解二元一次方程组常用的“消元”方法

桂雪娟

将含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次的两个方程联立起来，就构成了二元一次方程组. 二元一次方程组的解就是组成这个方程组的两个方程的公共解.解二元一次方程组的基本思路是消元.下面就常用的“消元”方法进行分析说明.

一、代入消元法

代入消元法就是在解二元一次方程组时，把其中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，再代入到另一个方程中，进而达到消元的目的.基本步骤是：第一步，变形.即从二元一次方程组中选取一个系数较简单的方程，然后把它变为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式;第二步，代入.即将变形后的方程代入到另一方程中消去某个未知数，使方程转化为关于另一个未知数的一元一次方程，解出此方程，进而得到该未知数的值;第三步，回代.把所求得的未知数的值代回到变形后的方程中，得出另一未知数的值，再用大括号把两个未知数的值联立起来;第四步，检验.把所得的两个未知数的值代入另一方程中进行检验，若成立，则是原方程组的解.

例1 解下列方程组：

分析：观察两个方程组的特点，可以看出在方程组（1）中，方程①中x的系数为1，故可以直接利用代入消元法求解;方程组（2）并非一般形式，先要把它整理成一般形式，再利用代入消元法求解.

解：（1）由方程①移项可得x=2y + 4，

把x=2y + 4代入方程②中，可得2（2y + 4） + 3y=1，

解得y=- 1，

把y=- 1代入①中可得x=2，

所以有：x=2，

y=-1.

經检验可知，原方程组的解为x=2，y=-1.

（2）通过整理，原方程组可以转化为

5x - 11y=-1③，

-x + 5y=3④，

由方程④可知x=5y - 3.

把x=5y - 3代入方程③中，可得5（5y - 3） - 11y=- 1，即14y=14，解得y=1.

把y=1代入x=5y - 3中，可得x=2，

x=2，

y=1.

经检验可知，原方程组的解为x=2，

评注：在解二元一次方程组时，若方程组中某一个未知数的系数是1或-1，或者是可以将某一项作为一个整体，便于代入另一个方程中时，常常借助代入消元法进行求解.

二、加减消元法

加减消元法即通过将方程组中的两个方程相加或相减消去某个未知数，从而将两个方程转化为关于另一个未知数的一元一次方程，进行求解.在运用加减消元法解二元一次方程组时，要注意仔细观察两个方程中的同一个未知数的系数，若发现系数互为相反数，则利用相加消元法求解;若发现系数相同，则利用相减消元法求解;若两个系数既不相等，也不互为相反数，则需要运用等式性质，把方程两边同乘以适当的数，使未知数的系数相同或互为相反数，再借助加减消元法求解.

分析：（1）观察方程组，可以发现，两个方程中未知数y的系数相同，这样只需要把两个方程相减，消去未知数y，得到关于x的一元一次方程即可解题.（2）观察方程组，很容易看出，两个方程中的未知数x、y的系数既不相同，也没有互为相反数，此时需要运用等式性质把同一未知数的系数转化为相同，因此需要将方程①两边同时乘以2，方程②两边同时乘以3，再两式相加，消去未知数y，得到关于x的一元一次方程即可解题.

解：（1）由方程②-①可得2x=2，

解得x=1.

把x=1代入①中可得y=- 3，

x=1，

y=-3.

经检验可知，原方程组的解为x=1，y=-3.

（2）方程①×2可得8x + 6y=6③;方程②×3可得9x - 6y=45④，

③+④可得17x=51，解得x=3.

把x=3代入方程①中，可得y=- 3，

x=3，

y=-3.

经检验可知，原方程组的解为x=3，y=-3.

评注：在解二元一次方程组时，若两个方程的同一个未知数的系数相同，或系数互为相反数，或者成倍数关系，此时可利用加减消元法去破解.

总之，代入消元法和加减消元法都是解二元一次方程组最基本、最常见的消元方法，两者既存在相通点，又具有不同点.同学们在解二元一次方程组时，一定要对方程中的各项进行认真观察、分析，根据其具体特点，选择最佳的求解方法.