平行四边形中的翻折

刘家良

解决平行四边形中翻折问题，先要寻找翻折前后图形的对应角与对应边，再根据平行四边形的性质求得关联的角与边.

例1 （2021·江西）如图1，将?ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B = 80°，∠ACE = 2∠ECD，FC = a，FD = b，则?ABCD的周长为_______.

分析：从翻折前后的三角形中寻找对应角与对应边. 根据平行四边形的性质结合已知条件得∠ECD = 20°，由三角形内角和定理得∠CFD = 80°，于是∠CFD = ∠D，进而得DC = FC = a，类似地，可得AF = AE，再将?ABCD的两条邻边用含a，b的式子表示.

解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD[?]BC，AB[?]CD，AB = CD，∠D = ∠B = 80°.

由题意知△AEC是由△ABC沿AC翻折得到的，

∴AE = AB，∠E = ∠B = 80°，∠ACE = ∠ACB.

∵∠ACE = 2∠ECD，∴∠ACB = ∠ACE = 2∠ECD，∴∠BCD = 5∠ECD.

∵AB[?]CD，∴∠B + ∠BCD = 180°，

∴80° + 5∠ECD = 180°，∴∠ECD = 20°.

在△CFD中，∠CFD = 180° - ∠ECD - ∠D = 80°，

∴∠CFD = ∠D，∴CD = FC = a.

∵∠AFE = ∠CFD = 80°，∴∠AFE = ∠E，

∴AF = AE = AB = CD = a，∴AD = AF + DF = a + b，

∴?ABCD的周长为2（DC + AD） = 2（a + a + b） = 4a + 2b.

故填4a + 2b.

反思：将翻折中对应边、对应角相等的性质同平行四边形的性质结合在一起，求得关联的角与边，通过等量代换与转换完成所求，是解平行四边形翻折问题的基本思路.

例2 （2021·江苏·苏州）如图2，在?ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线翻折得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B = 60°，∠ACB = 45°，AC = [6]，则B′D的长是（）.

A.1 B.[2] C.[3] D.[62]

分析：由平行四边形的性质和翻折的性质可得∠AEC = 90°，AE = CE， △AB′E ≌ △CDE，从而得B′E = DE，B′E的长由勾股定理列方程求得，B′D的长通过勾股定理求得.

解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC = ∠B，AB = CD，AD[?]BC，

∴∠CAE = ∠ACB = 45°.

∵△AB′C是由△ABC沿AC翻折得到的，

∴AB′ = AB，∠AB′C = ∠B = 60°，∠ACB′ = ∠ACB = 45°，

∴AB′ = CD，∠ADC = ∠AB′C，∠CAE = ∠ACB′ = 45°，

∴AE = CE，∠AEC = 180° - ∠CAE - ∠ACB′ = 90°，

∴∠AEB′ = ∠B′ED = ∠CED = 90°.

在Rt△AEC中，设AE = x，由勾股定理得2x2 = （[6]）2，解得x = [3]，即AE = [3].

在Rt△AB′E中，∠B′AE = 90° - ∠AB′C = 30°，∴AB′ = 2B′E，

由勾股定理得B′E2 + （[3]）2 = （2B′E）2，解得B′E = 1.

在△AB′E和△CDE中，[∠AEB′=∠CED]，[∠AB′E=∠CDE]，[AB′=CD]，

∴△AB′E ≌ △CDE，∴B′E = DE = 1.

在Rt△B′ED中，由勾股定理得B′D = [B′E2+DE2] = [2]. 故选B.

反思：将翻折性质和载体图形的性质融合在一起，在等边、等角的替换和等边、等角的转换中完成所求，是解图形翻折问题的基本思路，灵活处理边角的替换和转换是问题解答的关键，希望同学们用心领悟.

分层作业

难度系数：★★★★      解题时间：8分钟

（2021·山西）将?ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图3，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明.

（答案见第25页）

（作者单位：天津市静海区沿庄镇中学）