高考立体几何命题规律及考向预测

2022-05-30高慧明

广东教育·高中 2022年5期

高慧明

【命题规律】

（1）高考对空间点、线、面位置关系的考查主要有两种形式：一是对命题真假的判断，通常以选择题、填空题的形式考查，难度不大;二是在解答题中考查平行、垂直关系的证明、常以柱体、锥体为载体，难度中档偏难.该部分的命题主要在三个点展开. 第一点是围绕空间点、直线、平面的位置关系展开，设计位置关系的判断、简单的角与距离计算等问题，目的是考查对该部分基础知识的掌握情况及空间想象能力;第二点是围绕空间平行关系和垂直关系的证明，设计通过具体的空间几何体证明其中的平行关系、垂直关系的问题，目的是考查运用空间位置关系的相关定理、推理论证的能力及空间想象能力;第三个点是围绕空间角与距离展开（特别是围绕空间角），设计求解空间角的大小、根据空间角的大小求解其他几何元素等问题，目的是综合考查利用空间线面位置关系的知识综合解决问题的能力.

（2）求解立体几何问题是高考的必考内容，每套试卷必有立体几何解答题，一般设2问，前一问较简单，最后一问难度较大，而选用向量法可以降低解题难度. 该部分的命题非常单纯，就是围绕用空间向量解决立体几何问题设计试题，考查空间向量在证明空间位置关系、求解空间角和距离问题中的应用，考查空间向量在解决探索性问题中的应用，其目的是考查对立体几何中的向量方法的掌握程度，考查運算求解能力. 试题大多是解答题，而且以使用空间向量求解空间角为主.

【命题预测】

考点1：球与多面体

【例1】在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，且底面ABC为正三角形，D为侧棱PA的中点，若PC⊥BD，棱锥P-ABC的四个顶点在球O的表面上，则球O的表面积为（）

A. 6？仔B. 8？仔C. 12？仔 D. 16？仔

【解析】在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，且底面ABC为正三角形，所以三棱锥P-ABC为正三棱锥，设AB的中点为E，连结PE，CE，如图所示，因为AB⊥PE，AB⊥CE，且CE∩PE=E，

所以AB⊥平面PEC.

由直线与平面垂直的性质可知AB⊥PC. 又PC⊥BD，AB∩BD=B，所以PC⊥平面PAB，则PC⊥PA，PA=PB=PC=2，则底面正三角形的边长为AC=BC=AB=2

设该正三棱锥的外接球球心为O，底面的中心为G. 由正三棱锥的性质可知PG⊥平面ABC.

则CG=）=.

由勾股定理可得PG

设外接球的半径为R，则

所以球O的表面积为S=4？仔R2=12？仔，故选C.

【例2】已知三棱锥B-PAC的侧棱都相等，侧棱的中点分别为D，E，F，棱AC的中点为G，PB⊥平面ABC. 且AB=4，∠ABC=120°. 若四面体DEFG的每个顶点都在球O的球面上，则该球面与三棱锥B-PAC侧面的交线总长为（）

【解析】如图所示，连结BG，∵AB=BC=BP=4，D，E，F，G分别为各棱的中点，∠ABC=120°，

∴BD=BE=BF=BG=2，∴点B即为球O的球心.

∵PB⊥平面ABC，∴球面与三棱锥B-PAC侧面的交线总长，故选C.

【评析】1. 涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系.

2. 求与球有关的“切”或者“接”球半径时，往往用到的方法有构造法或者直接确定球心.

3. 球体中常常用到以下结论：设球的半径为R，球的截面圆的半径为r，则球心到截面的距离为d=.

4. 求三棱锥的体积要注意如何选取底面和顶点. 因为三棱锥的每一个面都可以作为底面，每一个顶点都可以作为顶点.

5. 求几何体体积问题，可以多角度、多方位地考虑问题.在求三棱锥体积的过程中，等体积转化法是常用的方法，转换底面的原则是使其高易求，常把底面放在已知几何体的某一面上.

6. 求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体变为规则几何体，易于求解.

三棱锥A-BCD的外接球被平面MNP所截的截面面积为___________.

【解析】如图所示，设外接球球心为O，球半径为R，△BCD外心为O1，直线AO1与平面MNP的交点为O2=1，在△BOO1中，OB2=OO12+BO12，则R2=（1

【例3】设l，m是两条不同的直线，？琢是一个平面，以下命题正确的是（）

A. 若l∥？琢，m∥？琢，则l∥m

B. 若l∥？琢，m∥l，则m∥a

C. 若l⊥？琢，m⊥l，则m∥？琢

D. 若l⊥？琢，l∥m，则m⊥a

【解析】对于A：若l∥？琢，m∥？琢，则l与m平行、相交或异面，故A错误;

对于B：若l∥？琢，m∥l，则m∥？琢或m？哿？琢，故B错误，

对于C：若l⊥？琢，m⊥l，则m∥？琢或m？哿？琢，故C错误，

对于D：若l⊥？琢，l∥m，则m⊥a，故D正确，

故选：D

【评析】解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全移植到立体几何中.

