平行四边形的常用数学思想

刘顿

一、数形结合思想

例1 （2021·天津）如图1，?ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（-2，-2），（2，-2），则顶点D的坐标是（）.

A.（-4，1）B.（4，-2）C.（4，1）D.（2，1）

解析：∵四边形ABCD是平行四边形，B（-2，-2），C（2，-2），

∴点B到点C为水平向右平移4个单位长度，

∴A到D也应向右平移4个单位长度.

∵点A的坐标为（0，1），则点D的坐标为（4，1）.

故选C.

反思：也可换个思考角度，由图形可知点D位于第一象限，且横坐标大于纵坐标，淘汰选项A，B，D. 故选C.

二、转化思想

例2 （2021·江蘇·扬州）如图2，在?ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC = 30°，BE = 10，则?ABCD的面积为.

解析：过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图3，

∵∠EBC = 30°，BE = 10，∴EF = [12]BE = 5.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD[?]BC，∴∠DEC = ∠BCE.

∵EC平分∠BED，即∠BEC = ∠DEC，

∴∠BCE = ∠BEC，∴BE = BC = 10，

∴四边形ABCD的面积 = BC × EF = 10 × 5 = 50.

故填50.

反思：作辅助线构造直角三角形，求出EF的长是解题的关键.

三、分类思想

例3 （2021·黑龙江·哈尔滨）四边形ABCD是平行四边形，AB = 6，∠BAD的平分线交直线BC于点E，若CE = 2，则?ABCD的周长为.

解析：由题意可分两种情形：

当点E在线段BC上时，如图4.

∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC[?]AD，∴∠BEA = ∠EAD.

∵AE平分∠BAD，∴∠BAE = ∠EAD，∴∠BEA = ∠BAE，∴BE = AB.

∵AB = 6，∴BE = 6，∵CE = 2，∴BC = BE + CE = 8，

∴平行四边形ABCD的周长为2 × （6 + 8） = 28.

当点E在线段BC的延长线上时，如图5.

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴BC[?]AD，∴∠BEA = ∠EAD.

∵AE平分∠BAD，∴∠BAE = ∠EAD，

∴∠BEA = ∠BAE，∴BE = AB.

∵AB = 6，∴BE = 6.

∵CE = 2，∴BC = BE - CE = 6 - 2 = 4，

∴平行四边形ABCD的周长为2 × （6 + 4） = 20.

综上所述，平行四边形ABCD的周长为20或28. 故填20或28.

反思：由于条件中没有供图，所以求解时要注意体会分类思想的运用.

分层作业

难度系数：★★★              解题时间：5分钟

1.如图6，在四边形ABCD中，AD[?]BC，AD = 12 cm，点P从点A出发以2 cm/s的速度向点D运动，点P从点A出发1秒后，点Q从点C出发，并以1 cm/s的速度向点B运动. 设点P的运动时间为t秒. 当t取何值时，PQ[?]CD？（答案见第25页）

难度系数：★★★★            解题时间：5分钟

2.如图7，?ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在边CD上的点 F处，若△DEF的周长为8，△CBF的周长为18，求FC的长度. （答案见第25页）