类比推理在高中数学教学实践中的应用路径探析

周培红

摘 要：数学是一门实用性较强且较为抽象的科目，对学习者的逻辑思维能力有较高要求。随着教育改革的不断深化，在高中数学教学中培养学生的逻辑思维已成为广大教师共同关注的重点。类比推理是一种高效性的思维方式，在高中数学教育与学习中的应用较为广泛，对促进学生思维发展及学习能力大有裨益。在实践中教师应充分遵循高中生的身心发展特点，探寻类比推理在高中数学教学活动中的新路径，实现教学质量的稳步提升。

关键词：类比推理;高中数学;教学实践;应用

类比推理是数学思维中的典型的逻辑推理思维方式，熟练掌握类比推理对学生理解数学公式、构建良好的数学知识体系、搭建理想思维模型有着重要的指导作用。当前，部分教师在类比推理方法的应用中仍有问题亟待解决，本文将对类比推理在高中数学教学实践中的应用策略进行深入探究，以期实现理想化的教育目标，促进高中数学教学质量的有效提升。

一、类比推理简介

由两类对象具有的某些相近特征和其中一类对象的已知特征，所推理而出的另一类对象也具有此种特征的推理被称为类比推理。如在探索求三角形面积公式的时候，学生可以利用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。在探索梯形面积公式的时候，学生可以采取类比推理的方式，在没有外界指导的情况下自主进行探究，将两个完全一样的梯形拼成平行四边形，推导出求梯形面积的公式，这样一来，知识探究思路变得更加清晰明朗。由此可见，类比推理的方式能够帮助学生建立良好的数学思维体系，对各知识点的连接产生深刻的印象[1]。

二、类比推理在高中数学教学实践中的应用困境

类比推理在高中数学教学实践中有着不可忽视的地位，通过类比推理法能够有效帮助学生搭建知识框架，完成知识的内化与理解。然而，受到现实因素的影响，部分教师在类比推理的应用中却出现了许多问题。

从宏观角度分析，数学是一门演绎归纳为一体的学科，部分教师常会借助教材中“推理与证明”一章，进行类比推理知识内容传授，在其他章节中并未重视类比推理思维培养的重要作用，最终导致学生对类比推理只停留于课本的例题当中，没有掌握并建立良好的类比推理的数学思维。

除此之外，受到传统教育理念的影响，高中阶段的大部分学生在数学课堂中常常过于依赖教师的讲授，并未形成系统性的学习方法。这样的情况下，学生想要有效实现类比推理的应用，还是较为困难的。许多学生在问题解决过程中对类比推理的基本概念模糊不清，不能及时将题目中的词句结构进行对比分析，无法达到类比推理的运用效果。

基于以上对类比推理在高中数学教学实践中的应用困境分析，想要实现类比推理的有机渗透，培养学生的数学思维，帮助其构建良好的知识框架，仍需教师深入研讨，对高中生的身心发展特点、学习能力以及类比推理教学方法进行剖析整合，借此提升类比推理的应用价值，促进高中数学教学质量的有效提升[2]。

三、类比推理在高中数学教学实践中的作用分析

（一）有助于对学生自主学习能力的培养

类比推理主要是借助两个事物之间的相似之處进行推理，此种推理方式能够帮助学生在学习的过程中逐渐开辟新思路、掌握新方法。经过长期训练后，学生将会养成良好的类比推理思维，在解题过程中巧妙利用过往所学知识解决新的问题，解题的过程充满趣味性，能够使学生的创新能力以及创新思维得到有效的激发。当学生在采用类比推理法解决问题后，他们将会从中收获成功的喜悦，学习自信心也逐渐被激发，长此以往将会使学生养成独立自主的探究习惯，利用类比推理的方式完成基础知识的学习与应用。

