浅谈平面向量在新高考中对关键能力的考查

曾光

平面向量作为高中数学必备知识，考查向量的题目在今年全国各个考卷中均有出现. 考查的题型一般为选择题或填空题，考查形式表现十分丰富，有的以三角形为载体出现，有的以多边形为载体出现，还有的没有图形，而是以模和夹角出现. 想要解决以上问题，需要具备哪些关键能力呢？下面让我们逐一探究.

【题型一】考查向量三角形法则的转化运用.

【2022年全国新高考I卷3】在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA. 记=，=，则=（）

A. 3-2B. -2+3C. 3+2D. 2+3

【分析】本题考查的必备知识是平面向量的线性运算. 关键能力是对向量加减法的三角形法则的灵活运用. 如图2，用、去表示，可考虑在△BCD中，把先转化为、，再通过数乘关系转化和三角形法则转化为、.

【详解】如图1，因为点D在边AB上，BD=2DA，所以=2. 在△BCD中，把-=，即-=2，-=2（-），移项整理得：=3-2 .

所以=3-2=3+2=-2+3. 故选：B.

【点评】1. 解决本题的关键是要重视向量的三角形法则：在一个三角形中，三条边代表三个向量，其中具备“首接首、尾接尾”的那个向量是“和向量”（被减向量）.

2. 本题的向量转化也不是唯一的，可以先在△ABC中转化，用、去表示，即=+，然后再进行变形整理最后亦可以得到答案.

3. 本题只考查向量线性转化一个知识点，较为简单.如果把向量的线性运算与数量积结合在一起的话，难度就要大了.请看以下两道高考题.

【2022年高考北京卷10】在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°. P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则·的取值范围是（）

A.[-5，3]B.[-3，5]C.[-6，4]D.[-4，6]

【分析】本题以三角形为载体，结合动点与向量数量积问题求范围，比上一题难度大很多. 但是透过现象看本质，虽然涉及的知识点很多，然而对考查的关键能力是相同的，通过向量的三角形法则就可以把复杂的问题转化为简单问题. 同时本题可以一题多解，既可以用向量法，也可以用坐标法. 请考生注意对比两种解法的不同特点.

【详解】向量法：

解析：如图，因为PC=1，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动.

在△PAC中，=+，在△PBC中，=+.………………（三角形法则转化）

·=（+）（+）=·+·+·+·=1+（+）+0

=1+·+0 =1+5cosθ， θ为向量、的夹角，θ∈[0，π]，cosθ∈[-1，1]，

因此1+5cosθ∈[-4，6].

坐标法：

解析：依题意如图建立平面直角坐标系，则C（0，0），A（3，0），B（0，4），D（3，4）

因为PC=1，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，

设P（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π]，

所以=（3-cosθ，-sinθ），=（-cosθ，4-sinθ），

所以·=（-cosθ）×（3-cosθ）+（4-sinθ）×（-sinθ）

=cos2θ-3cosθ-4sinθ+sin2θ

=1-3cosθ-4sinθ

=1-5sin（θ+φ），其中sinφ=，cosφ=.

因为-1≤sin（θ+φ）≤1，所以-4≤1-5sin（θ+φ）≤6，即·∈[-4，6].

故选：D.

【点评】1. 由向量法可看到，通过三角形法则转化可以把动点问题化为定点问题，即化“动”为“静”，把难度降低了.

2. 在三角形法则转化中，尽量转化为垂直的向量，化“曲”为“直”，因为两个垂直向量的数量积为零，大大减少了运算量.如本题转化为和，·=0.

3. 由以上两种方法可看出，向量法要灵活运用三角形法则，运算量不大. 而坐标法，过程推理简单，也是解决向量问题的重要方法，但前提是由已经条件能够建立坐标系.

4. 如果向量问题与二次函数结合起来的话，则难度会进一步提升. 请看下一题.

【2022年高考浙江卷15】设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则+ +…+ 的取值范围是_______.

【分析】由题意知，、、……、这8 个向量都是变量，我们可以通过三角形法则将其转化为固定的量，即化“动”为“静”，这样问题就容易解决问题了.

同样地，本题也可以用坐标法去解.根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，A7 A3所在直线为x轴，A5 A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设  P（x，y），再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到+ +…+ =8（x2+y2）+8，然后利用cos22.5°≤|OP|≤1即可解出.

【详解】向量法：

解析：如圖一：在△PA1O中，=-，………………（三角形法则转化）

同理有= - ，……=-，则：

+ +…+ =（-）2+（ - ）2+…+（-）2

-2·++-2 ·++…+-2·+

=++…+-2·（+ +…+）+8.

根据对称性可得（+ +…+）=0，

于是，上式=++…++8=8+8，因为cos22.5°≤|OP|≤1，

≤≤1，≤≤1，12+2≤8+8≤16.

