用洛必达法则求参数取值范围的方法

覃宝锋

[摘 要]高中阶段在求函数的参数范围时，若能利用洛必达法则会使问题更容易解决。文章主要介绍如何运用洛必达法则解不等式中参数的取值范围问题。

[关键词]洛必达法则;不等式;参数;取值范围

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）14-0025-03

在数学学习的过程中，学生往往对不等式中求参数的取值范围的问题感到困难，但这类问题又是高考中常出现的题型。因此，我们很有必要去研究它。解决这类问题的通法是直接求导，然后对参数进行分类讨论。然而，运用此法，有的学生可能会出现对参数讨论不清或讨论不全的情况。有一些学生会采用分离参数的方法，通过分离参数求函数的最值，进而求解，这种求解往往对判断函数的单调性要求比较高，可能有些复杂，但一般都能得到结果。而有时用洛必达法则可轻松解决问题。

洛必达法则是高等数学的内容，运用洛必达法则要满足以下条件。

设函数[f（x）]，[g（x）]满足：（1）[limx→afx=limx→agx=0]（或∞）;（2）在[a]的去心邻域内，[f ′（x）]和[g′（x）]都存在，且[g′（x）≠0];（3）[limx→af'xg'x=A]（其中[A]为实数，[a]可为[±∞]），则[limfxgx=limx→af'xg'x=A]（可以多次使用）。

在使用该公式时要注意对于分式函数[f（x）g（x）]，当[x→a]（或[∞]）时，[f（x）g（x）]为[00]型或[∞∞]型，且不是对[f（x）g（x）]的商求导，而是分别对分子、分母进行求导，之后取极限得最值。

[例1]已知函数[f（x）=（x+1）ln x-a（x-1）]，

（1）当[a=4]时，求曲线[y=f（x）]在[（1， f（1））]处的切线方程;

（2）若当[x>1]时，[fx>0]，求[a]的取值范圍。

分析：根据已知条件，容易将参数[a]分离出来，接着构造函数[g（x）]，并对其进行求导，通过判断其函数的单调性，求[g（x）]的极值。我们发现[g（x）]在[x=1]处没有意义，不能求出[g（x）]的极值，这时，可利用洛必达法则来求其极限值。

解：（1）略;

（2）由题意可知，当[x>1]时，[f（x）>0]，等价于[（x+1）ln x-ax-1>0]，则有[a<（x+1）ln xx-1]，设[g（x）=（x+1）ln xx-1 ]，[则 g′（x）=ln x+x+1x（x-1）-（x+1）ln x（x-1）2=x-2ln x-1x（x-1）2 ]。又设[h（x）=x-2lnx-1x]，则[h′（x）=1-2x+1x2=（x-1）2x2≥0]，所以[h（x）]在[（1，+∞）]上单调递增，而[h（x）>h（1）=0]，所以[g（x）]在[（1，+∞）]上单调递增，对于[g（x）=（x+1）ln xx-1]，当[x→1]时，[（x+1）ln x→0]，[x-1→0]，所以[（x+1）ln xx]符合洛必达法则条件，所以[limx→1gx=limx→1x+1ln xx-1=limx→1ln x+x+1x1=ln 1+1+11=2]，即当[x>1]时，[a]的取值范围是[-∞， 2]

点评：在求分离后的函数[f（x）g（x）]的极值时，注意当[x→a]时， [f（x）→0]（或[∞]），[g（x）→0]（或[∞]），这是能用洛必达法则的条件之一，而且还要注意[f（x）g（x）]的极值是否等于某个实数，若是则其为极值。

[例2]已知函数[f（x）=a ln xx+1+bx]，曲线[y=f（x）]在点[（1， f（x））]处的切线方程为[x+2y-3=0]。

（1）求[a]，[b]的值;

（2）如果当[x>0]，且[x≠1]时， [f（x）>ln xx-1+kx]，求[k]的取值范围。

解：（1）[a=1]，[b=1]，过程省略。

（2）根据题目的条件，当[x>0]且[x≠1]时， [f（x）>ln xx-1+kx]得[ln xx+1+1x>ln xx-1+kx]，等价于[k

设[ g（x）=2x ln x1-x2+1 ]，[ g′（x）=2（x2+1）ln x+2（1-x2）（1-x2）2=] [2（x2+1）ln x+1-x2x2+1（1-x2）2  ]。

因为[2（x2+1）（1-x2）2>0]，设[h（x）=ln x-1-x2x2+1]，则[h′（x）=1x--2x（x2+1）-（1-x2）×2x（x2+1）2=1x+4x（x2+1）2>0]，所以[h（x）]在[（0，+∞）]上单调递增，因为[h（1）=0]，所以当[x∈（0， 1）]时，[h（x）<0]，即[gx]在[（0， 1）]上单调递减，当[x∈（1，+∞）]，[gx]在[（1，+∞）]上单调递增。当[x→1]时，[2x ln x→0]，当[x→1]时，[1-x2→0]，所以[2x ln x1-x2]符合洛必达法则的条件，即[limx→1g（x）=limx→12x ln x1-x2+1=limx→12 ln x+2-2x+1=-1+1=0]，所以当[x>0]，[x≠1]时，[k]的取值范围是[k∈-∞， 0]。

点评：在判断函数的单调性时，我们不一定要对整个函数进行二次求导，可对其中的一部分求导。

[例3]已知函数[（x）=（ax-2）ex-e（a-2）]。

（1）讨论[f（x）]的单调性;