（二）促进学生对知识的全面理解

在类比推理中，学生需要将过往所学知识掌握透彻，才能够更好地完成新知的推理。在此过程中，许多学生都会发现自己在过往知识学习中的疏漏，使得探索新知达到对旧知识进行巩固的效果。通过这样的方式，能够帮助学生在类比推理的过程中搭建新知识与旧知识间的桥梁，更好地完成知识的迁移与运用，加深学生对所学知识的印象与理解，促使其更为系统性地掌握知识结构，遇到难题能够采用类比推理的方式轻松化解。

（三）有助于学生创新思维能力的培育

在使用类比推理进行教学的过程中，学生将会在推理时产生新思路、新想法，思维能力相对于传统课堂内也有着显著的提升。类比推理法在不同练习题目中所采取的推理手段各不相同，能够有助于学生从多角度更为全面地对数学问题进行思考。在类比推理的过程中，学生将会结合过往所学知识点与新的知识相关联，极大限度地提升其解题速度，使得难题更易于突破。对正值黄金发展时期的高中生而言，采取类比推理的手段能够帮助其在训练中有效实现创新思维能力的培养与提升，对其日后学习发展大有裨益。

四、类比推理在高中数学教学实践中的应用策略

类比推理是串联新旧知识的纽带，同时也是培养学生探究能力和创新能力的有力工具。那么，在高中数学教学实践中如何更好地运用类比推理呢？笔者将结合实际教学案例提出类比推理在高中数学教学中应用的几点建议，以期为广大数学教师提供借鉴与参考。

（一）准确把握类比推理应用原则

培养以类比推理的方式解决问题是高中数学教学的重要目标[3]。想要更好地开展类比推理教学，教师应充分结合高中生的身心发展特点及认知能力，准确把握类比推理应用原则，对教学目标、教学过程予以重视，帮助学生尽快适应类比推理应用原则的应用方式，使得类比推理充分融入课堂之中。

以高二数学选择性必修第二册《等比数列》一课为例，结合教学内容，教师基于类比推理思想设定如下教学目标：

[知识与技能]

1.掌握等比数列的定义，在实际问题中利用合理手段判断数列是否为等差数列。

2.了解等比数列的通项公式及推导过程，能够利用通项公式解决实际问题。

[过程与方法]

利用类比推理的方式经历等比数列探究过程，培养学生类比推理思维，提升其总结归纳能力。

[情感与态度]

1.通过对等比数列定义的探究，帮助学生在解题过程中养成细心观察、善于总结的良好行为习惯。

2.利用等比数列通项公式提升学生求知探索精神，体会特殊函数的意义。

罗列教学目标后，为充分调动大家的课堂参与热情，教师可巧妙利用情境创设的方式，结合生活中的事例引入新课。

受网络系统的影响，B国计算机系统受到别国黑客攻击，由第一轮攻击开始，每一轮有一台计算机受到病毒的植入影响，此台计算机能够同时感染二十台计算机。

问：在不重复的情况下，被病毒感染的计算机数构成的数列是什么？

【教学设想】以问题为导向利用生活中的常见情境进行导入，能够充分激发学生的探知欲望，使得数学更加贴近生活。

结合学生通过计算所反馈而来的答案，教师列举几组数列并引入等比数列的基本概念，当学生完成概念学习任务后，教师结合教学内容引出例题，并为学生提供解题思路。

[解题思路]

部分学生刚接触等比数列问题时常会出现思绪混乱的情况，面对较为复杂的题目内容无法及时找出其中重点信息。教师所提供的例题所考查的是等差数列与等比数列的性质类比。教师应有意识地引导学生利用类比推理思想回顾所学等差数列知识，采取类比推理的手段，针对题干给出的信息回忆等差数列与等比数列的性质，进行类比推理，随后得出问题答案并进行反向求导。不难发现在今年高考例题当中，对等差等比知识点的考核多由已知左右式的各项特征作为类比重点，要求学生对概念性质具有较为深刻的认知与理解。

