利用放缩法证明不等式的两个技巧

杨海炎

证明不等式的方法多种多样，常见的有综合法、分析法、数学归纳法、反证法、放缩法等.其中，放缩法是用得较多，且灵活性较强的一种方法.放缩法是指通过适当放大或者缩小代数式，从而证明不等式的方法.在利用放縮法证明不等式时，我们常常要用到一些技巧，才能使问题快速得解.下面谈一谈利用放缩法证明不等式的两个技巧.

一、根据不等式的性质进行放缩

不等式的性质很多，如对称性、传递性、可加性、可乘性等.在运用放缩法证明不等式时，可根据不等式的性质，如在不等式的左右加上一个数、乘以一个数，在不等式的分子、分母上加上或减去一个数，等等，从而构建出与已知关系式、目标式相关联的式子，从而证明不等式成立.

例 1.

例2.

解答本题，关键是把数列通项公式的分母中的常数项去掉，根据不等式的可加性，将通项公式放大为  再将该式裂为两项之差的形式，就能运用裂项相消法求得数列的和，从而证明不等式.

二、利用基本不等式进行放缩

基本不等式：a + b ≥ 2 ab ，其中 （a、b > 0） 是解答不等式问题的重要工具.利用基本不等式进行放缩，需把握三个条件：一正、二定、三相等.在证明不等式时，可根据目标不等式的特点，构造出两式的和或积，并使其一为定值，即可运用基本不等式将两式的和或积放大或者缩小，从而证明不等式成立.

例 3.

解答本题，需多次运用基本不等式，求得几个和式的最小值，使得几个和式缩小，从而证明不等式成立.最后还需检验，等号成立的条件是否一致，这样才能确保证明的过程无误.

总之，运用放缩法证明不等式，不仅可以让复杂的题目简单化，更能让已知关系式和所要证明的关系式之间的关系变得更加清晰明了，这有利于同学们快速找到解题的思路.

（作者单位：浙江省诸暨市草塔中学）