素养立意下一道视角极值题的溯源、破解与思考

张志刚

摘 要：对一道最大张角联考试题进行了深度剖析，揭示了试题命制的历史背景，分别从几何和代数视角进行了解答，归纳提炼出解决问题的通性通法，以期提高解题的效益.

关键词：米勒问题;直观想象;数学建模

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）25-0063-04

1 题目呈现

题目 （2022年1月广东省华附、省实、广雅、深中高三四校联考第7题）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同位置起脚对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大， 射门的命中率就越高.如图1为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC大约为40米，宽AB大约为20米，球门长PQ大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC上某点M处射门（假设球贴地直线运行），为使∠PMQ最大，则BM大约是（  ）. （精确到1米）

A.8米   B.9米  C.10米  D.11米

本题通过设置鲜活的生活情境，考查一类最大张角问题，重点考查直观想象、数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，内蕴丰富，具有较高的挖掘价值.

2 命制背景

2.1 问题探源

通过对典型习题的深度挖掘，有利于我們发现问题的内涵和本质，“揭秘”题目背后的故事与历史渊源，概括归纳深藏其中的思维主线，以此为中心推而广之，可以收到以一敌百的良好成效.本题源于历史上经典的米勒问题.1471年，德国数学家、天文学家米勒（Johannes，miller）向诺德尔（Chri-stian，roder）教授提出了如下有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可视角最大）？上述最大视角问题因米勒首先提出，故称之为米勒问题.米勒问题广泛分布于各种实际问题，例如探求欣赏一幅画的最佳角度、足球比赛最佳射门点等，成为世界数学史上100个著名极值问题的第一个极值问题.历史上的米勒问题所涉及的范围是三维空间.作为实际问题，我们首先抽象出数学模型.如图2所示，相对于悬杆而言，地球的体积是相当大的，我们可视地球表面为平面，为了简化模型，同时忽略观察者身高的影响，即观察者的身高视为0，且悬杆在地面上的投影也为0，因为悬杆垂直于地面，所以到点O距离相同的点所得可视角相同.

参考文献：

[1]戴建国.对高考中导数试题命制过程的一些思考[J].数学通讯，2021（18）：52-55.

[2] 史宁中，王尚志.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）解读[M].北京：高等教育出版社，2020.

[责任编辑：李 璟]