做数学：促进深度理解的方式变革

谢海英

[摘  要] “做数学”让学生的数学学习从被动接受转向主动建构。“做数学”是促进学生深度理解的一种方式变革。“做数学”以“做”为根基，注重引导学生感受体验;“做数学”以“思”为核心，注重引导学生感悟反思;“做数学”以“融”为目的，注重引导学生积淀内化。在“做数学”的过程中，“做”是关键，“思”是核心，“融”是目的。“做思共生”“学创一体”是“做数学”的最高境界。

[关键词] 做数学;深度理解;方式变革

数学教学倡导学生“动手做”，“动手做”不是机械地、盲目地操作，而是要融入学生的思维和想象。因此，“做数学”就其本质而言，就是学生的一种“具身认知”活动。在“做数学”过程中，教师要坚持问题导向，引導学生发现问题、提出问题，从而让“做”具有针对性、实效性，同时，还要引导学生大胆猜想，并用适当的方式展开验证。在“做数学”的过程中，“做”是关键，“思”是核心，“融”是目的。“做数学”是促进学生深度理解的一种方式变革。“做思共生”“学创一体”是“做数学”的最高境界。

一、以“做”为根基，注重引导学生感受体验

“做数学”的本质是让学生的感觉器官与数学学习对象亲密接触。传统的数学教学，往往是“纸笔”教学。这样的“纸笔”教学，重认知、轻实践，重理性、轻感性，学生的数学学习也窄化、异化为一种逻辑的运演。“做数学”，面向学生的认识对象本身。通过“做数学”，对压缩形态的数学进行解压缩，从而让数学知识恢复到其产生时的鲜活形态。这种形态也就是人类最初探索数学知识的形态。

因此，“做数学”突出“做”是说、视、做、用等的知觉特征和行为特征，往往用感受、体验、领悟等动词来刻画知觉目标和行为目标。“做数学”的类型非常丰富，比如“收集信息”“现场观察”“数学实验”“数学游戏”“数学操作”“数学制作”等。“做数学”充分体现了“智者明法，慧者通道”的数学学习原理、秩序，因此，“做数学”是学生理解性学习的基本方式。何谓“明法”，也就是说，学生的“做数学”要“合规律性”;所谓“通道”，是指学生的“做数学”要“合目的性”。比如教学“长方体和正方体的认识”（苏教版六年级上册）这部分内容时，教师通常会让学生带一些长方体状的物体。更有教师给学生提供现成的长方体状的物体，引导学生从面、棱、顶点等角度来认识长方体。这样的教学，仅仅让学生的认知停留在视觉层面。笔者在教学中给学生提供了丰富的结构性、半结构性、劣构性的素材，让学生动手做一个长方体。学生首先选择小棒搭建长方体框架;其次要选择相应的面，将长方体框架用纸糊起来。在“做数学”的过程中，学生不仅仅要“动眼观察”，更要“动手操作”“动脑思考”“动嘴表达”。学生的“做数学”活动成为实实在在的具身性认知活动，这样的活动能让学生的数学学习真正发生。

“做”是学生数学学习的根基，学生的智慧在指尖流淌。瑞士著名教育心理学家皮亚杰认为，儿童的思维是从动作开始的，切断动作和思维的联系，思维就不能得到发展。在学生“做数学”的过程中，教师要注意“变量的控制”“实证的检验”“过程的监控”“结论的梳理”等，从而让“做”能实实在在地积累学生的数学基本活动经验，能让学生感悟到数学基本思想方法。

二、以“思”为核心，注重引导学生感悟反思

如上所述，“做数学”不是机械地做，而是融通了学生的思维和想象。“做数学”要以学生的“思”为核心，注重引导学生感悟反思。从某种意义上说，学生的数学学习就是“面向思的事情”（海德格尔语）。作为教师，要引导学生“运思”，让学生做到思之有向、思之有序、思之有理。“做”为学生的“思”提供了外援帮助，“思”为学生的“做”提供了内源支撑。

