情境图和横式说说两位数乘两位数的计算过程吗？

在此过程中，情境、算理和算法相互沟通融合，直观形象，算理清，算法明，体现运算教学对学生数学素养发挥的巨大价值。

三、任务驱动，探索法后藏理的内涵

学生学习新的计算法则，有的是凭自己的猜测，有的是自学的，有的是从课外辅导班学到的。这样的学习是知其然，不知其所以然的，运算教学教师可以运用任务驱动策略，引导学生探究法后藏理的内涵。

（一）任务驱动，激发情感体验

教学“分数乘法”教师提出问题：×=？，学生根据自己的知识和经验知道×=，你能想办法证明×=吗？并在小组里交流。通过“证明”这一任务驱动，激发学生的情感体验，学生能向更深层次进行思考，使学生进入深层次学习。

（二）辨析沟通，明确算法依托

经过小组交流，学生能从多角度验证：

1.从分数意义入手，数形结合

通过交流发现，这种数形结合的方法，都是先画个圖表示单位1，再分一分，找到，再分一分，找到的，也就是，都是把单位“1”平均分成8份，这个分母8都是通过4×2得到的。这几种方法本质是一样的，只是方式不同而已。

2.多元互化融合，支撑算法贯通

×=1÷2÷4=0.125=

×=0.5×0.25=0.125=

运用“转化”的思想方法，证明推理的合理性，利用新知还原旧知，开辟思维新天地。这样不仅能让学生掌握算法，也能理解算法背后蕴藏算理的内涵，摆脱运算教学枯燥无味的标签，使运算教学更富有生命力。

四、建立算理和算法本质体系，整体把握内在联系

（一）承上启下，建立加减法算理的本质联系

小数加减法与整数加减法在算法上有共通性，列竖式的时候都是相同数位对齐，从低位算起，满十进一，其算理的本质是相同计数单位才能相加减，起到承上的作用。异分母分数加减法与整数、小数加减法进行比较：计算异分母分数相加减都需要先通分转化成同分母分数，其目的就是把不同分数计数单位转化成相同计数单位，算理的本质与整数和小数加减法相同：相同计数单位才能相加减。

（二）适可而止，建立整数多位数乘法算理的联系

教学“三位数乘两位的笔算”时，教师在探究算理，总结算法后，拓展延伸环节“□□□…×□□□…”你还会算吗？为什么也可以这样算呢？猜猜多位数乘多位数我们将来还学吗？为什么不学了呢？通过充分表达学或不学的道理后，明确其算理是一致的，构建整数乘法运算算理与算法的框架。

参考文献：

[1]王国宏.探索根源之道，滋润理性之思[J].教学研究，2019（1）.

[2]徐国裕，一位特级教师的专题式引领[M].福州：福建人民出版社，2018.