知其然还须知其所以然

俞杏明 邢友宝

[摘  要] 数学学习，除了看明白怎么解答，更应该思考为什么这样解答.发掘出一道题答案背后的思路原理，可以生成一类试题的解答和编制原理.

[关键词] 双层最值;赋值法;原理发掘;一般结论

双层最值问题中经常出现，答案看得懂但思路琢磨不透的情形.倘若仅仅满足于看懂参考答案，而不去挖掘答案背后的思路历程，把原题中某些数据略加改动，就可能再次“望题兴叹”.

[?]试题呈现

例1 （1983年全国高中数学联赛）函数F（x）=cos2x+2sinxcosx-sin2x+Ax+B在x∈0

，上的最大值M与参数A，B有关，问A，B取何值时，M为最小？证明你的结论.

参考答案：由已知，令M=F（x）max，则M≥F

[?]隐踪编制

前面例题是基于两个不同类型的函数编制的，答题入口不易隐藏. 笔者经过考虑，基于两个同型函数编制了下面这类试题.

即先找一个具有“等高的v形”结构的函数u（x）=x3-3x（x∈[-1，3]），再找一个单调函数v（x）=x3+x+2x∈

-，2 ，然后构造函数f（x）=x3-3x+（A-1）（x3+x+2）+B+2，最后重新组合f（x）表达式中的字母，隐藏构造的路径，从而得到下面的试题.

例3 已知f（x）=Ax3+（A-4）x+2A+Bx∈

-，2 ，A∈R，B∈R，当A，B为何值时f（x）max取最小值，并求出f（x）max的最小值.

下面运用赋值法给出参考答案.

解：令M=f（x）max，则M≥f（-1），

M≥f（1），

M≥f（2）， 即M≥B+4，

M≥4A+B-4，

M≥12A+B-8， 所以6M≥2×B+4+3×4A+B-4+12A+B-8≥

2×（B+4）-3×（4A+B-4）+12A+B-8

=12，所以M≥2. 當且仅当B+4=-（4A+B-4）=12A+B-8，即A=1，B=-2时取“=”. 当A=1，B=-2时f（x）=x3-3x，f（x）max=2 x∈

-，2 .

综上，A=1，B=-2时f（x）max取最小值2.

若不清楚这类试题解答和编制的原理，形如例3的这类试题一般很难求解.