如何求三角形中角的大小

王灿

求三角形中角的大小问题比较常见.此类问题侧重于考查三角形的角平分线定义、三角形的内角和定理、三角形内角之间的关系以及锐角的三角函数关系式的应用.求三角形中角的大小问题，往往要结合图形来分析，这样有助于提升解题的效率.

一、利用角之间的关系求解

在三角形中角的关系较多，如对顶角相等，互余的两个角的和为90o，被角平分线平分的两个角相等，三角形的一个内角与其外角的和为180o，三角形的三个内角之和为180°，等等.在求三角形中角的大小时，同学们可结合图形，仔细研究三角形中的各个角，以便找到各个角之间的相等、互余、互补关系，由此建立关系式，求得角的大小.

例1如图1，在△ABC中，∠A=70°，如果∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，那么∠BDC= 度.

分析：先利用三角形内角和定理求出∠ABC +∠ACB的度数，即可求得∠DBC +∠DCB的度数，最后再利用三角形内角和定理就能顺利求得∠BDC的大小.

解：∵∠A=70°，

∴∠ABC +∠ACB=180°-∠A=110°.

∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，

∴∠DBC +∠DCB=12 （∠ABC +∠ACB）=55°，

∴∠BDC=180°-（∠DBC +∠DCB）=125°.

说明：本题是考查与角平分线有关的三角形内角和问题.灵活运用角平分线的定义和三角形内角和定理是解题的关键.

二、根据特殊角的三角函数值求解

1.已知直角三角形，利用特殊角的三角函数值求解

有些求三角形中的角的大小問题中涉及了特殊角的三角函数值，此时我们只需根据题目要求建立关系式，选取相应的特殊角的三角函数值，按照运算顺序进行计算即可.根据特殊角的三角函数值求三角形中角的大小，往往要熟记一些常见的三角函数值，如

例 2 如图 2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=7.5，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE=5，求∠BFD的大小.

分析：由题可证△AEF≌△DEF，即可得出∠EDF=∠A;再根据三角形的内角和定理及三角函数的定义建立关系式，即可根据特殊角的三角函数式求得∠BFD的大小.

解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=7.5，

∴∠A=∠B，

由折叠图形的性质得到：

△AEF≌△DEF，

∴∠EDF=∠A，

∴∠EDF=∠B，

∴∠CDE +∠BDF +∠EDF=∠BFD +∠BDF +∠B=180°，

∴∠CDE=∠BFD.

又∵ AE=DE=5，∴CE=7.5 - 5=2.5，

∴在直角△ECD中

2.构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值求解

利用锐角三角函数值求解的前提是在直角三角形中，题目中若没有直角条件，往往要添加合适的辅助线，构造出直角三角形，然后根据直角三角形中直角边与斜边建立关于角的三角函数式，这样即可根据特殊角30°、45°、60°、90°的正余弦值或正切值求得角的大小.

例3 如图3，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的直径.若CD=10，弦AC=5 3，则∠ABC的值为（ ）.

A. 45 B. 35 C. 43 D. 34 图3

分析：连接AD，根据直径所对的圆周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的长，然后根据三角函数的定义求得∠ADC的余弦值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，从而可以求得∠ABC的值.

解：连接AD，如图4所示，

∵CD是⊙O的直径，CD=10，AC=5，

∴∠DAC=90°，

∴AD=CD2 - AC2=5 3，

∴cos∠ADC=ADDC=5103=23，

∵∠ABC=∠ADC=60°.

说明：对于非直角三角形的问题，可通过作垂线来构造以该锐角为内角的直角三角形，以便在直角三角形中根据三角函数的定义求出锐角的三角函数值，从而求得角的大小.