【练习】已知？琢，？茁是两个平面，m，n是两条直线. 有下列命题：

①如果m∥n，n？奂？琢，那么m∥？琢;

②如果m∥？琢，m？奂？茁，？琢∩？茁=n，那么m∥n;

③如果？琢∥？茁，m？奂？琢，那么m∥？茁;

④如果？琢⊥？茁，？琢∩？茁=n，m⊥n，那么m⊥？茁.

其中所有真命题的序号是__________.

【解析】①如果m∥n，n？奂？琢，那么m∥？琢或m？奂？琢，故①不正确;

②如果m∥？琢，m？奂？茁，？琢∩？茁=n. 那么m∥n，这就是线面平行推得线线平行的性质定理，故②正确;

③如果？琢∥？茁，m？奂？琢，那么m∥？茁，这就是利用面面平行推线面平行的性质定理，故③正确;

④缺少m？奂？琢这个条件，故④不正确.

故答案为：②③.

考点3：空间中的线、面位置关系的判定与性质

【例5】在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2DC，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、CE向上折起，使A、B重合于点P .

（1）在折后的三棱锥P-DCE中，证明：PE⊥CD;

（2）若∠DEC=60°，且折后的三棱锥P-DCE的表面积是，求三棱锥P-DCE的体积.

【解析】（1）折后的三棱锥P-DCE如图所示. 取线段CD的中点F，连接PF，EF. 在△PDC中，PD=PC，F是CD的中点，所以PF⊥CD.

在△EDC中，ED=EC，F是CD的中点，

所以EF⊥CD. 而EF∩PF=F，

所以CD⊥平面PEF. 而PE？奂平面PEF，所以PE⊥CD.

（2）当∠DEC=60°时，三棱锥P

【评析】1. 证明线面垂直，就考虑证明直线垂直平面内的两条相交直线;而证明异面的线线垂直，很多题都要通过线面垂直来证明;对相交直线垂直的证明，一般考虑用平面几何里的方法.常见的有以下几种，若是等腰三角形，则底边上的中线与底边垂直;若是锥形、菱形（正方形），则对角线互相垂直;若是矩形，则邻边互相垂直;有时还用到以下结论：如下图，在矩形ABCD中，

2. 线面、线线垂直与平行的位置关系在面面平行与垂直位置关系的证明中起着承上启下的桥梁作用，依据线面、面面位置关系的判定定理与性质定理进行转化是解决这类问题的关键.证明面面平行主要依据判定定理，证明面面垂直时，关键是从现有直线中找一条直线与其中一个平面垂直，若图中不存在这样的直线应借助添加中线、高线等方法解决.

【练习】如图10所示，平面四边形ABCD由等边△ACD与直角△ABC拼接而成，其中AB⊥AC，tan∠C△ACD沿AC进行翻折，使得平面DAB⊥平面DAC，得到的图形如图（11）所示.

（1）求证：AB⊥AD;（2）求点D到平面BCE的距离.

【解析】（1）∵△DAC为等边三角形，且E为DA的中点，∴CE⊥DA.

∵平面DAB⊥平面DAC，平面DAB∩平面DAC=DA，CE？奂面DAC，

∴CE⊥平面DAB. ∵AB？奂平面DAB，∴ AB⊥CE.

又∵AB⊥AC，CE∩AC=C，AC，CE？奂平面DAC，∴ AB⊥平面DAC .

∵ AD？奂平面DAC，∴ AB⊥AD.

（2）∵等边△ACD的面边长AC=2.

∵ AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD=A，∴ AB⊥面ACD.

∵ AB⊥AC，AC=2，tan∠CA的中点，

∴ CE⊥DA，CE=DC

由（1）知，CE⊥平面DAB，∴ BE？奂平面DAB，∴CE⊥BE.

由AB⊥AD知，B

∵VB-CDE =VD-B

考点4：空间距离和角

【例6】已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠，若三棱锥P-ABC外接球的表面积为32？仔，则直线PC与平面ABC所成角的正弦值为（）

【解析】如图所示，设O1为△ABC的外心，O为三棱锥P-ABC外接球的球心，由PA⊥平面ABC，OO1⊥平面ABC，知PA∥OO1，

取PA的中点D，由三棱锥P-ABC外接球的表面积为32？仔，

得OP=OA=

故选C.