故+ +…+的取值范围是[12+2，16].

坐标法：

解析：以圆心为原点，A7 A3所在直线为x轴，A5 A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图二所示：

图一图二

则A1（0，1）， A2（，）， A3（1，0）， A4（，-）， A5（0，-1）， A6（-，-），A7（-1，0），A8（-，），设P（x，y），于是+ +…+=x2+（y-1）2+（-x）+（-y）+…+（--x）+（-y）

= 8（x2+y2）+8，

因为cos22.5°≤|OP|≤1，所以≤x2+y2≤1，

故+ +…+的取值范围是[12+2，16].

故答案为：[12+2，16].

【点评】1. 本题融合了向量、动点、多边形和二次函数多个知识，难度较大. 在向量法中通过向量三角形法则转化，化“动”为“静”，便找到了解决本题的钥匙，问题得到迎刃而解.

2. 在以上三题中，难度不断增大，但是通过运用三角形法则转化，都能把问题解决. 因此，再一次强调：在向量问题中必须要重视向量三角形法则的转化运用. 这是解决以上题型的“核心技术”.

3. 由以上两法可看出，相对来说，向量法运算量不大.而坐标法的运算量要大于向量法.

【題型二】考查数量积公式及2 = 2.

【2022年全国甲卷13】设向量，的夹角的余弦值为，且=1，=3，则（2+）·=_________.

【分析】本题主要考查向量数量积的运算公式：·=·cosθ. 设与的夹角为θ，依题意可得cosθ=，再根据数量积的定义求出·，最后根据数量积的运算律计算可得.

【详解】设与的夹角为θ，因为与的夹角的余弦值为，即cosθ=，

又=1，=3，所以·=·cosθ=1×3×=1，

所以（2+）·=2·+2=2·+2=2×1+32=11.

故答案为：11.

【点评】1. 只要能熟练掌握向量数量积的运算规律就可以解决本题.

2. 根据数量积的运算公式，2=·cos0，而cos0=1，因此有2=2. 在数量积问题考查中，经常用到以上性质及其逆向应用.请看下一题.

【2022年全国乙卷理3】已知向量，满足=1，=，-2=3，则·=（）

A. -2    B. -1 C. 1 D. 2

【分析】本题给出的条件全是向量的模，没有夹角及其它条件，令人感到无从下手. 这时，如果运用上面提到的性质：2=2，逆向运用它，便可以找到本题的突破口. 因此，本题考查的关键能力是2=2，即-22=（-2）2. 再根据向量的数量积运算求解即可.

【详解】∵-22=（-2）2=2-4·+42，

又∵=1，=，-2=3，

∴9=1-4·+4×3=13-4·，

∴·=1

故选：C.

【点评】1. 本题运用-22=（-2）2这个性质，盘活了整个解题过程，达到“一子落，满盘活”的效果.

2. 本题比上题多考查了一个关键能力：2=2. 而且在解题过程中反复运用这个性质及它的逆性质：2=2.

3. 数量积问题除了考查2=2这个性质外，还会考查数量积的坐标形式. 请看下一题.

【2022年全国新高考II卷4】已知向量=（3，4），=（1，0），=+t，若<，>=<，>，则t=（）

A. -6 B. -5 C. 5 D. 6

【分析】本题条件以坐标形式出现，因此要考虑用坐标形式去运算求解. 其次条件涉及两个夹角相等，所以本题主要考查向量数量积的坐标形式及夹角公式的运用.夹角公式：<，>=.

【详解】因为=（3，4），=（1，0），=+t，所以=（3+t，4），

又因为cos〈，〉=cos〈，〉，由夹角公式得=，解得t=5.

故选：C

【点评】夹角公式是由数量积公式变形而得，本质上还是考查数量积公式.

【备考建议】1. 在新高考改革命题特点中，重视对“一核四层四翼”的考查. 因此，我们在备考过程中，要避免过多地机械刷题，而是要理解必备知识，掌握关键能力.

2. 在新高考中对向量的考查，基本上为以上6个题目类型，可以归纳为两种题型. 题型一考查的关键能力主要是：向量三角形法则的转化运用. 题型二考查的关键能力主要是：数量积公式及2=2. 请注意：夹角公式是由数量积公式变形而来的，本质上为同一公式.

3. 在三角形法则的转化运用中，要注意三点：化“动”为“静”、化“繁”为“简”、化“曲”为“直”（尽量化为垂直的向量）.

4. 对于向量法与坐标法，向量法的运算量往往小于坐标法，应优先选择使用向量法.

5. 对于平面向量的问题，虽然向量法的运算量往往小于坐标法，但是如果可以建立坐标系的话，也可以考虑用坐标法，毕竟能把问题解决才是王道，因此坐标法也是解题的重要方法.

责任编辑 徐国坚