空间向量在立体几何解题中的应用

【摘 要】立体几何是高中数学中的重要内容，学生在日常学习和考试过程中都会遇到这一类型的题目。对于一些简单的几何图形问题，学生只需要应用传统方法就可以得到答案，但在复杂图形和计算问题中，就需要用到空间向量法来解决。向量法能够简化几何问题，帮助学生快速求得问题的答案。

【关键词】高中数学;空间向量;立体几何;解题策略

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2022）24-0084-03

空间向量在立体几何解题中具有很高的应用价值，无论多么复杂的问题都可以用这种思路将其简化，而且空间向量还能对立体几何问题进行转化，将其变成学生熟悉的代数问题。本文对空间向量的一些定理和考查知识点进行梳理，并分析应用其解决立体几何问题的策略。

1   空间向量概述

1.1  空间向量定理

空间向量包括方向、大小，其中大小也被称为长度。当长度是零的时候就是零向量，相反向量就是长度相同但方向相反的量，相等向量则是长度和方向都相等的量。在空间向量中，基本分为共线、共面与分解三个定理，其中共线定理是指两个向量a、b平行，且存在实数λ，使得a=λb;共面定理是指向量a与向量b不在直线上，向量c和二者存在实数x、y，使得c=ax+by;分解定理是指向量a、向量b、向量c都不在一个平面上，空间内任意一点向量q满足q=xa+yb+zc。在空间向量中，已知任意三个向量a、b、c都不在一个平面之中，却又可以成为一组基底，则零向量唯一。

1.2  空间向量的优越性

在立体几何解题中，空间向量是一种比较特殊的知识内容，在解决几何问题方面优势突出，如求取线面位置关系、点面距离问题时，用空间向量法可以快速解答。学生可以使用坐标系方法建立空间模型，将立体几何图形中的线面平行或垂直关系论证出来，就可以将问题快速解决。在空间问题和线面夹角问题中，学生也可以尝试采用空间向量法表示线与面的垂直平行关系，求出线面夹角。在立体几何的解题中，通常都会涉及度量与位置关系这两个问题，其中度量问题是指点、线、面的距离问题与角度问题，位置关系包括线面平行、线面垂直、线线相交等。在分析具体问题的过程中，学生经常需要利用空间向量法处理线与线之间垂直、平行和角度的问题，通过向量证明线与面的平行关系，而在线面角度或者点面距离问题上的应用较少[1]。

1.3  空间向量的考查要点

在立体几何解题中，学生需要知道空间向量考查要点具体有哪些，对考查要点进行归纳总结，这样在考试的过程中才能够心中有数，临危不乱。首先，学生要理解平面向量和直线向量，通过向量形式将线、平面之间的位置关系表达出来。在空间向量知识点的考查中，通常需要学生用向量证明平面和直线的位置关系。另外，考试经常会涉及一些角度的计算问题，要求学生在复杂的立体几何图形中求出平面、直线之间的夹角。在考试的时候，学生遇到的立体几何垂直问题比较多，这方面一直都是高考考查的关键点，而且考查形式多种多样，经常会要求学生集中解决平面空间问题。

2   空间向量与立体几何的关系

前文提到，立体几何是高中数学的常见习题，同时也是新课改背景下高考的重要考点。在空间图形部分的讲解中，教材首先对柱体、椎体等几何图形进行了介绍与剖析，初步调动学生的想象力。此后，教材紧接着安排了点、直线、面之间的位置关系，意在进一步培养学生的空间思维，提高学生的推理演绎能力。空间向量是解决立体几何问题的有效途径之一，有助于提升学生的数学应用能力，作为解决立体几何问题的重要工具，空间向量的作用不可忽视[2]。空间向量能够将抽象的几何问题转化为代数问题，引导学生用代数的方法解决问题，使问题更加具體。通常来说，面对空间想象能力较差的学生，教师会首先选择向量法进行立体几何问题的讲解，这一方法的使用既能够有效避免立体几何问题中最难以突破的寻找辅助线问题，又能够帮助学生快速找准目标，建立空间直角坐标系。需要注意的是，教师应正确选择引入空间向量的时机，若过早引导学生通过向量解决问题，很可能会影响学生空间想象能力的发展，也可能会增加计算的复杂度，起到反作用，这不利于学生数学学习能力的提升。

3   立体几何解题中空间向量法的应用策略

3.1  通过坐标法解决立体几何中线面位置和角度问题

在立体几何解题中，通常会要求学生用空间向量法解决线面之间的位置关系或者角度问题。学生在解这类问题时首先要确定是否能够建立起正确的坐标系，用坐标将题目中的已知点表达出来，若是可以那就建立坐标系，求出平面法向量。在法向量的求取中，学生需要在几何图形中找出平面的垂直向量，若是没有那就设一个n=（x，y，z），因为垂直关系，所以n和平面内两条相交直线垂直，这样就可以列出方程，将法向量计算出来。在两个平面夹角问题的处理方面，学生只需要将它们的法向量求出来，也可以通过法向量夹角和公式，将二面角求出来。在立体几何解题中，学生需要理解出题人的意图，将题目转化为自己能够理解的内容。如在求取平面与点之间的距离时，就是将这个平面的法向量求出来，学生可以在平面上任意取点，将平面外一点和平面上任意点形成的向量取为n1，那么法向量就可以套用公式求出来了。

在二面角问题的求解中，教师需要告知学生，两个法向量的方向是一进一出的，所求二面角的平面角与两个法向量的夹角是相同的。若发现两个法向量的方向是同进同出，此时所求的二面角的平面角将与法向量夹角的补角相等。在判断二面角究竟是锐角还是钝角时，可能需要学生对方向进行判断，对于很多学生来说这是一大难点。因此，在正式计算之前，学生可先依照题意，对所求二面角的大小进行直观判断，在此基础上取相等角或补角即可。

