回顾与审思：写于两本著作加印之时

摘要：认识的发展离不开总结、反思和再认识。《小学数学教育的理论与实践》和《数学深度教学的理论与实践》两部著作的论题“如何认识数学教育的基本任务”“如何有效地实现数学教师的专业成长”“走向核心素养与为学生思维发展而教的关系”“走向核心素养与深度教学的关系”等，具有重要的理论和现实意义。通过两部著作的比较，特别是异同点的分析，可以看到在这些论题上认识的发展与深化。这对课程改革的深入发展也有重要的借鉴和启示意义。

关键词：数学教育;深度教学;核心素养;思维发展;课程改革

一周内接到了两次电话，分别来自华东师范大学出版社与江苏凤凰教育出版社，得知《小学数学教育的理论与实践》与《数学深度教学的理论与实践》两本书已售完，并决定加印或再次加印。这两本书是笔者较新的著作（分别出版于2017年和2020年），能得到读者认同当然是一件很开心的事，同时也感到一定的压力：这些书是否真的有一定的价值，从而值得再次印刷？

这事实上也是笔者近期一直在思考的一个问题：毕竟年事已高，并已发表了近500篇文章，出版了35本专著，是否应该适可而止？为此，笔者还专门找来了荷兰著名数学家、数学教育家弗赖登特尔的著作《数学教育再探——在中国的讲学》与邱学华老师的新著《邱学华怎样教儿童学数学》，想了解一下两位作者在年过八十后都写了些什么，以期获得启示和教益。

这是笔者在这些年中一直坚持的一个立场：宁做批评，决不媚俗;但求深刻，切忌装腔。但是，自己还能作出一些新的有意义的工作吗？又应主要做些什么呢？这也许就是一件应当立即摆上日程的事，即“回顾与审思”，特别是看一看自己有没有讲错的，又有什么需要特别强调的。另外，还应督促自己不要出现这样的常见弊病，即不断重复已讲过的话，倚老卖老，自我吹嘘。并希望自己能逐步实现这样一个变化，即相对于单纯的“深刻”而言，变得更加“简单”;除去单纯的“批评”以外，也能给人（特别是年轻人）更大的启示与鼓励。

更一般地说，这显然也可被看成认识发展的普遍规律，即离不开总结、反思和再认识;当然，在这一过程中出现一些错误或片面的认识也属正常，关键则在于我们是否具有足够的自觉性，包括能否切实做好“化多为少，化复杂为简单”。在笔者看来，这也正是我国新一轮数学课程改革亟待加强的一个方面：尽管这次改革已有了近20年的“历史”，实际过程也不能说一帆风顺，数学课程标准更是经历了多次修订，但是，除去对“成绩”的强调以外，我们是否有过认真的总结、反思与再认识？

后一论述似乎有点偏题，还是先回到即将再次印刷的这两本书吧。

一、聚焦《小学数学教育的理论与实践》

任何一本书的写作都有特定的背景，从这一角度分析，可以较好地了解作者的写作意图，包括对著作的价值作出具体判断;与此相对照，从发展的角度考察，则容易看出它的优点与局限性，包括它在现时是否仍有一定的积极意义。

例如，这事实上也是笔者在编撰《郑毓信数学教育文选》①时特别注重的一点，即文章的启示意义。这并不是一种历史的考察，而是以当前的读者为主要对象，即希望选人的文章对当前的数学教育教学工作仍能发挥积极的作用。

也正是从同一角度分析，笔者以为，尽管《小学数学教育的理论与实践》出版已有5年的时间了，它的两个论题在当前仍可说具有很大的重要性，即：我们应当如何认识数学教育的基本任务？又如何能够有效地实现自己的专业成长？

先来看这一著作的后一论题。这正是笔者2010年给广大一线教师的一个具体建议：立足专业成长，关注基本问题。因为，专业成长是我们做好教学，包括成功实施课程改革的根本保证。这不是对时髦口号的简单追随，而是我们应当始终围绕数学教育的基本问题进行分析、思考，从而通过逐步积累不断取得新的进步。书中在这一方面的各个具体主张（见书的第二部分）在当前应当说仍然是有效的，尽管其中的一些或许已不再具有当年那样的重要性和紧迫性，也有一些需要进一步研究。

