平凡而不简单

刘护灵

2022年新高考数学全国Ⅰ卷（不分文理科），试题落实立德树人根本任务，促进考生德智体美劳全面发展，体现高考改革要求.试题突出数学学科特点，强化基础考查，突出关键能力，加强教考衔接，助力基础教育提质增效. 从考试后的研究而言，许多老师或考生热衷于研究高考压轴题，而对于解答题的前4题（新高考Ⅰ卷有6道解答题），认为普通而没有价值. 这个就大错特错了. 因为在考场上，考生能拿更多分的就是前4题. 下面探讨2022年新高考数学全国Ⅰ卷第19题.

原题如下：

19.（12分）如图1，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2.

（1）求A到平面A1BC的距离;

（2）设D为A1C的中点，A1A=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值.

初步分析：考生看到此题“感觉比较熟悉”，图形很常见，提出的问题也“很平凡”，咋看之下解决此题应该没有什么“难度”，但是“细做”的时候，却感觉很有韵味，能体现出命题者在立体几何中，深度考察“直观想象、逻辑推理、数学计算”核心素养的命题意图.

第（1）的分析：传统的题目，往往是已知棱锥棱柱的顶点等条件，去求棱锥棱柱的体积、面积等，但是此题命题者进行了“逆向命题”，即已知体积、面积，反过来求相关的线段距离等.

这时需要仔细的阅读题目，理解题目的每一个条件.

条件1：“直三棱柱”，意味着什么？

即意味着每一条侧棱都垂直于底面！

或者说，该棱柱的体积，可以通过底×侧棱得到.

條件2：该三棱柱的“体积为4”，这个条件意味着什么？

如果纠结于直棱柱的体积=底×侧棱，会发现此题的侧棱长和底面三角形的形状，条件都没有给出. 所以此路不通.

但如果能明白同底面的棱锥体积=1/3棱柱体积，此题的第3个条件“△A1BC的面积为2”，就有了用武之地.

条件3：“△A1BC的面积为2”，有什么用？和棱柱的体积有什么关系？

经过条件1，2，3的深入解读，此题即相当于知道了三棱锥A1-ABC体积，底面△A1BC的面积，去求“A到平面A1BC的距离”，如下图2：

所以（1）的解析为：设A到平面A1BC的距离为d，

因为直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，即可得-ABC=   ABC-=，

即S△BC·d=×2×d=，

解得d=，所以A到平面A1BC的距离为.

第（2）的分析：条件仍然看起来平淡无奇，但只有在考场上仔细理解了每一个条件的考生，才能想到合适的解决思路，即审清题意非常重要.

条件4：“AA1=AB”，说明了侧面ABB1A1不仅仅是矩形，还是正方形，但剩余的两个侧面是否是正方形？条件还不足够，需要思考ABB1A1是正方形，有什么用？

要注意到正方形的两条对角线垂直.

条件5：关键条件“平面A1BC⊥平面ABB1A1”，这个面面垂直的条件有什么用？

此时，我们脑海中自然想到的是面面垂直的性质定理：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

如图3，可以想到连接AB1，因为ABB1A1是正方形，所以对角线垂直，这样就可以得到AB1⊥平面A1BC，从而可以证得BC⊥平面ABB1A1，从而可以得知BB1，AB，BC三条直线两两垂直，所以可以建系求解了！

此时还有一个关键的难点，即各顶点的坐标是多少？回头再看体积和面积的条件，设元建立方程组，就可以求了！

具体的书写过程如下：

（2）连接AB1，因为直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB，

故AA1B1B为正方形，即AB1⊥A1B.

又平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B，AB1？奂平面ABB1A1，

故AB1⊥平面A1BC，所以AB1⊥BC.

又因为AA1⊥BC，AB1，AA1？奂平面ABB1A1，且AB1∩AB1=A，

故BC⊥平面ABB1A1，则BC⊥AB.

所以BB1，AB，BC三条直线两两垂直，

故如图4，以B为原点建立空间直角坐标系，

设AA1=AB=a，BC=b，则A1B=a，

由条件可得a×b×a=4，× a×b=2，解得a=2，b=2.

则B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），A1（0，2，2），A1C的中点D（1，1，1），

所以=（0，2，0），=（1，1，1），=（2，0，0）.

