考研数学背景下行列式计算的归纳解析

2022-05-30吕军库福立黄华

数理化解题研究·综合版 2022年9期

吕军库福立黄华

摘要：线性代数是考研数学的一个考查内容，而行列式又是线性代数中的一个重要组成部分，其在求解线性方程组等问题上有较广泛的应用.因而掌握行列式的定义及计算就显得尤为重要，行列式的计算特别是高阶行列式的计算较为复杂，但又具有一定的规律性和技巧性.本文对高阶行列式的结构特点进行归纳分析，并给出相应的计算方法，旨在为考生在计算行列式时提供一定的帮助.

关键词：行列式;上（下）三角行列式;范德蒙德行列式;性质

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）27-0035-03

行列式是线性代数中的基本内容，最初源于对线性方程组的求解，是由德国数学家莱布尼茨和日本数学家关孝和于17世纪先后提出.当然行列式的应用不仅在于求解方程组，在物理学、力学、工程技术等方面都有着重要的应用.

对于一般的低阶（二阶或三阶）行列式，可以直接利用对角线法则来计算，但对于高阶（四阶及以上）就没有那么简单.考生因高阶行列式的形式较为复杂，所以在计算时会感觉较为吃力.虽然高阶行列式结构较复杂，但是在计算时还是能够根据其自身具有的特点来选择适当的方法求解，这样会使其计算变得更加简单，起到事半功倍的效果.其实无论是低阶还是高阶行列式，其计算的中心思想就是“降阶”和“化零”.本文在其中心思想下对高阶行列式的计算进行了归纳总结，这样会使考生在面对高阶行列式时能够运用巧妙的计算方法，从而提高行列式计算的能力.

1 行列式的定义

定义1 由n个自然数1，2，…，n组成的一个没有重复的有序数组i1i2…in称为一个n级排列.n级排列一共有n！个.

定义2 在一个n级排列中，如果一个较大的数排在一个较小数之前，就称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，用τ（i1i2…in）表示排列i1i2…in的逆序数.

定义3 由n2个元素aij（i，j=1，2，…，n）组成的记号

参考文献：

[1]同濟大学数学系.工程数学—线性代数[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2] 李学银，盛集明.线性代数及其应用[M].北京：科学出版社，2018.

[3] 谭俊艳，邹辉，吕学琴.高阶行列式计算方法解析[J].教育教学论坛，2020（9）：262-265.

[责任编辑：李璟]

收稿日期：2022-06-25

作者简介：吕军（1988.4-），男，湖北省鄂州人，硕士，讲师，从事分形几何与小波分析研究.

库福立（1986.1-），男，湖北省麻城人，硕士，讲师，从事调和分析与小波分析研究.