有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的证明及其应用

孟庆林

圆锥曲线的焦点三角形面积问题比较常见，这类题目常以选择题、填空题、解答题的形式出现. 圆锥曲线主要包括抛物线、椭圆、双曲线，每一种曲线的焦点三角形面积公式也有所不同，其适用情形和应用方法均不相同.在本文中，笔者对圆锥曲线的焦点三角形面积公式及其应用技巧进行了归纳总结，希望对读者有所帮助.

1.椭圆的焦点三角形面积公式：

若已知椭圆的标准方程、短轴长、两焦点弦的夹角，则可运用椭圆的焦点三角形面积公式 SΔPF1F2=b2 tan θ2 来求椭圆的焦点三角形面积.

例1（. 2021年数学高考全国甲卷理科）已知F1，F2是椭圆C：x216 + y24 = 1 的两个焦点，P，Q为椭圆C上关于坐标原点对称的两点，且 |PQ| = |F | 1F2 ，则四边形PF1QF2 的面积为________.

解析：若采用常规方法解答本题，需根据椭圆的对称性、定义以及矩形的性质来建立关于 |PF | 1 、|PF | 2的方程，通过解方程求得四边形 PF1QF2 的面积.而仔细分析题意可发现四边形 PF1QF2 是一个矩形，且该矩形由两个焦点三角形构成，可利用椭圆的焦点三角形面积公式求解.

解：

利用椭圆的焦点三角形面积公式，能有效地简化解题的过程，有助于我们快速求得问题的答案.

例 2.

若已知双曲线的标准方程、虚轴长、两焦点弦的夹角、两焦点弦的夹角的一半，则可运用双曲线的焦点三角形面积公式 SΔPF1F2= b2tan θ2来求椭圆的焦点三角形的面积.

例 3.

解析：若采用常规方法，则需根据双曲线的几何性质、定义以及勾股定理来求解，解题的过程较为繁琐.由题意可知双曲线的焦点三角形为直角三角形，且已知双曲线的标准方程，那么可运用双曲线的焦点三角形面积公式进行求解.

解：

例 4.

由于已知 ∠F1PF2 和 ΔF1PF2 的面积，所以可直接运用双曲线的焦点三角形面积公式进行求解.运用该方法解题的运算量较小.

3.抛物线的焦点三角形面积公式：

若倾斜角为θ的直线过抛物线的焦点 F，且與抛物线交于A、B两点，则三角形AOB的面积为：SΔAOB =p22 sin θ .对该公式进行证明的过程如下：

只要知道抛物线的标准方程、p的值、焦点弦之间的夹角，就可直接运用抛物线的焦点三角形面积公式进行求解.

解析：本题侧重于考查圆锥曲线中的弦长公式、直线与抛物线的位置关系.如果我们按常规思路来求解，运算量较大.由于 F 为焦点，与A、B可构成焦点三角形，所以可考虑利用抛物线的焦点三角形面积公式来解题.

总而言之，圆锥曲线的焦点三角形面积公式较为简单，应用起来比较方便.在解答圆锥曲线的焦点三角形面积问题、焦点弦、焦点弦之间的夹角问题时，灵活运用椭圆、双曲线、抛物线的焦点三角形面积公式，能减少运算量，简化解题的过程，从而提升解题的效率.

（作者单位：安徽省亳州市涡阳县涡阳三中）