培养高中生数学高阶思维的策略

梁宏晖

摘 要：锻炼学生数学高阶思维能力是培养学生数学学科核心素养的重要途径，可以帮助学生有能力去分析问题的本质，形成良好的思维习惯，带着严谨和批判的观点去思考问题。数学高阶思维能力的培养需要师生协作，策略包括教师的教学设计策略和学生的学习策略。

关键词：数学高阶思维;教学设计策略;学习策略

什么是数学高阶思维？苏州大学周超教授认为，高阶思维是指具有灵活性、敏捷性、独创性、深刻性和批判性的思维。对高中数学而言，高阶思维就是学生在已获得的数学知识的基础上，学习数学概念和符号、数学定理和公式等内容以及解决数学问题的过程中，所表现出的深刻和透彻理解知识、准确和迅速提取知识、灵活和广泛运用知识的特点。培养学生的数学高阶思维，能够让其大脑得到充分的锻炼，越用越灵活，并能够适应现代这个节奏快、竞争激烈的社会。因此，培养学生数学高阶思维能力已成为当下高中数学教育工作者们关心和探讨的问题。

《普通高中数学课程标准》明确指出，数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，能够综合体现学生具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观。数学常常被喻为“思维的体操”，良好的思维能力能够帮助学生深刻透彻地理解数学知识，迅速准确地提取数学知识，灵活广泛地应用数学知识。数学教育的核心是培养数学思维能力。因此，培养学生核心素养的重要途径是实施数学思维教育，这是实现素质教育中人的全面发展的要求[1]。

那么，如何培养学生的数学高阶思维能力呢？

一、培养高中生数学高阶思维的教学设计策略

（一）促进深刻、透彻理解知识的教学设计策略

基本的数学知识包括数学概念、数学定理和公式等。学好数学的关键是加强数学概念的教学，这也是培养学生数学高阶思维的关键。高中数学学习内容的重要组成部分是以数学概念为基础来学习数学定理和公式的，这是培养学生数学高阶思维的主要途径。

1.密切联系生活，弱化数学知识的抽象性

数学概念、数学定理等都具有抽象性和具体性，但是许多数学概念的形成以及数学定理的证明和公式的发现都是因为实际生活的需要。如三角学的内容是由于以前计算田地面积的需要、对数的发明是由于天文学家们计算的需要等。很多数学概念以及数学定理的原型都可以在现实生活中找到。在教学时，教师可以举一些生活实例，将一些生活问题转化成为数学问题来研究。教师不是直接给出概念的内容，而是让学生去经历这些数学概念形成的过程，不是被动接受概念，主动地探索概念，主动地建构知识体系的过程有助于学生更加深刻和透彻地理解数学概念[2]。

2.贯通数学语言，强化数学知识的可感性

数学知识除了具有抽象性和具体性，还具有可感性和约定性。可感性就是在生活背景中可以准确感知这个知识的模型，比如，表示平行四边形、梯形、长方体有特定的图形语言等。约定性就是这个概念是约定俗成的，大家一致认同的。教师在上数学课时，要结合日常语言、教学语言和数学语言将抽象难懂的教学内容转化成为学生容易理解的数学教学语言[3]。

数学语言根据不同的表述形式可分为数学符号、数学文字和数学图形这三种语言。比如，在高中数学必修二“立体几何初步”这一章节中，学习空间图形的基本位置关系时，包括点与线、点与面、线与线、线与面、面与面这五种，它们的位置关系可以分别用文字、图形和符号三种语言来表示，教师要着重帮助学生理解图形语言和符号语言，引导学生灵活地转化各种数学语言[4]。

3.引入数学史料，强化数学知识的可再发现性

数学定理和公式在人类社会中是客观存在的，但是最开始没有把它们表示成简约有逻辑的形式，是很多从事数学研究的研究者们经过尝试、证明等得到的，所以数学定理和公式的得出都有章可循。教师要让学生参与到数学定理和公式的发现过程，学生不是作为“旁观者”去观看结果的直接呈现，而是积极的“参与者”。学生参与的过程就是在教师的引导下，运用所学知识去主动建构，而不是被动接受。这种方法相较于传统的教学方法，如“填鸭式”“灌输式”等更能激发学生的求知欲。学生从不同的角度和层面去发现、接受、理解所学内容，达到对所学知识理解得深刻和透彻的程度，达到数学高阶思维的初级阶段。