比如，书中关于数学教学方法，特别是情境设计、动手实践、合作学习等“新的”教学方法的分析，或许就可以被看成前一方面的实

①参见：郑毓信.郑毓信数学教育文选[M].上海：华东师范大学出版社，2021。

例：相关论述在当时应当说具有很强的“拨乱反正”性质，即有助于我们纠正在教学方法改革上的“形式主义”倾向，但就现实而言，可以说已成为人们的共识——当然，读者仍可以通过阅读在这方面作出自己的分析和总结，从而不仅有益于提升自己的理论水准，也能有效地防止现实中经常可以看到的这样一个现象，即人们往往会不自觉地重复过去的错误，尽管后者的表现形式可能有所不同。

再如，数学教学的现实发展，显然也已十分清楚地表明了练好“基本功”的重要性。或者说，作为数学教师，我们应当努力提高自己的教学能力，特别是，应当善于提问，从而在充分发挥主导作用的同时，能很好地落实学生在学习活动中的主体地位;还应当善于帮助学生实现必要的优化，这事实上也可被看成数学学习本质所在。当然，我们也应当密切联系教学实践，在这一方面作出新的思考和研究。例妆口，就数学教学中的“问题引领”而言，以下是一些特别重要的问题：我们应当如何处理“生问”与“师问”、“大问题”与“问题串”之间的关系？我们又应当如何超出知识的学习，从更广泛的角度认识“问题引领”的意义？——对此，也可参见笔者发表在《小学数学教师》2021年第3、第4期的《“问题引领的数学教学”：问题与思考》一文。

总之，书中的相关论述仍可被看作为一线教师实现专业成长指明了努力的方向，特别是，我们应当很好地处理理论学习与教学实践之间的关系，努力做好“理论的实践性解读”和“教学实践的理论性反思”，因为这在很大程度上可以被看成一线教师实现专业成长的关键;我们还应当抓好“案例分析”這一重要的切入点，从而切实防止理论与教学实践相互分离的现象。

此外，希望读者在阅读时也能通过积极的思考做好“消化与理解”的工作，包括联系实际教学，在这一方面作出新的思考和研究。例如，在笔者看来，以下就是这一方面特别重要的两个问题：究竟什么可以被看成数学教育的基本问题？什么又是这一方面的主要结论？——对此，也可参见《数学深度教学的理论与实践》的“代序”。

再转向这一著作的前一论题。笔者在这一方面的核心观点是“为学生思维发展而教”。笔者对这一主张进行论证的基本路径是：以“走向核心素养”这一总体性教育思想作为分析、研究的直接基础，包括我们应当如何把握数学核心素养的具体含义。从现今的角度看，书中的观点（见书的第一部分）应当说也是正确的，尽管对其具体内容也有必要作出进一步的分析、研究，从而才能在现实中发挥更大的作用。

比如，书中关于与小学数学直接相关的各个具体数学思想的分析对实际教学工作显然就有直接的指导意义，包括这样两条基本的原则：第一，作为“数学思想”的具体分析，重要的并不在于如何无一遗漏地列举出所有相关内容，乃至如何对此作出严格的层次区分，而在于更加重视如何针对具体的知识内容揭示其所蕴含的数学思想和数学方法;而且，相对于“戴帽穿靴”式的纯形式追求，又应更加注重如何以相关的认识带动、促进具体知识内容的教学，从而将数学课真正“教懂、教活、教深”——对此，详可参见笔者1991年在广西教育出版社出版的《数学方法论》一书。第二，除去立足具体内容进行分析以外，又应十分重视跳出细节，从更高的层面进行分析，真正做好“居高临下”，包括总体性的综合分析，以及“高层次数学思维”的渗透与指导。例如，“算术（代数）思维”与“几何思维”究竟有什么不同？它们对促进学生的思维发展各有什么特殊的作用？这两者又有什么共同点？或者说，什么可以被看成小学数学教学的主要聚焦点？再者，我们显然也应从“居高临下”这一角度更好地理解书中所提到的各个数学思想。例如，比较与“一一对应”的思想，从形式上看，似乎仅涉及自然数的认识，事实上，却具有更加普遍的意义，我们甚至应当将“比较”看成小学数学教学中最重要的概念之一。当然，这也是我们在教学中应当十分重视的问题，即针对学生的年龄特点很好地把握教学的“度”，如对“比较”这一概念具体含义的不同解读。