案例中教师在明确教学目标后，始终秉持着类比推理的思想，重视等差数列与等比数列知识点间的联络，提供相关例题后为学生梳理解题思路，有效帮助学生掌握类比推理的运用，逐渐实现思维的延伸与拓展，帮助大家对“数列”这一章的知识内容产生更为深刻的认知与了解。

（二）将类比推理运用于概念教学

类比是数学发现的重要源泉，数学中许多定理、公式和法则都是通过类比推理而提出的。在高中数学教学当中概念是知识结构的重要组成部分，与公式及定理密切相关。在实际教学中教师应有意识地引导学生在概念学习当中结合类比推理思想，将概念视为一个庞大的整体，搭建更为完善的知识体系，借此帮助其厘清思路，降低概念学习的难度。

以高一数学必修第二册《平面向量及其线性运算》为例，本课重点内容在于向量加减法的运算及其几何意义以及实数与向量积的意义及运算定律。对于高中生而言，本章知识的学习较为困难，许多同学在运算过程中时常会遇到困惑与不解。针对学生在此板块学习中广泛出现的问题，教师应有意识地采用类比推理方法，帮助学生在实践中利用类比推理正确理解向量相关概念。

1.向量的相等与平行

在课程开始前教师应以问题为导向，考查学生对于“向量”概念知识的基本理解，引入教材图片内容，促使学生对“位移”与“向量”之间的关系进行重温。

在复习巩固完毕后，教师结合平行线定义类比向量的平行，引出向量平行概念，以类比推理的方式帮助学生明确“两个非零向量的方向相同或相反”这一向量平行的基本概念。为进一步帮助学生巩固所学知识，教师利用教材中的练习A板块题目，指导学生尝试利用平行线定义进行推理，确定其中相等及相平行的向量。

2.向量的加法

向量加减法是专题中的重点教学内容，许多同学都会被复杂的知识内容所迷惑，在多向量相加的解题过程中无法及时求得正确答案。教师可通过实例证明引入类比推理，带领学生共同回忆所学“结合律”知识，将结合律法则与向量加法相类比，推理求得多向量任意相加的顺序。通过这样的方式，复杂的向量相加知识即可迎刃而解，学生也能够在此基础上进一步对结合律概念进行复习与巩固。

3.向量的减法

与上述向量加法类比推理相同，教师可利用相反数的定义，引出相反向量概念，帮助学生通过直观的类比转换方式迅速掌握较为烦琐的向量减法知识。

通过类比推理的方式，在向量章节的学习过程中，在教师的指引下，学生能够利用平行线定义、结合律法则、相反数的定义等相关知识类比推理掌握向量的相等与平行、向量的加法、向量的减法等重点概念知识，有效达成既定教学目标，使学生的类比推理思维有所提升。

（三）将类比推理运用于练习解题

随着教育改革的不断深化，结合时代需求，数学这一门科目的高考考查重点也发生了相应的转变。在高考中命题的趋势与导向也做出了相应调整，重点在于检验学生的逻辑思维能力以及推理能力。为此，在实际教学当中，教师应有意识地结合教学内容引入新高考题型，带领学生共同剖析、类比、探究，帮助其在解题过程中建立类比推理的思维，掌握类比推理在问题解决中的应用，以此帮助学生提升解题速度，为参加数学高考做好准备。

以高一数学必修第四册《复数的运算》为例，本课重点内容在于复数的加减法、乘除法运算，以及共轭复数的基本概念。近年来复数这一知识点在高考题型中占据一定比例，许多学生由于基础概念掌握得不够扎实，在计算中极容易出现错误。在复数的加法学习中，教师可结合教学内容引入加法交换律与结合律相关知识进行类比推理，使学生明確复数的加法运算满足交换律与结合律这一基本概念。

