巧用分类讨论法解答与圆有关的多解问题

蔡旭照

当对问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类对象分别研究得出结论，最后综合结果才能得到整个问题的答案，这就是分类讨论法.由于圆中的点、线在圆中的位置分布可能有多种情况，因此，经常会出现问题的答案不唯一.同学们在解答与圆相关的点、线段、角的问题时，要有分类讨论的意识，做到考虑问题周全，分类不重不漏.

一、当点与圆的位置关系不明确时应分类讨论

点与圆的位置关系一般有三种：点在圆内、点在圆外、点在圆上.很多同学在做题时，由于审题时只关注了其中一种情况，忽略了其他情形，致使答案不完整.所以，同学们在求解有关圆的问题时，当发现点与圆的位置关系不明确时，务必要多角度思考，根据點在圆内、圆外以及圆上的不同情形进行分类讨论，从而避免漏解和错解.

例 1 已知点M到⊙O的最近距离为8cm，最远距离为20cm，则⊙O的半径为  .

分析：本题涉及到点与圆的位置关系.但是对于点 M的位置，题目中没有明确指出来，它可能在⊙O的内部，也可能在⊙O的外部，所以在求解时应分类讨论. 解：①当点M在⊙O的内部时，如图1所示，由EF=EM + MF=20 + 8=28cm，所以⊙O的半径为28÷2=14cm.

②当点 M在⊙O的外部时，如图2所示，由EF=MF - MA=20 - 8=12cm，所以⊙O的半径为12÷2=6cm.

综上所述，⊙O的半径为14cm或6cm.

二、当弦所对弧的优劣情况不明确时应分类讨论

在平面内，一条弦能够把一个圆分成两个部分，这样弦（直径除外）所对的弧则会有两条：一条是大于半圆的优弧，另一条是小于半圆的劣弧.在解答有关圆的问题时，若题目中弦所对的弧的优劣情况不确定时，同学们要注意分优弧与劣弧两种情况进行讨论.

例2 已知横截面直径为260cm的圆形下水道，如果水面宽为240cm，则下水道中水的最大深度为    .

分析：此题是一道关于圆的应用题.水面宽实际上就是圆的弦，此弦所对的弧究竟是优弧还是劣弧，题设中并没有直接指出来，所以在分析时要注意分类讨论.

解：（1）当水面宽所对的弧是优弧时，如图3 所示，水面宽 EF为圆的弦，过圆心O作OG⊥EF，垂足为G，延H长GO交⊙O于点 H .

因为EF=240cm，OF=OH=130cm，FG=1 EF=120cm，

所以根据勾股定理可知，

此时下水道中的水深130 + 50=180cm. （2）当水面宽所对的弧是劣弧时，如图4所示，同理可知此时下水道中的水深 GH=OH - OG=130 - 50=80 cm.综上所述，下水道中水的最大深度为80cm或180cm.

三、当相交两圆的圆心与公共弦的位置不明确时应分类讨论

当两圆相交时，它们的圆心与公共弦的位置关系通常有两种情形：一是相交两圆的圆心在公共弦的同侧;二是相交两圆的圆心在公共弦的异侧.所以在求解相交圆的圆心距问题时，若相交两圆的圆心与公共弦的位置关系未知，同学们要注意分类讨论.

例3 若两圆相交，且它们的半径分别为10和9，公共弦为12，则这两个圆的圆心距为（ ）.

分析：对于此题，不少同学容易错选A项或B项.这是因为他们分析时考虑不够周全，忽略了分类讨论，以致出现错误答案.事实上，此题中相交两圆的圆心与公共弦的位置是不确定的，它可能在公共弦的同一侧，也可以在公共弦的异侧，所以需要分两种情况进行讨论.

解：①当相交两圆的圆心在公共弦的同侧时，如图5所示，O1M=10，O2M=9，公共弦 MN=12，O1O2交MN于点 P，则MP=6.

由勾股定理可知，