还应强调的是，依据前一原则，我们显然也可以更好地理解这一部分的论述为什么只集中于“数的认识”和小学几何内容的教学，而没有涉及“统计与概率”和“综合与实践”这两个领域。

另外，后一原则是我们在讨论“小学数学教学的大道理”时也应当特别重视的一点，从而才能真正起到“居高临下”的指导作用——对此，也可参见笔者发表在《教学月刊·小学版（数学）》2021年第5期的《小学数学教学“大道理”之深析》一文。有兴趣的读者还可以从这一角度对数学课程标准中提及的各个“核心概念”或“核心素养”作出自己的分析，包括与我国著名数学家、计算机科学家张景中院士的相关论述进行直接的比较。①因为在笔者看来，由此我们即可更清楚地认识到加强研究对切实做好数学课程标准修订工作的特殊重要性。

最后，需要再次强调的是，作为一线教师，我们也应当切实加强自身在这一方面的独立思考，包括结合教学对相关的数学思想作出进一步的梳理;还应当坚持围绕数学教育的基本目标进行分析、思考，因为只有这样，我们才能很好地弄清努力的方向，特别是，究竟什么可以被看成做好数学教学的关键。后者也正是笔者的另一著作《数学深度教学的理论与实践》的直接主题。

二、从《小学数学教育的理论与实践》到《数学深度教学的理论与实践》

通过两部著作的比较，特别是异同点的分析，可以更好地理解后者的意义，包括在前者出版的三年后，笔者为什么又要围绕“数学深度教学”撰写一部新的著作。

第一，对“核心素养”的强调可以被看成这两部著作的一个重要共同点，而两者的区别主要在于：撰写《小学数学教育的理论与实践》时，“走向核心素养”还是一个较新的主张，从而即使是最基本的一些理论问题，也有深入研究的必要，如这一主张与人们早已熟悉的“素质教育”有什么不同，什么又是实现相关目标的主要途径，特别是，相对于传统的学科分类而言，我们现在是否應当更加强调所谓的“整合教育”，等等;与此相对照，撰写《数学深度教学的理论与实践》时，经过这些年的探索，人们在这些方面的认识则可说已逐步趋于一致，特别是，就数学教育而言，这可以被看成“走向核心素养”给我们的主要启示，即应当跳出单纯的学科视角，从更广泛的角度认识数学教育的作用与任务。由此，这便是两部著作最重要的共同点，即认为数学教育的主要任务是促进学生思维的发展，特别是，应当帮助学生逐步地学会更清晰、更全面、更合理、更深入地思考，也即努力提升他

①参见：张景中.张景中教育数学文选[M].上海：华东师范大学出版社，2021。

们的思维品质。

除去纯理论的研究以外，我们当然也应十分重视如何能在教学中很好地加以落实。从这一角度，我们也可以看到两部著作的又一区别：尽管《小学数学教育的理论与实践》已从教学实践的角度进行了初步的探索，包括明确地提出了“用‘深度教学落实核心素养”的思想（见书的第五章），但在《数学深度教学的理论与实践》中，“数学深度教学”才成为直接的主题，包括从理论与实践这两个方面对此提供了较为系统、完整的分析。

