高中数学概念教学导入案例的“纵横”探讨

卢碧如

数学概念是一种数学的思维形式，在人类历史发展的过程中，逐步形成并得以发展.要正确形成和理解一个数学概念，必须认识其内涵和外延，内涵是概念的本质特征，外延是概念的范围.由于教学时间紧迫，多数高中教师对数学新概念的教学仅以讲授为主，导致大部分学生对数学概念的理解不到位，只会简单记忆和模仿，不能真正理解其本质内容，也不能清楚辨析，更不能实现建构.概念的形成一般来自解决实际问题的需要或学科自身发展的需要.在课堂教学中，教师要注重引导学生参与概念的建立过程，让学生加深对概念的理解.

一、“横”向比较，取长补短

笔者曾经在上海格致中学举办的一次数学教学专题研讨活动中，观摩了三位教师的“同课异构”课——“函数的运算（第1课时）”，对他们从导入新课到“函数的和的概念”的建立这一部分内容的设计与情境的创设记忆犹新.下面笔者就以此为例对高中数学概念教学作“横”向探讨.

（一）案例展示

教师A：复习与引入

教师首先带领学生复习函数的概念，强调在抽象法则f下，任意的x对应唯一的y;函数的三要素;给出一个函数（①对应法则，②定义域）.

提问引出新课：我们已经知道，两个多项式相加所得的和是一个多项式，那么能否定义两个函数的和呢？

展示问题：已知两个函数f（x）=x2，g（x）=1-2x的定义域都是（-∞，+∞），当x=-1，x=1，x=2…x=a（a>0）时，分别求f（x），g（x），f（x）+g（x）.

变式1：f（x）=x2，x∈（-∞，+∞）;g（x）=1-2x，x∈（0，+∞），问x=-1，x=1，x=2，…，x=a（a>0）时，分别求f（x），g（x），f（x）+g（x）.

变式2：f（x）=x2，x∈（-∞，0）;g（x）=1-2x，x∈（0，+∞），问x=-1，x=1，x=2，…，x=a（a>0）时，分别求f（x），g（x），f（x）+g（x）.

由此归纳出函数的和的概念：设有两个函数f（x），（x∈D1）;g（x），（x∈D2），且D1∩D2≠φ，则定义两个函数的加法法则用f+g，即（f+g）（x）=f（x）+g（x），x∈D1∩D2.然后进一步讨论这个新函数的值域、单调性、奇偶性等有关的性质.

教师B：复习与引入

问题1：请同学们举出几个具体的函数例子.

学生A：函数f（x）=x+1，g（x）=.

问题2：初中学过数和式的运算，那么函数是否能进行运算呢？请同学们就两个函数能否进行和的运算进行研究，提出你们的观点.

学生B：两个函数的和是可以进行运算的.

问题3：两个函数如何进行和的运算？求两个函数的和是不是简单的解析式相加，有没有需要注意的问题？

学生C：两个函数的和除了简单的解析式相加，还需要注意定义域.

问题4：两个函数的和的运算结果是什么？

学生D：是函数，如f（x）+g（x）=x+1+，定义域是[1，+x）.

教师由此归纳出函数的和的概念，然后进一步讨论这个新函数的值域、单调性、奇偶性等相关性质.

教师C：复习与引入

问题1：宁沪高速公路全长s千米，汽车从起点站上海匀速开往终点站南京，最高时速v千米，速度不得超过c千米/时.已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v千米/时的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元.你能用速度v千米/时的关系式表示全程的运输成本y吗？

问题2：这一关系式由两个函数y=bsv与y=相加组成，它也是函数吗？

问题3：我们刚才建立的函数是由两个函数相加构成的，那么两个函数相加一定能构成函数吗？

问题4：从h（x）=f（x）+g（x）的定义，我们得出了它们的定义域间的关系，那么函数的运算还有什么值得我们探讨的问题呢？

然后，教师指导学生分组讨论，从而进一步讨论新函数的值域、单调性、奇偶性等相关性质.

（二）课堂实施情况

教师A按设计方案完成了教学目标.在变式1与变式2中充分体现了两个“函数的和”的定义域，既满足f（x）又满足g（x）.同时，设问两个函数的和还是函數吗？若是，新函数与原来的两个函数之间有什么关系？

教师B按设计方案完成了教学目标，同时让学生找到定义中的条件和结论.整节课教师都是以问题为导向，让学生去抓住两个“函数的和”的定义域.

教师C按设计方案较仓促地完成了教学目标，归纳出定义，采用小组讨论的方式让学生再研究其他性质.

