从两个角度入手，求解解析几何中的取值范围问题

闫瑞敏 郭鑫培

解析几何是高中数学中的重要板块.解析几何中的取值范围问题常与动点有关，通常要求根据题意求参数的取值范围、距离的取值范围、角度的取值范围、直线斜率的取值范围等.解答此类问题，往往可从几何和代数两个角度入手，寻找解题的思路.

一、几何角度

求解解析几何中的取值范围问题可从几何角度入手，根据题目的条件，畫出圆锥曲线的图形，结合图形讨论直线与圆锥曲线、圆锥曲线之间的位置关系，寻找临界的情形，再利用圆锥曲线的几何性质，三角形、圆、平行四边形、梯形的性质来建立关系式，求得目标式的取值范围.

例1.已知抛物线 x2 = 4y 的焦点为 F，平行于 y 轴的直线 l 与圆 x2 + （y - 1）2= 1交于 A、B 两点（ A 在 B 上方），与抛物线交于点 D ，求 ΔADF 的周长的取值范围.

解：

我们从几何角度入手，先根据题意作出图形，根据抛物线的定义寻找相等的线段，将题目中的数量关系用图形呈现出来，即可根据 A 、D 、F 的位置关系找到临界的情形：（1）当三点共线时，ΔADF 的周长最大;（2）当 l 与圆相切时，A 、B 重合，ΔADF 的周长最小，就能求得 ΔADF 的周长的取值范围.

例 2.

本题中的 |PB| 表示椭圆上的点到焦点的距离，因此考虑运用椭圆的定义，将 |PA| + |PB| 的取值范围问题转化三角形中三条边之间的关系问题，于是根据三角形的性质：两边之差小于第三边，求得问题的答案.从几何角度入手，求解解析几何中的取值范围问题，需合理运用几何图形的性质来寻找临界的情形.

二、代数角度

代数法是将问题中的几何关系转化为代数关系，利用函数、方程、不等式、向量、三角函数等代数知识解题的方法.从代数角度入手，求解解析几何中的取值范围问题，需首先设出参数，根据圆锥曲线的方程、直线的方程建立代数关系式，再结合代数式的特点，构造函数模型、方程、不等式、向量等，便可将问题转化为代数问题，利用函数的单调性、方程的根的判别式、不等式的性质、向量的运算法则、三角函数的有界性等求得问题的答案.

例 3.

解：

解答本题，需先设出 A、B、C、D 四点的坐标，求得直线 CD 的方程，然后将其与椭圆的方程联立，构造一元二次方程，根据韦达定理和三角形的面积公式求得四边形 ABCD 的面积的表达式，然后构造函数 g（t），通过分析其导函数与0的关系，判断出函数的单调性，求得最值，便可确定四边形 ABCD 面积的取值范围.

例4.

解：

对于第二个问题，需先将直线AP、AQ的方程与椭圆的方程联立，求得E、F两点的坐标，然后根据直线的斜率公式求得直线 EF 的斜率表达式，再根据该式的特点进行变形，利用基本不等式求得该式的最值.

例5.

解：

先设出两个角，然后根据正弦定理以及Rt△ PF1F2的三边之间的关系，建立关于a、c的关系式，根据圆锥曲线的离心率公式求得椭圆离心率的表达式，便可将该式看作三角函数式，利用正弦函数的有界性和单调性来求得椭圆离心率的取值范围.

可见，解答圆锥曲线中的取值范围问题，从几何和代数两个角度入手，可寻找到不同的解答思想，得到不同的解题方案.有时可将几何和代数两方面结合起来，通过数形互化，使解题更加高效.

（作者单位：首都师范大学教师教育学院）