第二，除去局限于从狭隘的学科视角进行分析以外，这也是现实中我们应当注意防止与纠正的又一错误倾向，即满足于简单套用“大教育”的论述，却未能针对数学教育的特殊性作出更加深入的分析、研究。具体地说，尽管我们的确可以由一般教育领域中关于“深度学习”的研究获得关于如何做好“数学深度教学”的有益启示，但这无疑是一种过于简单化的认识，即认为我们作为数学教育工作者所需要的只是将相关的一般性理论直接搬用到自己的领域，甚至还可以按照以下的统一模式解决各个学科如何做好“深度学习”的问题：“一般性理论十学科实例”。

在这一方面，我们还应清楚地看到这样两个事实：

（1）相应的一般性理论事实上有一些明显的不足。例如，一般性理论指出：“深度学习‘深在哪里？首先‘深在人的心灵里，‘深在人的精神境界上，还‘深在系统结构中，‘深在教学规律中。”①这一论述清楚地表明，如果相关研究局限于一般的分析，未能深入各个学科中，就很容易出现这样的弊病，即形式上十分“高、大、上”，事实上却十分空泛。再如，任何稍有一点教学经验的人也一定会有这样的认识：如果教师未能做好“深度教学”，学生就不可能真正做好“深度学习”，因此，相对于“深度学习”而言，我们显然应该给予“深度教学”更大的重视。

（2）尽管我们不应将“数学地思维”与“通过数学学会思维”绝对地对立起来，帮助学生很好地做到“三会”应当说也有一定的合理性，但这两者主要地又都可以被看成狭隘专业视角的体现，因为，数学思维不是唯一合理的思维形式，所说的“三会”也并非适用于所有的工作与场合。与此相对照，为了让所有学生通过数学学习都能有真正的收获，特别是，除去基本的数学知识与数学技能以外，在离开学校后还能留下一些真正有用的东西，我们应当牢固地树立这样的认识：数学教学必须超越具体知识和技能而深入思维的层面，由具体的数学方法和策略过渡到一般性的思维策略与思维品质的提升，并应帮助学生由在教师（或书本）指导下进行学习逐步转变为学会学习，包括善于通过同学之间的合作与互动进行学习，从而真正成为学习的主人。这也正是笔者倡导的“数学深度教学”的主要含义。

显然，上述分析清楚地表明了《数学深度教学的理论与实践》即使在当前，仍然具有重要的现实意义，包括从理论与实践这样两个方面对此作出系统、完整分析的重要性。

比如，由于“深度教学”显然可以被看成数学教学的一个传统要求，因此，我们就应注意分析现在所说的“数学深度教学”究竟有哪些新的含义和现实意义，以及哪些工作又可被看成对数学教学具有特别的重要性，

①刘月霞，郭华.深度学习：走向核心素养（理论普及读本）[M].北京：教育科学出版社，2018：36-37。

或者说被看成做好数学教学的关键。另外，如果说这正是《小学数学教育的理论与实践》的一个重要特点，即突出地强调了数学思想的分析应当与教学内容密切相关，那么，以下工作显然就可以被看成具有“补缺”的性质，即针对学生的年龄特点很好地确定各个学段思维教学的主要目标。后者即指，应当由较低水平的“了解和适应”逐步过渡到“理解与欣赏”，直至“深度学习”这一更高的层次（见《数学深度教学的理论与实践》的3.2节）。

综上，相对于《小学数学教育的理论与实践》而言，《数学深度教学的理论与实践》可以被看成一个重要的进步。

第三，由对照比较，我们可以对所说的“进步”有更好的理解：

（1）从纵向的角度看，如果说人们在先前往往比较注重教学的“实”“活”“新”（周玉仁语），那么，我们在当前就应更加强调一个“深”字，即通过“深度教学”努力提升学生的核心素养;从横向的角度看，如果说“用诗意的语言感染学生”是语文教学应当努力实现的一个境界，那么，数学教师的主要责任就是“以深刻的思想启迪学生”。