（二）促进准确和迅速地提取知识的教学设计策略

1.构建思维导图，强化数学知识的关联性

思维导图从一个数学概念、数学定理或者数学公式等中心词汇出发，以学生自己的思维方式向外延伸出与这个中心词汇相关的其他内容，使之成为一个网络图，一个节点连着一个节点，对相关知识的回忆可以顺着线、顺着节点逐一回想起来。制作思维导图的过程，也就是对所学知识进行梳理和加工的过程，以此加深学生对所学知识的理解程度，在解决数学问题的时候，能准确和迅速地提取数学知识，这对培养学生的数学高阶思维发挥着很大的作用。

2.剖析典型例题，强化数学知识的应用性

高阶数学思维不仅仅要求正确率，对解决问题的速度也有要求。特别是在限时的练习和考试中，有些学生平时的练习题和作业等做得很不错，正确率很高，但是在数学考试中会出现“平时做得出，考时没有思路”的情况。主要原因就是在知识提取的过程中出现故障，考试时难免出现紧张情绪，如果对知识掌握不牢固，知识之间联系不紧密，在紧张的情况下很容易想不到解题思路。当然，在实际的教学过程中也会出现教师仅仅关注数学定理和公式的应用而忽略了其发现和证明过程的现象，导致学生对数学定理和公式的应用出现问题。有的学生会大概记住数学定理和公式的内容，只知其然，而不知其所以然，结果在使用定理和公式时就出现印象模糊和使用错误的现象，这就是弊端。

3.引导主动探究，弱化数学知识的逻辑性

建构主义强调让学生主动学习、自己建构，并且认为这样获得的知识对学生来说才是有意义的知识。因为學生自己探究发现的知识在头脑中保存的时间和清晰度更加有保证，在提取时的速度和准确度才会更高。学生在主动探究和交流的过程中想法、角度不同，就会出现碰撞，在交流和磨合的过程中加深自己对知识的理解，在头脑中建立自己的逻辑性。如习题课的教学、定理内容的发现、证明过程等都可以采用引导学生主动探究的策略。这样不仅能够保证学生上课的注意力，还能在探究讨论的过程中潜移默化地培养学生准确和迅速地提取知识的能力。

（三）促进灵活和广泛地应用知识的教学设计策略

直到20世纪80年代，“问题解决”的思想才传入我国，引起教育界广泛关注，并成为中小学教学的重点。针对数学这个科目，学生是否拥有高阶思维直接体现为他们在解决数学问题时是否准确、高效。数学教育的最终目的就是解决问题，即利用已有的知识结构和思维结构，对抽象的形式思想材料进行加工的过程。如果说应试教育解决的是单纯的考试题目问题，那么素质教育解决的是包括生活、工作和学习中的问题[5]。

1.甄别问题类型，弱化数学问题的难度

高中数学内容本来就丰富又复杂，区分数学问题类型的过程就是一个梳理知识的过程，哪一个知识点适合解什么样的题目，哪一类的题目可以运用什么样的知识点，时间久了养成习惯，学生就可以自觉地对知识点和数学问题进行分类。知识应用的程度就可以得到保证。比如，在学习二面角的平面角的求法时先给学生介绍目前学习的知识能够求二面角的三种解法：定义法、垂面法和垂线法。再分别介绍这三种方法的使用情况，那么学生在解决相关的二面角的题目时就会判断这个题目可以根据哪个方法做出来。

2.不同角度分析，提升数学问题的思考力

一个学生拥有数学高阶思维，其中重要的一个特点是能够灵活和广泛地应用数学知识，体现为能够从不同的角度去分析题目、解决问题，找出一个题目的不同解决方法。在上课时学生的思路和想法往往并不总是按照教师预设的想法发展的，有时会出现教师意料之外的想法。这种思路是学生当前认知发展中的真实状态，是思维遇到障碍的关键所在，能够暴露出学生对某一个知识点的理解可能有些片面或者错误。这种思路无论是对学生来说还是对教师来说都是宝贵的资源。因此，教师不能一味地否定学生的想法，要抓住时机帮助学生建构自己的知识体系。面对学生超预期的思路，由于不同学生考虑问题的方式和习惯不同，教师可以通过翻转课堂把不同学生的想法呈现出来，既能引发学生的学习兴趣，又能给学生提供不同的解题思路。

二、培养高中生数学高阶思维的策略

（一）端正学习态度

学生要有一个积极主动的学习态度。学生学习的深度、广度、速度和效率很大程度上取决于学生的学习态度。家庭环境、班主任管理、班级归属感和同伴关系等多种因素都会影响学习态度的好坏，所以，需要家长、学校、教师和学生共同努力去培养良好的学习态度。从学生自身的角度来讲，要提高课堂的参与度，积极回答问题，跟着教师的思路走。