【评析】1. 异面直线所成的角，通过作平行线，转化为相交直线所成的角. 具体地，有以下两种方法：一是在其中一条上的适当位置选一点，过该点作另一条的平行线;二是在空间适当位置选一点，过该点作两条异面直线的平行线. 求异面直线所成的角，点的选取很重要. 2. 直线与平面所成的角就是直线与其在该平面内的射影所成的角. 求线面角的关键是找出斜线在平面内的射影，一般在斜线上的某个特殊的位置找一点，过该点平面的垂线，从而作出射影;3. 作二面角的平面角，有以下两种方法，一是在棱上适当位置取一点，过该点分别在两个面内作棱的垂线;二是通过作棱的垂面来作. 二面角是理科数学的重点考查内容，必须予以高度重视. 4. 求点到平面的距离除直接作出面的垂线外，常常用到等体积法. 5. 求空间的角与距离，总的原则是转化到同一平面内在三角形中进行求解.

【练习】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱長为1，E、F分别为C1D1与AB的中点，B1到平面A1FCE的距离为（）

考点5：折叠问题

【例7】如图，ABCD是正方形，点P在以BC为直径的半圆弧上（P不与B，C重合），E为线段BC的中点，现将正方形ABCD沿BC折起，使得平面ABCD⊥平面BCP.

（1）证明：BP⊥平面DCP.

（2）若BC=2，当三棱锥D-BPC的体积最大时，求E到平面BDP的距离.

【解析】（1）证明：因为平面ABCD⊥平面BPC，ABCD是正方形，平面ABCD∩平面BPC=BC，所以DC⊥平面BPC. 因为BP？奂平面BPC，所以BP⊥DC. 因为点P在以BC为直径的半圆弧上，所以BP⊥PC.

又DC∩PC=C，所以BP⊥平面DCP.

（2）当关键是搞清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口.（2）把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决.

【练习】在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，E为AD的中点，如图16，将△ABE沿BE折起，使得点A到达点P的位置（如图17），且平面PBE⊥平面BCDE

（1）证明：PB⊥平面PEC;

（2）若M为PB的中点，N为PC的中点，求三棱锥M-CDN的体积.

【解析】（1）证明：由题意，易E，交线为BE ∴CE⊥平面PBE，∴CE⊥PB. 又∵PB⊥PE， ∴PB⊥平面PEC.

（2）取BE中点O，连接PO，∵PB=PE，∴PO⊥BE

∴VM

【例8】已知直角梯形SBCD中，SD∥BC. BC⊥CD，SD=3BC=3CD=6，过点B作BA∥CD交SD于A（如图18），沿AB把△SAB折起，使得二面角S-AB-C为直二面角，连接SC，E为棱SC上任意一点（如图19）.

（1）求证：平面EBD⊥平面SAC;

（2）在棱SC上是否存在点E，使得二面角E角S-AB-C的平面角，又因为二面角S-AB-C为直二面角，所以∠SAD=90°，即SA⊥AD，又AB∩AD=A.

所以SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BD，由题意可知四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.

又因为AC∩SA=A，所以BD⊥平面SAC，又BD？奂平面EBD，所以平面EBD⊥平面SAC.

（2）存在，连接OS，OE，以A为，又知点E在线段SC上，

设 ■

所以∠SOE为二面角E-BD-S的平面角，

【评析】解决探究某些点或线的存在性问题，一般方法是先研究特殊点（中点、三等分点等）、特殊位置（平行或垂直），再证明其符合要求，一般来说是与平行有关的探索性问题常常寻找三角形的中位线或平行四边形. 对于是否存在问题，首先要分析条件，看结论需要的条件已有哪些，分析欲使结论成立，还需要什么条件，结合所求，不难作出辅助线.

【练习】如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是平行四边形，BC1⊥C1C，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，且E，F分别是BC，A1B1的中点.

（1）求证：EF// 平面A1C1CA;

（2）当侧面A1C1CA是正方形，且BC1=C1C时，

（ⅰ）求二面角F-BC1-E的大小;

（ⅱ）在线段EF上是否存在点P，使得AP⊥EF？若存在，指出点P的位置;若不存在，请说明理由.

【解析】（1）取A1C1中点G，连FG，连GC.

（2）因为侧面A1C1CA是正方形，所以A1C1⊥C1C. 又因为平面A1C1CA⊥

（ⅱ）假设在线段EF上存在点P，使得AP⊥

【例9】如图，四棱锥P-ABCD中，CD⊥平面PAD，AB∥CD，AB=1，CD=2，M为棱PC上一点.

（1）若BM⊥CD，证明：BM∥平面PAD;

（2）若PA=PD=AD=2，且PA∥平面BMD，求直线PC与平面BMD所成角的正弦值.

【解析】（1）取CD中点N，连接MN和BN，QAB∥CD，CD=2AB，且N为CD的中点，∴ AB∥DN且AB=DN，