（2）这是相关人士关于数学课程标准修订工作的一个总结：“2001年，新一轮课程改革浪潮掀起。数学课程改革顺应改革潮流，提出了‘知识技能+过程方法+情感态度的三维目标，历史上第一次把‘过程作为数学课程目标提出。到了2011年，数学课程在总结过去十年的改革经验的基础上，进一步提出了以‘四基、四能为代表的目标体系，把与学生长远发展关系更为密切的目标元素，如思想、经验、发现问题和提出问题的能力等，纳入数学课程的目标体系……2021年……中国数学课程总结过去二十年的改革经验，按照培育核心素养的要求，系统构建了以‘三会为代表的基于核心素养的目标体系……我相信，这将成为一份令人满意的答卷。”①但是，除去简单地提及由“三维目标”到“四基、四能”再到“三會”这样一个发展线索以外，究竟什么可以被看成这一方面的真正进步？什么又可以被看成这些年的课改实践给予我们的主要启示和教训？例如，我们如何能从数学教育的角度对“三维目标”的含义作出更清楚的说明，包括对这三者之间关系作出更深人的分析？我们又是否仍应将“基本经验（的积累）”看成提升学生数学核心素养的一个重要途径，或者说，我们应当如何认识与解决这一主张的局限性？

更一般地说，笔者十分希望相关人士也能加强总结、反思与再认识的工作，包括认真的学习和深入的研究，而不要满足于简单的词语转换，如局限于将原来的“核心概念”直接转译为“（数学）核心素养”，也不应将简单的罗列和随意的归类看成重要的创新，如将“数学的眼光”“数学的语言”和“数学的思维”绝对地分割开来，并将“核心素养（的表现）”简单地归属于这三者，事实上却没有任何的新意。当然，进步是不可避免的，尽管这主要地不能被归因于数学课程标准的指导或影响。例如，就小学数学教育而言，以下就是一些主要的进步：我们已由主要关注教学方法等“显性成分”转向了更深层次的

①孙晓天，邢佳立.中国义务教育：基于核心素养的数学课程目标体系——孙晓天教授访谈录[J].教学月刊·小学版（数学），2021（11）：11-15;孙晓天，邢佳立.中国义务教育：基于核心素养的数学课程目标体系——孙晓天教授访谈录（二）[J].教学月刊·小学版（数学），2022（1/2）16-19。

思考，特别是，什么是做好数学教学的关键;已由单纯的“一课教学”转向了“整体观念指导下的数学教学”;已由关于“三维目标”的一般论述聚焦到“努力促进学生思维的发展”——对此，详可参见笔者发表在《小学数学教师》2022年第1期的《中国小学数学教育：回顾与展望》一文。

应当强调的是，尽管上述分析似乎已经超出了本文的范围，但在笔者看来，这恰好又更清楚地表明了《数学深度教学的理论与实践》的理论价值和现实意义。当然，从发展的角度看，我们在这一方面还有很长很长的路要走。

第四，这可以被看成“进步”的又一含义，即就教师的专业成长而言，《数学深度教学的理论与实践》已超出教学方法和教学能力，而涉及一些更加基本的问题：我们应当如何把握专业成长的基本含义和主要方向？什么又可被看成优秀数学教师应有的素养？什么是专业成长的基本途径？……显然，如果对此缺乏清醒的认识，那么，即使我们已经很好地掌握了各种教学方法并具有较强的教学能力，现实中也很可能只是充当了“应试教育”的执行者;即使我们具有很强的改革意识，现实中也很可能始终处于“忙、盲、茫”的状态;即使我们已经获得了各种各样的荣誉和光环，也可能完全忘却了教师的初心和使命，从而也就根本谈不上任何真正的人生价值。

最后，无论就《小学数学教育的理论与实践》还是《数学深度教学的理论与实践》而言，在总体上又都可以被看成这样一种努力的具体体现，即我们如何能够创建出符合时代需要、具有鲜明中国特色的数学教育理论。或者说，所有这些工作的主要目标就是能从各个角度为这一目标的实现奠定一定的基础。读者也可以从这一角度更好地理解《数学深度教学的理论与实践》中关于“中国数学教育”主要特色的界定与分析（见书的第一部分），包括这样一个认识：重要的并不在于如何能够让国外同行听到我们的声音，而是我们如何能够通过总结、反思和再认识，更有效地促进中国数学教育的发展，特别是明确前进的方向。