3.2  立体几何解题中的空间向量应用步骤

空間向量法作为一种常规解题思路，在高中立体几何部分比较常见，教师通常都会考查学生对向量的定义、公式等的把握。另外，空间向量法比较简单，而且应用模式比较固定，学生在使用时都不需要画线辅助，能够节省学生的答题时间，并降低解题难度。在采用空间向量法处理立体几何问题时，学生需要掌握以下几个步骤。首先，学生需要建立直角坐标系。直角坐标系的建立通常都是在已知条件中选择三条线，若是没有那就要找两条垂直线，然后将第三条线绘制出来。其次，答题过程中学生需要用到坐标点，将坐标向量求取出来，学生在求取时一定要用终点坐标减去始点坐标，这一点不能颠倒。将所有向量坐标都用方程罗列出来之后，学生就可以按照要求套用公式，解决立体几何问题。最后，在公式应用方面，学生需要认真仔细，不能出现半点差错，否则就会影响最终答题的结果。在立体几何解题中，线面夹角问题出现的频率比较高，学生在解题时通常都会面临繁琐的运算过程和复杂的几何图形。传统解题思路显然不能为学生的解题节省时间，解题过程中也容易出错。因此，学生在解决这类问题时往往会使用空间向量法，从而化繁为简，借助几个常用公式和定义就可以将夹角问题轻松解决。如以下题目：在如图1所示的正方体几何图形中，请将平面BB1D1D和直线A1B间的夹角求出来。

在这道题中，学生首先需要建立直角坐标系，将正方体长度设置为a，通过向量法表示点A1、B、C1，然后将平面法向量和A1B向量表示出来，即A1C1=（-a，a，0），A1B=（0，a，-a）。根据公式可以得出直线A1C1与A1B形成角的余弦值是0.5，那么这两个向量夹角就是60°，则平面BB1D1D和直线A1B间的夹角就求出来了。

在处理这道题目时，学生需要把握问题的关键，将平面法向量求出来。若是题目中并没有和平面垂直的直线，学生就需要先画一条垂直于平面的直线，利用方程将法向量求出来，然后再根据题目要求求出平面和直线的夹角。

3.3  立体几何解题中空间向量定义的应用

在立体几何解题中，经常会要求学生用空间向量的定义解决问题。空间向量的定义包括方向和大小两方面，在一个立体空间中存在方向和大小的量就是向量。如在高中物理教学中，学生需要用矢量表达出力，这在高中数学中就是指的向量。在代数领域中，无论采用哪种方式，都不会对其作用或者性质产生影响，若是用向量法去求取，尤其是立体几何解题中，学生要能够用坐标系的方法表示向量。高中立体几何问题中，学生遇到的多是平面图形和立体图形，因此右手直角坐标系就成为了一种常规手段，教师在课堂教学时也经常使用这种手段。如在同一个立体几何图形坐标系中，要求学生证明直线a、b是垂直的。学生可以得出a（a1，a2，a3），b（b1，b2，b3），通过空间向量知识来证明两线垂直。通常相互垂直的向量数量积为零，那么在坐标系中学生只需要相乘就可以，若a·b=a1b1+a2b2+a3b3=0，那么就表示两个向量垂直，也就证明a、b两条直线垂直。通过以上案例可以发现，在立体几何解题中，学生只需要用空间向量法就可以将几何图形的位置表达出来，这比以往学生用画图的方法求解要简单很多。很多复杂的立体几何图形都可以用代数方法计算出来，在立体几何解题中，空间向量法除了可以帮助学生解决两线垂直问题，还可以用来证明两线是否平行或者相交、异面。

3.4  应用空间向量求立体几何中点到平面的距离

想要求出点到平面的距离，关键是要确定平面法向量，同时还要找到该点与平面内一点的向量关系。利用点到平面的距离公式，不仅可以教会学生求解点到平面的距离，还能够拓展到直线与平面的距离或者平面之间的距离[3]。

以下述题目为例：如图2所示，在三棱锥P-ABC中，D、E、F分别为棱AB、BC、CP的中点。已知，AB与AC相等，均为1，PA为2，求解直线PA与平面DEF所成角为多少度？

该题可采用向量的坐标运算，首先确定A点为坐标原点，并在此基础上建立空间直角坐标系，具体如图2所示。结合已知条件A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），D（，0，0），E（，，0），F（0，，1）可得向量AP、DE与DF分别为（0，0，2）、（0，，0）与（-，，1）。假设n=（x，y，z）为平面DEF的一个法向量，那么n与向量DE、DF相乘均为0，从而可得出x，y，z之间的关系，此时，将x取值为1，可得n=（1，0，）。而后，将PA与平面DEF所成角的大小设置为θ，通过三角函数公式求出θ的值。

根据上述解题分析可知，用向量的坐标运算去解决立体几何问题，无论是思维深度还是运算技巧方面，都容易被学生接受、理解，可以帮助学生更好地解答相关问题。

综上所述，空间向量法是一种有效的解题路径，能够帮助学生快速解决立体几何中的一些疑难问题。学生在使用空间向量法时，要灵活运用它的定义和公式，避免解题出错。

【参考文献】

[1]李光所.解决立体几何问题中空间向量的运用[J].数学大世界（下旬），2019（5）.

[2]陆俊玲.浅谈向量在立体几何中的应用[J].科技风，2020（18）.

[3]黄桂南.空间向量在立体几何中的应用[J].中学数学研究，2017（6）.

【作者简介】

杨正山（1976～），男，苗族，云南马关人，本科，中学高级教师。研究方向：数学教学。