（2）当[x>1]时[f（x）>0]，求[a]的取值范围。

解：（1）略。

（2）由题意可知，当[x>1]， [f（x）>0]时，即[（ax-2）ex-e（a-2）>0]等价于[a>2ex-2exex-e]。

设[g（x）=2ex-2exex-e]，则[g′（x）=2xex+1-2（ex）2（xex-e）2=2ex（xe-ex）（xex-e）2]。

设[h（x）=xe-ex]，则[h′（x）=e-ex]，因为[x>1]，所以[h′（x）<0]，即当[x>1]时，[g′（x）<0]，所以[g（x）]在[（1，+∞）]上单调递减，当[x→1]时，[2ex-2e→0]，当[x→1]时，[xex-e→0]满足洛必达法则，所以[limx→1g（x）=limx→12ex-2exex-e=limx→12exex+xex=1]，即当[x>1]时，[a]的取值范围是[1，+∞]。

点评：由上面的例子可知，求参数的取值范围，都可以分离参数，通过判断函数的单调性，运用洛必达法则进行求解。

[例4]已知函数[f（x）=x-ln（x+a）]的最小值为0，其中[a>0]。

（1）求[a]的值;

（2）若对任意的[x∈0，+∞]有[f（x）≤kx2]成立，求实数[k]的取值范围。

分析：对于第（2）问，可以将参数分离出来，通过判断函数的单调性，观察能否用洛必达法则进行求解。

解：（1）[a=1]，过程省略。

（2）由题意知，对任意的[x∈0，+∞]，当[x=0]时，[f（x）≤kx2]恒成立，

则当[x>0]时，[f（x）≤kx2]，等价于[k≥1x-ln（x+1）x2]。设[g（x）=1x-ln（x+1）x2]，[g′（x）=-1x2-x2x+1-2x ln x（x+1）x4=2 ln（x+1）-xx+1-xx3=-x2-2x+2（x+1）ln（x+1）x3（x+1）]。

设[h（x）=-x2-2x+2（x+1）ln（x+1）]，

[h′（x）=-2x+2ln（x+1）=2ln（x+1）-x<0]，所以[g（x）]在[0，+∞]上单调递减。

当[x→0+]时，[1x→+ ∞]，[ln（x+1）x2→+ ∞]，不符合洛必达法则。将[g（x）]通分得[g（x）=x-ln（x+1）x2]，

当[x→0+]时，[x-lnx+1→0]，[x2→0]满足洛必达法则的条件，所以[limx→0+gx=limx→0+x-lnx+1x2=limx→0+1-1x+12x=limx→0+1x+122=12]。

因此，实数[k]的最小值是[12]。

点评：求极值时可以多次使用洛必达法则。

[例5]已知函数[f（x）=sin xx（x≠0）]。

（1）求曲线[y=f（x）]在点[（π，f（π））]处的切线方程;

（2）若[x2f（x）+cos x≤mx2+1]，求[m]的取值范围。

分析：含有三角函数的求导，在判断函数的单调性时显得比较困难，可视为恒成立求参数范围的问题，因此可通过分离参数进行求解。

解：（1）略。

（2）由[x2f（x）+cos x≤mx2+1]得[m≥x sin x+cos x-1x2]，即求[x sin x+cos x-1x2]的最大值，由洛必达法则知[x sin x+cos x-1x2≤12]，只需证明[x sin x+cos x-1-12x2≤0]即可。设[h（x）=x sin x+cos x-1-12x2]，则[h′（x）=x（cos x-1）]，

∵[cos x-1≤0]，当[x>0]时，[h′（x）<0]，[h（x）]在[（0，+∞）]上单调递减;

当[x<0]时，[h′（x）>0]，[h（x）]在[（0，-∞）]上单调递增，

∴[hx≤h0=0]，所以不等式成立，∴[m≥12]。

[例6]已知函数[f（x）=ln x+mxxm≥-12]。

（1）求[f（x）]的单调区间;

（2）若[x2f（x）≤m]对任意[x≥1]恒成立，求[m]。

分析：第（2）问，学生若用直接法则要对[m]进行分类讨论，会比较困难，因此可通过分离参数进行求解。

解：（1）略。

（2）由[m（1-x2）≥x ln x]，

当[x=1]时，不等式恒成立，

当[x>1]时，[m≤x ln x1-x2]，

[h（x）=x ln x1-x2]，

[h'（x）=（ln x+1）（1-x2）-x ln x（-2x）（1-x2）2=ln x-x2 ln x+1-x2+2x2 ln x（1-x2）2=ln x+x2 ln x+1-x2（1-x2）2]

令[p（x）=ln x+x2 ln x+1-x2]，

[p'（x）=1x+2x ln x-x]，

[p″（x）=-1x2+2 ln x+1]，

[p″（x）]在[（1，+∞）]上單调递增且[p″（x）=0]，

[p′（x）]在[（1，+∞）]上单调递增且[p′（x）=0]，

[p（x）]在[（1，+∞）]上单调递增且[p（1）=0]，

[h（x）]在[（1，+∞）]上单调递增。

当[x→1]时，[1-x2→0];当[x→1]时，[xlnx→0]。由洛必达法则知[limx→1x ln x1-x2=ln x+1-2x=-12]，因此有[m≥-12]，又因为[m≤-12]，所以[m=-12]。

通过上述的例题可知，洛必达法则是解决未定式函数极值的一种非常有效的方法，但并不是所有的未定式函数极值都可以应用洛必达法则解决，如多次应用洛必达法则后，极值出现循环现象时，洛必达法则失效。

应用洛必达法则求极值，必须熟练掌握洛必达法则的结论，注意洛必达法则的条件要求，不能盲目地套用公式，以免出现解题错误。

[   参   考   文   献   ]

[1]  骈俊生.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]  赵文博.洛必达法则巧解高考压轴题[J].中学生数理化（高二数学），2018（2）：9.

（责任编辑 黄桂坚）