设平面ABD的一个法向量为=（x，y，z），

·=0，·=0？圯2y=0，x+y+z=0. 取=（1，0，-1），

同理可求得平面BCD的一个法向量为=（0，1，-1）

所以cos<，>==，

所以二面角A-BD-C的正弦值为.

【反思1】本题考查了平面与平面所成角的空间向量求法、点到面的距离的几何求法、几何体的体积公式，考查了空间中的垂直关系的证明与应用，看起来非常平凡的问题，确把高中立体几何的重要定理都基本考察到位，可谓“平凡而不简单”.

【反思2】在考场上由于时间有限，考生只能使用自己最熟悉的方法解决问题. 究竟是哪个方法更熟悉，往往具有个人鲜明的特点. 只是，我们在的平时学习中，不要满足于一种思路或者一种解法，因为一题多解能够让学生最大限度的利用题目中的条件，找到不同的通往结论的路径，对于解题能力的培养是非常有帮助的. 如果平时只用一种做法，很多时候思路就被局限住了，一旦遇到一道非套路的题目，思维可能就捉襟见肘. 下面介绍不建系的2种方法.

方法2：（作图找出二面角的平面角）

如图5，过点A作AE⊥BD于E，连接CE.

依题意得AD=BD=CD=A1C=，

又同解法2得知AD=BC，

所以△ABD ≌△CBD，

所以CE⊥BD，

所以∠AEC是二面角A-BD-C的平面角，

AE=CE=，AC=2，

所以cos∠AEC===-，

所以二面角A-BD-C的正弦值为.

方法3：（补形法妙解——几乎不需要计算，可“看出”答案）

如图6，

同前解法1，先证出BC⊥平面ABB1A1，然后用体积方法计算出BC=2，

把棱柱补形为长方体ABCF-A1B1C1F1，

由条件可知，它是正方体，

因为D是A1C的中点，所以D是正方体的中心，

此时平面ABD，即为平面ABC1F1，

平面BCD，即为平面BCF1A1，

问题转化为求正方体两个对角面（即平面ABC1F1和平面BCF1A1）的二面角，

由正方体的条件知，B1C⊥平面ABC1F1，AB1⊥平面BCF1A1，

而△ACB1为正三角形，所以正方体两个对角面（即平面ABC1F1和平面BCF1A1）的二面角为60°，从而所求的正弦值为.

【反思3】方法3的确不需要太多的计算，几乎可以“看出答案”，但是在考场紧张的时间下，考生有没有勇气去选取这个思路？这个方法有没有学习的价值？什么情况下才能想到“补形”的方法？

其实，立体几何问题，本质上就是空间中点的定位. 而在非特殊几何体中，对于点的定位显然是很困难的，导致线面关系相对复杂，考生往往无法清晰找出线面角与二面角. 既然如此，可以将整个点的系统提取出来，保持其相对位置不变，整体植入到长方体当中，就会发现，原问题中复杂的线面关系在新的背景下是如此的清晰、简单. 也可以这样说，图形残缺不明是制約考生认知的一个关键因素，补全图形是基于逻辑推理、发展学生空间想象能力的重要手段.

【反思4】通过分析此题，对于高考的立体几何复习有什么启示？

立体几何知识点的考查覆盖面广，且形式多样，选择题、填空题和解答题三类题型，一应俱全. 在注重考点全覆盖的基础上，以考查点、线、面的位置关系为主线，既重点考查了有关线面平行与垂直关系的判断等必备知识，又通过角度求解、距离计算和面积体积计算等考查考生的关键能力与学科素养，以中档试题为主，体现“通过立体几何的基本图形，在考查必备知识的基础上，注重对通性、通法的考查”的命题思路. 考生要加强对知识的理解，重视对概念、性质、定理的教学，也可以选择数学软件 GeoGebra、几何画板等几何软件进行辅助教学，有效培养空间想象能力和逻辑思维能力.

【本文系广州市教育研究院2021年度科研课题“信息技术（Geogebra）与初中数学教学深度融合研究”（课题编号：21BCZSX2107）及广州市海珠区教育科研“十三五”规划课题“GeoGebra和初中数学教学深度融合的研究”（课题立项号：2020C028）阶段性研究成果】

责任编辑 徐国坚