在“做数学”的过程中，教师要引导学生大胆猜测、小心求证。从某种意义上说，“做”既是一种积极的尝试，又是一种积极的创造。“思”能为学生的“做”指明方向，从而减少学生“做”的失误和差错，能有效提升学生“做”的品质。比如教学“圆柱的侧面积”（苏教版六年级下册）这一部分内容时，笔者引导学生分小组操作：一个小组将圆柱的侧面商标纸“剪”（撕）下来，另一个小组则将一个长方形或平行四边形纸“卷”成圆柱。通过这样的一“剪”（撕）、一“卷”两个操作，催生学生产生“比较圆柱的侧面积与平行四边形或长方形的底、高、面积等之间的关系。在“卷”的过程中，学生发现，同样一张纸还可以“卷”成两种“不同形态”的圆柱。由此，激发学生的数学化思考：同一张纸“卷”成的圆柱，它们的侧面积相等吗？它们的表面积相等吗？它们的体积相等吗？这样的连续发问，已经超越了学生的已有认知，同样也超越了学生的当下认知，其将思维触角延伸、拓展到了未知的领域。这样的一种发问，为学生后续学习“圆柱的体积”打下坚实的基础。在“做数学”的过程中，学生的数学化思考通常有两个层次，一是现象性思维，即“所学即所看”“所学即所听”;二是本质性、关系性思维，即“所学即所思”“所学即所想”“所学即所探”。其中，第一层思维是一种低阶认知、低阶思维，而第二层思维则是一种高阶认知、高阶思维。“做数学”，就是要将学生的思维、认知从低阶引向高阶，从而实现学生数学学习的自我跨越，实现学生数学学习的自我跃迁。

以“思”为核心，要求教师找准学生数学知、行的契合点，沟通学生的数学思维与行动和数学实践与理论。在学生“做数学”的过程中，教师要引导学生对事实进行归纳、对结论进行推导、对规律进行发现、对概念进行抽象等。真正的“做数学”应当是学生“做”与“思”的交互统一。在“做数学”的过程中，学生要做到“做思共生”“做思互补”“做思和谐”“做思圆融”。

三、以“融”为目的，注重引导学生积淀内化

“做数学”的课堂教学要强化学生做与思的融合，强化学生数学活动经验的积淀与数学思想方法的感悟的融合。以“融”为目的，能有效地提升学生的学习力，发展学生的数学学科核心素养。在“做数学”的过程中，学生的手与脑相互协调。“做”能打开学生的“思”路，“思”能拓宽学生“做”的空间。“做思共生”就是让学生的心智、身体与环境互动，进而成就学生的“有意义学习”。

“做数学”中的“做”突出了学生数学学习对象的本体性特征，而“做数学”中的“思”，则突出了理性的数学思考。“做”是数学知识的展开，而“思”则是对学习对象的一种抽象、概括，是一种“必要的凝聚”。“做”是一种生活化，而“思”则是一种数学化。学生的数学学习就是做与思的相互转化，因而也就是在数学化与生活化之间来回穿行。借助这种穿行，学生的数学认知、思维等获得螺旋式上升。比如教学“分数的基本性质”（苏教版五年级下册）这一部分内容时，很多教师都借用“分数条”引导学生操作，让“平均分的份数”和“表示的份数”同时扩大，从而让学生直观看到“分数的大小不变”。笔者在教学中同样借助“分数条”，但对学生的操作却进行放大处理。由此，学生在操作中出现这样的几种情况：一是平均分的份数扩大，学生能直观看到所表示的分数在变小;二是表示的份数扩大，学生能直观看到所表示的分数在变大;三是平均分的份数和表示的份数同时扩大，且扩大相同的倍数，学生能直观看到所表示的分数大小不变。在这个过程中，学生边做边思、边思边做，做与思融为一体。这样的“做数学”，还让学生展开了积极的联想，比如“被除数扩大商扩大，被除数缩小商缩小”“除数扩大商缩小，除数缩小商扩大”等。在类比过程中，学生对“分数的基本性质”的理解更加深刻，他们认识到“分数的基本性质”与“商不变的规律”在本质上是一致的。

以“融”为目的，要让“做”切入学生思维的瓶颈处，切入学生思维的缺失处，切入学生思维的抽象处。学生的“做”与“思”相伴相生、相辅相成、相互促进，进而达到手脑互动、做思统一、知行合一的境界。“做数学”让学生的数学学习从被动接受转向主动建构，呈现出一种和谐、愉悦、圆融、互摄的样态。