（三）课后思考

“函数的和”的概念的形成是需要经过酝酿的，让学生在大脑中反复思考而得到.其概念的外延是两个函数的和仍然是一个函数，其内涵的本质是定义域是两个函数定义域的交集.

教师A：尊重教材，尊重学生的学习过程，通过学生熟悉的具体函数及变式，让学生体会两个函数的和及其定义域，让学生学会迁移，导入成功.

教师B：充分展现了课堂教学中学生的主体作用，让学生从所学的知识中寻求答案，教师在这个生长点上再延伸和拓展出新知识.在教学过程中，教师重复学生的语言，并用较生动的语言引导他们一步步思考，展示了学生的数学思维活动，知识落实很有特色，导入也成功.

教师C：创设情境导入新课，激发兴趣;探索讨论、尝试发现.但是对于高一学生来说，引入问题文字量过大，花了约10分钟，才按设计方案完成了导入的教学目标.我们要知道导入时千万不能为了创设情境而创设情境.创设情境主要是为新概念服务的.本节课内容太多，时间不够，仓促地用教师的思维代替了学生的思维，虽然课堂理念新颖，但从学生概念的形成本质来看，导入不算成功.

总之，数学中的概念教学的导入设计只要是合理的都行.一个概念的导入，其方法是具有多样性和灵活性的.教学中如何让学生自觉地投入学习活动中，积极主动地探索知识，使课堂充满生机与活力，从而更好地掌握概念是值得教师去不断探索的事情.

二、“纵”向深挖，迁移实践

还有一节展示课“椭圆及其标准方程”（第1课时）让人久久难忘，笔者以此为例再对高中数学概念教学导入进行“纵”向探讨.

（一）案例展示

教师首先播放了神七运行轨道、北京鸟巢的图片.

问题1：请同学们举出几个身边椭圆的例子.

然后，教师让学生拿出准备好的画图板和细绳，将准备好的细绳两端固定在画图板上，用笔尖拉紧绳子运动，记细绳两端为F1，F2.根据以下问题，观察笔尖运动的轨迹是什么？

问题2：当|F1F2|等于绳子长度时;当|F1F2|大于绳子长度时;当|F1F2|小于绳子长度时，在同时满足此条件下，再至少改变2次|F1F2|的大小，作出运动轨迹.

学生归纳出椭圆的定义后，建立直角坐标系推导方程，然后进行实例应用.

（二）课堂实施情况

教师按设计方案完成了教学目标。由问题1学生感性认识椭圆，感到数学知识就在自己身边;问题2让学生动手做实验，边实验边观察，发现椭圆的形成主要取决于|F1F2|的长度和绳子长度之间的关系，要得到椭圆，必须满足绳子长度大于|F1F2|，同时调动学生参与课堂教学的积极性.

（三）课后思考

在动手画完椭圆之后，学生充分感知了：笔尖（动点）到绳的两端（两定点F1、F2）的距离之和为绳长（定值）时，且满足绳长大于|F1F2|，则笔尖运动轨迹为椭圆.学生还发现：由于绳的两端（两定点F1、F2）两点间的距离不同，所以画出的椭圆有圆扁之分，甚至画不出图形.学生动手实验的过程，就是在感知椭圆定义的建立过程，这时就可以水到渠成地导入椭圆的定义.同时，教师充分调动学生学习的积极性和主动性，为学生创设轻松愉快的学习环境，提高课堂教学的有效性，也激发了学生对数学的兴趣.知识可以有很多种不同的讲授方法，适当的包装可以使学生更乐于接受，更能提高课堂教学效率.一位物理教师是这样形容最大静摩擦力的概念的：“当你用到最大静摩擦力推桌子时，桌子没有动，这时飞来一只蚊子踢了一脚，桌子就会向前运动了.”这样的教学设计，何愁学生学不会呢？诚如波利亚所说：“教师有責任使学生信服数学是有趣的.”

“函数的和”和“椭圆”两个内容原本联系并不大.但透过例子看其本质，从创设情境、提出问题、贴近生活、主体参与、问题观察等入手，教学时教师都是在找概念的“生长点”.从数学概念看，有的是用数学符号表示，有的是用图形，如本文的“函数的和”用抽象法则f+g，从而增加科学性;而椭圆就是用图形表示概念，又从代数上去刻画图形.

数学概念教学的导入实质是由数学的旧知识到新知识的转变过程，要突出数学知识的形成和落实，尊重教材、尊重学生的学习过程.难了学生不易接受，简单了调动不了积极性，所以怎样导入才能让学生在原有知识的基础上“轻轻一跳”，就能够得着，是关键.课堂教学是一门艺术，案例讨论能促进从理论到实践的转移，对今后的教学意义重大.

◇责任编辑 邱 艳◇