为便于学生理解与把握类比推理在复数的运算中的通用法则，教师应结合新高考背景下各地区经典例题进行讲解，重点罗列考查复数概念的掌握以及复数加法运算知识的相关题型。根据教师所提供的题目，学生利用所学知识尝试进行计算训练，由教师为大家进行计时。经测验，学生在计算中普遍花费时间较长，倘若在实际高考中极容易出现时间不够无法完成全部题目的现象。由此问题，教师巧妙地为大家介绍类比推理方法，针对例题结合“分数的分子分母同时乘或除以一个不为0的数字，分数的大小不变”这一知识点进行类比推理，通过类比推理的方式能够快速求出等式答案，相对于传统求导方法便捷许多。在教师的引导下，学生开始尝试利用类比推理思想完成后续训练任务，甚至还有部分学生举一反三，将此种方法运用到复数的三角形式及其运算中，结合任意角余弦、正弦定义进行类比使计算变得更为便捷流畅，建立三角形定理与复数的三角形式知识点之间的联系。另外，在讲指数幂的运算中，由初中指数的整数范围拓展到全体实数，虽然说是扩大范围，其实是类比初中幂的运算，也是一种类比的思想。通过这样的方式学生在训练中逐渐掌握类比推理的精髓，在实践中不断深化推理思想，最终实现学习能力的有效提升。

上述案例中可见类比推理方式能极大限度地简化解题过程，在日常解题练习中，教师应在用此种手段帮助学生建立良好的类比推理思维，掌握类比推理解题方式，为日后参加新高考做好准备，逐渐在训练中提升学生的解题能力[4]。

（四）将类比推理运用于几何实例

实践是检验真理的唯一标准，纸上谈兵的类比推理是远远不能够达到理想化的教学目标的。几何是高中阶段数学学习中的重点，在高考中有较大分值，“得几何者得天下”，由于几何知识较为烦琐、复杂，许多学生在此章节的学习过程中都难以及时掌握所学知识，久而久之将会造成知识的堆砌，严重影响学生数学素养的全面发展。针对这一现象，教师可巧妙地在几何板块教学当中引入类比推理，帮助学生建立新旧知识的连接，在旧知识的指引下完成几何学习任务，使复杂的几何知识变得更为简便，便于学生的理解与掌握。

以高一数学必修第四册《平面的基本事实与推论》为例，通过本章的学习，学生已经对立体几何具有初步的了解，为进一步发展学生的空间思维，教师可在课堂中开展几何训练活动，帮助学生在活动中夯实基础，不断提升自身解题能力。

教师带领学生共同观看大屏幕中所呈现的例题，此道例题中的条件因素较为复杂，为便于学生理解与掌握，教师可采用类比推理的方式适当对学生进行提点。

师：“同学们请看本题，从题中我们能够收集到哪些信息？哪位同学尝试回答本题重点要考查哪些知识点？”

生：“平面到空间的推论。”

师：“很好！既然已经知道所考查的重点，结合题意，在此类问题中大家可根据类比推理的思路，由平面中的性质出发，类比其在空间中相似的体的性质，根据三角形面积比可推断……”

经教师的引导，学生恍然大悟，紧随教师的思路得出推断：根据两三角形面积之比类比推理得知：空间应是体积之比。这一发现使学生的思路得到有效的拓宽，大家纷纷根据教师的指导尝试利用类比推理的方法解析题目。

经过上述类比推理方法的引入，学生产生了全新的几何解题思路，教师顺势出示下一道题目，引导学生根据题目中的关键线索写出斜三棱柱的三个侧面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式。在较为深层次的习题训练当中，学生根据教师所传授的类比推理方法猜想，类比三角形的余弦定理进行猜想迅速完成二面角之间的关系式结论。结合学生所给定的答案教师进行批阅，针对学生在解题中所频繁出现的误区进行讲解。通过长期培训，能够帮助学生在类比推理中顺利掌握几何知识，建立完善的思维体系。为充分激发学生的参与意识，在班级内教师也可结合教学内容开展知识竞赛活动，以小组为单位参与，帮助大家在解题中建立良好的类比推理思维，在浓厚的学习氛围中实现教学质量的有效提升。