（二）培养预习习惯

为了增加听课的针对性，能够从一节课中迅速地抓住教师所讲内容的重难点，这就需要学生在课前养成良好的预习习惯，即提前自学教材知识，自主思考并解决问题，在遇到一些超出自己能力范围的问题时，可将其记录下来，以便带着问题去听课。比如，在高中学习函数的概念时，函数的定义和初中有所不同，初中是“变量说”，高中则是“对应说”。为什么对于同一个数学概念有不同的定义呢？两种定义之间有何区别？为什么函数的概念可以发生变化呢？函数有哪些不可以改变的性质呢？通过这样的反思和思考，学生对函数概念的理解就有一个更高层次的提升，不再是仅仅记住函数这个概念的数学语言。这样的理解记忆比机械记忆在大脑中存储的时间更长，且准确率也会提高。

（三）学会课后总结

学生在学习完新的数学知识后，无论是数学概念、数学定理还是数学公式等都要对其进行整合和总结。对于数学概念来说，其前后连贯性没有数学定理和数学公式那么明显，对数学概念的深刻理解主要是在教师的引导下了解这个概念提出的背景，这个概念被抽象和概括出的过程，理解这个概念的内涵和外延，理解与这个概念有关联的其他概念的区别和联系。比如，在高一年级学习的指数函数，最开始指数形式是正整数的形式，后面是推广到整数，再推广到整个实数的范围就是一个上位学习的过程。将之前认知系统中已有的知识纳入新学习的范围更广、包括度更大的知识中，让之前学习的知识得到升华，新学习的知识得到巩固。

（四）建构思维导图

首先，学生要在教师的指导下养成画思维导图的习惯，画思维导图的过程就是让大脑无限次地联想，填充知识的空白，让所学知识更加完整，思维更加灵活。一个好的思维导图能够把各个知识点之间的关系清晰地反映出来，能够帮助学生将学习过的知识进行梳理，以便实现知识间的迁移和重组等。

其次，学生在课后做练习或者自己复习的过程中，要充分调动自己的知识去分析题目，试着探寻这个题目的不同解决方法来巩固思维导图的知识网络。虽然得到的思路可能与预期的解题方法有些偏离，但是那才是对自己真正思维过程的反映，也是自身努力的成果，这个思路可能不适用这个题目，但它可能是另外一种类型题目的解题思路。

（五）养成反思习惯

数学思维活动的核心动力是反思。作为一种积极的探究行为，反思可以帮助学生在数学学习过程中沟通新旧知识间的联系，深化对知识的理解。在遇到问题时，学生会出现“顿悟”，突然灵光一现想到了方法，但是由于没有通过反思将这种方法或者思路在脑海中加以巩固，根据艾宾浩斯的遗忘规律，时间长了就会出现遗忘的现象，影响对知识提取的准确和迅速。反思的过程可以发生在课前预习中、上课进行时、下课复习时，以及解决数学问题的过程中。如果能养成在学习的整个过程中经常进行反思的良好习惯，那么对学生的反思能力以及学习效率的提高都有很大的帮助[6]。

结束语

钱学森教授曾一语中的地指出：“教育工作的最终机制在于人脑的思维过程。”高阶思维能力的培养不是一蹴而就的，作为一种数学思维方法，它是在不断解决数学问题的过程中去不断总结数学经验，久而久之形成的。高阶思维能力一旦形成，有助于帮助学生解决不同的数学问题。高阶思维能力的培养需要师生的共同配合。一方面，教师应该不断地总结、反思和改进自己的教学，探寻开展高阶思维训练的方法与途径;另一方面，学生应该培养积极钻研的学习习惯，自主学习，自主探索，乐学善学，学有所得，不断提升数学思维能力和学科素养。唯有如此，数学的课堂才是精彩的，学生才能走得更远更好。

参考文献

[1]康文亮.高中生数学建模思维的培养研究[J].教学管理与教育研究，2022，7（4）：67-68.

[2]王述发.培养高中生数学创造性思维[J].清风，2021（22）：58.

[3]李振國.核心素养视域下高中生数学抽象思维能力的培养[J].教学管理与教育研究，2021（18）：66-68.

[4]陈蓓.高中生数学核心素养评价研究[D].南京：南京师范大学，2017.

[5]梁蔚.培养初中学生数学素养的相关思考[J].当代家庭教育，2019（25）：89.

[6]张玲玲.设计有效问题，引领数学教学[J].考试与评价，2021（1）：29.