一道中考平行四边形面积问题的探解

刘迎 左效平

真题呈现

（2020·山东·临沂）如图1，P是面积为S的[?]ABCD内任意一点，△PAD的面积为[S1]，△PBC的面積为[S2]，则（）.

A. [S1] + [S2] > [S2]             B. [S1] + [S2] < [S2]

C. [S1] + [S2] = [S2]              D. [S1] + [S2]与点P的位置有关

精讲精析

解法1：构造共高法

如图2 ，过点P作EF⊥AD，交AD于点E，交BC于点F，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD = BC，AD[?]BC，EF⊥BC，

∴S = BC[·]EF，[S1] = [AD·PE2]，[S2] = [BC·PF2]，

∴[S1] + [S2] = [AD·PE2] + [BC·PF2] = [BC·（PE+PF）2].

∵EF = PE + PF，∴[S1] + [S2] = [BC·EF2] = [S2].

故选C.

解法2：构造平行四边形法

如图3，过点P作EF[?]AD，交DC于点E，交AB于点F，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形AFED是平行四边形，四边形BCEF是平行四边形，

∴[S1] = [12][S?AFED]，[S2] = [12][S?BCEF]，

∴[S1] + [S2] = [12]（[S?AFED] + [S?BCEF]）.

∵[S?AFED] + [S?BCEF] = S，∴[S1] + [S2] = [S2]. 故选C.

规律：1.平行四边形内共顶点两个三角形的面积和等于平行四边形的面积的一半;2.平行四边形另一组对边构成的共顶点的两个三角形的面积和一定是平行四边形的面积的一半.

引申探究

结论1：如图3，P是面积为S的[?]ABCD内任意一点，△PAD的面积为[S1]，△PBC的面积为[S2]，△PCD的面积为[S3]，△PAB的面积为[S4]，则（1）[S1] + [S2] = [S2];（2）[S3] + [S4] = [S2];（3）[S1] + [S2] = [S3] + [S4].

结论2：如图4，P是[?]ABCD内任意一点，△PAD的面积为[S1]，△PAB的面积为[S2]，△PAC的面积为[S3]，则[S3] = [S2] - [S1].

解析：设△PCB的面积为[S4]，△PCD的面积为[S5]，[?]ABCD的面积为S，

根据题意，得[S3] = S - [S1] - [S5] - [S△ABC] = S - [S1] - [S5] - [S2] = [S2 - S5] - [S1] = [S2] - [S1].

分层作业

难度系数：★★★ 解题时间：10分钟

1. P是?ABCD内任意一点，且△PBA的面积为5，△PAD的面积为2，则△PAC的面积为 .（答案见第25页）

2. P是?ABCD内任意一点，且△PAD的面积为5，△PAC的面积为2，则△PBA的面积为 .（答案见第25页）

难度系数：★★★★ 解题时间：15分钟

3.如图5，平行四边形ABCD的边AB，CD的中点分别为E，F，分别以AD，BC为边在平行四边形ABCD的内部作等边三角形ADG和等边三角形BCH. （1）连接FH，EG，求证：四边形EHFG是平行四边形;（2）若平行四边形ABCD的面积为S，等边三角形ADG的面积为[S1]，求阴影四边形EHFG的面积.（答案见第25页）

（作者单位：山东省沂源县沂河源学校，山东省沂源县徐家庄中心学校）