不难发现，将类比推理运用到复杂的几何学习当中，能够帮助学生顺利走出几何求导误区，在类比中建立几何知识与其他知识点的联系，深刻理解几何板块在高中数学学习中的重要作用。

（五）将类比推理运用于知识整合

数学的学习具有一定的层次性规律，在学习新知的过程中不断扩充并完善知识脉络，量的积累将会有效达到质的飞跃。教师应充分发挥类比推理手段的优势，帮助学生构建更为完善的知识脉络，在类比的过程中建立新旧知识的联系，实现自身综合素养的有效提升。除此之外，为使学生养成科学、规范的复习习惯，教师也可鼓励大家尝试利用思维导图的方式呈现，借机强化学生的学习能力。

以高二数学选择性必修第二册《条件概率与事件的独立性》为例，在本章节中包含了条件概率、乘法公式与全概率公式、独立性与条件概率的关系等相关知识。在进行乘法公式章节巩固复习时，教师可借助教材中所给定的练习题目，对题目信息进行适当转化，形成新的题目来引导学生进行训练。

习题1.刘刚想要拨打订餐电话订购午饭，但在电话簿中，订餐电话的最后一位数已经变得模糊不清，所以他想采取随机拨号的形式进行尝试，如何才能求出吴刚尝试两次都拨不对的电话号码的概率？

在问题的导向下，学生进行实践与尝试。在计算完成后向教师给出自己的答案以及解题思路。结合大家的反馈，教师发现大部分学生都会采用乘法公式进行求导（如方法1）。

方法1.根据条件概率计算公式：用圆形符号代表→第一次未能拨打正确、用三角形符号代表→第二次未能拨打正确，轻松求出无法拨通电话号码的情况有九种，利用乘法公式计算得出概率。

这样的解法较为常见但稍显复杂，部分学生所花费的计算时间较长。针对这种情况，教师提问其他同学是否有其他的解决方案？在教师的引导下，少部分学生发现此类问题也可采用类比推理的方式（如方法2）。

方法2.借助排列组合知识，将问题巧妙地转化成为“将十个数字排列成数字不重复的两位数，求某个特定数字不出现的概率”。这样一来顺利求出概率等式，与其他同学利用乘法公式计算得出概率结果相同。

为进一步巩固学生复习成果，帮助其实现问题举一反三能力的提升，教师也可由此例题引出思考性问题：上述习题中采用类比推理的方式利用排列组合解答较为便捷，那么什么情况下利用乘法公式能够更具优势呢？由此激发学生的探究意识。

将类比推理运用于知识整合当中，能够极大限度地提升学生对知识的理解与掌握，在复习中建立新旧知识的链接，在脑海中构建完善的知识体系，达成理想的学习目标[5]。

结束语

综上所述，将类比推理运用于高中数学教学当中，能够帮助学生通过知识点所存在的异同对比，在准确凝练知识点相同属性的基础上，轻松便捷地掌握新知。鉴于类比推理的优势，教师应酌情将其引入教学当中，发挥类比推理的实际作用，实现教学质量的稳定提升，促进学生学科素养的形成与发展。

参考文献

[1]赵勤，郑宝生.把握数学本质丰富教学内容提升课堂品位：《类比推理》课堂教学与感悟[J].中学数学研究，2020（9）：9-11.

[2]党丽娟.类比推理在高中数学教学中的作用及应用方法[J].成才之路，2020（13）：109-110.

[3]杨红生.类比推理在高中数学核心素养生成中的应用[J].数学大世界（上旬），2019（12）：95.

[4]谭爱军.类比推理在高中数学解题中的应用研究[J].中国多媒体与网络教学学报（下旬刊），2019（7）：249，251.

[5]許桉基.学好高中数学的几个关键因素分析[J].数学学习与研究，2019（6）：157.