埃及单分数及相关问题

梁宗巨

埃及数学的显著特点是用单分数表示分数.除了2/3 是用特殊的符号表示之外，其他所有分数的分子都是1.对于 23 ，在象形文中用“ ”表示，在僧侣文中用“ ”表示. 12 的写法很也特别，在象形文中用“ ”表示，在僧侣文中用“フ”表示.其他的单分数，是在数字的上面加一个扁圆，如用“ ”表示 14 ，用“ ”表示 1112 .

一、2n 可分解成几个单分数之和现存的古埃及数学文献主要有莫斯科纸草书和莱因德纸草书.赖因德纸草书的开头就列出了 2n 型的分数被分解成几个单分数的结果.所谓分解，就是做一次除法，把 2n 化为几个单分数之和，n是从3到101的奇数. 23 保存原状，并不分解成 23 = 12 + 16 .为什么要保留这一例外？这是一个谜.

例如 25 ，即2被5除，可列成算式：

在右列中选出若个数来，使其和等于被除数2.在123，-3 旁打上*号，左列中对应的数是 -3，-15，得出的结果是 2 ÷ 5 = -3 -15. 算式的第2步，是用 23 乘以5，得 3 -3，实际上这是多余的.再将5乘以 -15 ，得 -3，右列的 123 與3相加等于被除数2，左列中对应的两个数之和 -3 -15. 就是分解的结果.

再看一个例子，分解 213 ，算式是：

二、由单分数引起的一些问题

1.单分数是如何产生的

单分数引出了许多令人深思的问题.例如，单分数是不是从实际问题中产生的？卡纳汉（Walter H.Car?nahan）认为确实如此，他举了一个例子来说明.设想有2个面包，要平分给5个人，问怎样分.如果每个人得 12个面包，则面包不够;每个人得 13 个面包，则还剩下 13个面包.再将这 13 个面包分给5个人，每个人得 115 个面包.于是每个人共得 13 + 115 个面包.如果按照现在的分法，每个人应得 25 个面包，但具体操作起来，不见得会方便.另外，按照埃及人的除法法则计算，所得的商自然是若干个单分数之和.

2.单分数具有什么特性

现在，研究单分数的特性，已成为数论中的一个重要专题.是不是每一个 2n（n是奇数）型的分数都可以分为两个单分数之和？这问题很容易回答，只要代入公式2n = 1（n + 1）2+ 1n（n + 1）2（1）即可.

用（1）式分解 213 = 17+ 191，这比莫斯科纸草书和莱因德纸草书上的分解式 213 = 18 + 152 = 1104 要简单得多.

（1）式还可以推广成2n = 2pq = 1p（p + q）2+ 1q（p + q）2（2），其中p，q是n的两个因子（必为奇数），若n为素数，取p=1，则（2）式化为（1）式.用（2）式分解 299 ，可得 3 种不同的结果 299 = 190+ 1110 = 150 + 14950 = 154 + 1594 .

这与莫斯科纸草书和莱因德纸草书上的结果 166 + 1198并不相同，它符合另一个公式 23k = 12k + 16k（3），或更一般的公式 2（2m + 1）= 1（m + 1k）+ + 1（2m + 1）（m + 1）k （. 4）

是否每一个真分数都可以分解成几个单分数之和？斐波那契在他的名著《算盘书》（1202年）中给出了肯定的答案，并指出了具体的算法，但未加以证明.直到1880年，西尔威斯特（J.J.Sylvester，1814年-1897年）才给予证明.

他的方法是找出不超过 b 的最大单分数.

一般地，ab = 1ba= 1x + ra> 1x + 1 = 1x1 ，其中 x 是 b 除以a的商，r（r

下一步是从 ab 中减去这个单分数，得 ab - 1x1=ax1 - bbx1= a1bx1.余数是一个分数，其分子为ax1-b=a1，它小于a，可由不等式（5）推出来.如果 a1x1是单分数，那么就说明 ab 可分成两个单分数之和;如果 a1bx1不是单分数，那就要重复上述步骤，找出不超过它的最大单分数.每重复一次上述步骤，剩余分数的分子就会至少减少1，这样经过有限次重复操作（不超过a-1次）之后，即可将分子减少至1，ab 就可分解成不超过a个单分数之和.

任何真分数是否都可表示成两个单分数的和？那不一定.先看一个单分数分解为两个单分数的情形.假定 1n = 1x + 1y ，x、y 均应大于 n，可设 x = n + d，于是1y = 1n - 1n + d = 1n（n + d）d= 1n + n2d，只要选 n2的一个约数作d，分解即可完成.

对于一般的真分数 mn ，有mn = 1n + dm+ 1n + n2dm.只有当 m 能够整除 n + d 及 n + nd 时，才能分解.例如 35 ，此时 n=5、m=3. x = 5 + d3 ，y =5 + 25d3 ，n2= 25 ，其约数是1、5、25.若选1，可得 35 = 12 + 110 .而 45 ，就不能被分解.综上所述，可以用多种方法将任意一个真分数分解成几个单分数之和，而且每一个单分数又可以按 1n= 1n + 1 + 1n（n + 1） 的方式无限地分解下去.

3.最优分解问题

既然一个分数的分解方式有无穷多种，那么哪种分解方式最优呢？“最优”可能有很多种不同的标准.例如，（1）项数最少，不妨叫做第1类最优分解;（2）最大的分母最小——第2类最优分解;（3）分母的总和最小——第3类最优分解;（4）运算最简便——第4类最优分解……

通常，大家感兴趣的是前两类.项数少和分母小的要求常常是矛盾的.因此有时要先将项数固定，再去考虑分母.韦谢洛夫斯基将所有可能的二项分解式都列出来，发现 2n 表（n=5-101）只有20个最优解.有的分数的分解式多至7种，如

而 2n 表取 130 + 190 .有的分解式，如 295 = 160 + 1380+ 1570 可化简为 160 + 1228 ，但没有化简.韦谢洛夫斯基还把可能的3项、4项分解式都列出来，发现 2n 表大多数取了最优解（最大分母最小）.

2n 表大概不是由少数几个人制作的，而是由众多的学者长期探索积累起来的.韦谢洛夫斯基认为是第3 至第 6 王朝（公元前 27-前 22 世纪）赫利奥波利斯（Heliopolis，在今开罗东北约 10 公里）学派的学者努力的结果.有点像现代的积分表，某个人一旦得到一个积分式，就立刻记录下来备查，以免丢失.

埃及人在长期的生产活动中积累了丰富的实践经验.算术方面采用了单分数，使得四则运算非常麻烦，它实际上是阻碍数学前进的“绊脚石”.

——摘自《世界数学通史》